[0:01]Salam əziz tələbələr, hal-hazırda magistr imtahanlarında çox tez-tez qarşımıza çıxan karandaş məsələləri mövzusunun video izahına baxırsız. Bu mövzu tələbələrin magistr imtahanlarında ən çox çətinlik çəkdiyi mövzudur. Səbəb də budur ki, çox adam bu mövzunun sistemli həll qaydasını bilmir. Hətta məntiqdən çox güclü tələbələr var ki, 50 məntiq yazacaq potensialları var. Məhz bu mövzuya görə imtahanda bal ata bilirlər. Mən isə indi bu videoda sizə bu mövzunun sistemli həll qaydasını izah eləyəcəm və ümid edirəm ki, videomuz sona qədər baxandan sonra artıq imtahanda bu mövzu ilə bağlı probleminiz qalmayacaq. Əvvəla gəlin mövzunun mahiyyətini başa düşək. Deməli deyir ki, ümumi sayı yeddi olan qırmızı və sarı rəngli karandaşlar ikidən artıq qırmızı karandaşın yanaşı olmaması şərti ilə düzülmüşdür. Mümkün düzülmə variantlarının sayı hansı ədədə bərabərdir? Bu nə deməkdir? Yəni demək istəyir ki, yeddi dənə karandaşı yanaşı şəkildə düzəcəyik. Və bunların içərisində qırmızı və sarı karandaşlar olacaq. Neçəsi qırmızı olsun, neçəsi sarı olsun demir. Amma bir dənə şərt qoyub ki, ikidən artıq qırmızı karandaş yanaşı olmasın. Yəni məsələn, ola bilər biri qırmızı, biri sarı olsun. Məsələn, yeddi dənə karandaş düzə bilərik. Bu formada oldu yeddi dənə. Ola bilər ikisi qırmızı olsun, növbəti məsələn üçü sarı, hətta dördü sarı olsun məsələn, axırıncı yenə qırmızı və sairə. Yəni yeddi dənə karandaşı qırmızı sarı olmaq şərti ilə, təbii ki, bir neçə müxtəlif variant var da görürsüz variantlar da böyükdür. Bu qədər ən azı 75-dən yuxarı, bəlkə dəyişik variantda düzə bilərik, düzdür? Sadəcə bir dənə limit budur ki, bax belə bir şey olmamalıdır. Yanaşı üç dənə qırmızı gəlməməlidir ikidən artıq. İki dənə gələ bilər, amma ikidən artıq gəlməsin. Təbii ki, biz bunu belə bütün variantları yazmaqdan tapa bilmərik, mümkün deyil. Bunun asan yolu olmalıdır. Və asan yolu necədir? Bax bir neçə qayda var ki, bu qaydaları ardıcıl tətbiq eləsəz karandaş məsələlərini rahat həll eləyəcəksiz. Bunlardan birincisi nədir? Həmişə sualı oxuyanda birinci baxmalısız limiti hansı rəngə qoyub. Bu sualda limiti qırmızıya qoyub. İkidən artıq qırmızı karandaş yanaşı olmamalıdır. Qırmızı karandaşa limit qoyulub. O halda, deməli biz bu sualı sarı ilə işləyirik. Bax hansı rəngə limit qoysa digərinin altından bir dənə xətt çəkin. Sarının altından xətt çəkdik. Qırmızıya limit qoyubsa, deməli biz bu sualı sarı karandaşla işləyəcəyik. İndi axırda bunu izah eləyəcəm sarı ilə işləyəcəyik nə deməkdir. Daha sonra nə edirik? Limit qoyduğu rəngin üzərinə neçə limit qoyubsa onu yazırıq. İkidən artıq qırmızı demir. Limit ikidir də. Qırmızının üstünə iki yazırıq. Bunlar da həmişə eləyəcəyimiz şeylərdir. Yəni sualı oxuyan kimi birinci bunları eləyin həmişə. Daha sonra digər rəngin üstünə isə o limitin bir artığını yazırıq. Üç. Yenə bu iki, bu üç nəyə görə lazımdır bunu deyəcəm sizə indi sualı həll eləyəndə. Sadəcə karandaş məsələsi suallarını oxuyanda birinci bunu eləyin. Hansı rəngə limit qoydu digərinin altından xətt çəkin ki, nəzərə alaq ki, biz ondan işləməliyik. Daha sonra limit qoyduğu rəngə o limit qoyduğu ədədi, digərinə isə o ədədin bir artığını yazın həmişə. Bax sualı oxuyan kimi başdan bunu eləyin. Bunu eləyəndən sonra bir cədvəl çəkirik həmişə. Yazırıq sarı və qırmızı. Baş hərflərini yazsaq kifayətdir. Və yuxarıdan da say yazılıb. Bu say bilirsiz nədir? Bizə yazıb məsələn, ümumi sayı yeddi olan. Bu sayılarını qeyd eləyirik, ümumi sayı bir olsa, ola biləcək ehtimallar iki olsa, üç, dörd, beş, altı, yeddi. Bu sualda yeddi deyib, yeddiyə kimi yazdıq, daha çox da eləyə bilərik bunu. Və bunu aldıq cədvələ. Bunu tez cədvələ alırıq ki, rahat şəkildə həll eləyə bilək. Cədvəlimizi qurduq. Daha sonra nə edirik? Daha sonra, bax neçə limit qoyubsa ondan bir artığına kimi olan mümkün ehtimalları düzməliyik. Və o da çox asandır olmur. Məsələn, limiti iki qoyub, üç dənə ehtimalı düzəcəyik. Üç-dörd dənə ehtimalı düzmək üstə asandır. Problem altı dənə, yeddi dənə ehtimalı uzadıb düzməkdir. Ki buna imtahanda nə vaxt çatmır, nə də kağızda yer çatmır. Amma üç-dörd ehtimalı düzmək asandır. Necə düzürük? Bax, məsələn, bir dənə karandaş olsa, gəl sarı ilə başlayan ehtimalları düzək. Bax, birinci karandaş sarı olsa, ikinci karandaş sarı da ola bilər, qırmızı da ola bilər, düzdür? Deməli, bir karandaş olsa, bir ehtimal var, iki karandaş olsa, iki. İki karandaş olsa, ya ikisi də sarı olacaq, ya birinci sarı, ikinci qırmızı olacaq. Üçüncü karandaş yenə bax, sarı ilə sarıdan sonra sarı da gələ bilər, qırmızı da gələ bilər. Bundan sonra yenə sarı da gələ bilər, qırmızı da və sairə. Yəni yeddi dənə karandaşı, qırmızı, sarı olmaq şərti ilə, təbii ki, bir neçə müxtəlif variant var da, görürsüz, variantlar da böyükdür. Bu qədər, ən azı 75-dən yuxarı, bəlkə dəyişik variantda düzə bilərik, düzdür? Sadəcə bir dənə limit budur ki, bax, belə bir şey olmamalıdır. Ayrı-ayrı ehtimallardır. Məsələn, üç dənə karandaş olsa, ola bilər üçü də sarı olsun, ola bilər ikisi sarı, üçüncüsü qırmızı olsun. Ola bilər birinci sarı, ikinci qırmızı, üçüncüsü sarı olsun, ola bilər birinci qırmızı, digər ikisi sarı olsun və sairə. Bunu sadəcə belə yan-yana yazmırıq. Şaxələndirmə ilə yazırıq. Sarı ilə başlayan, deməli, bir karandaş olsa bir ehtimal var. Sadəcə sarı. İki karandaş olsa iki ehtimal var. Bunu eləmək çətin deyil də, sadəcə hərəsindən iki dənə yazırıq. Üç karandaş olsa dörd ehtimal var. Görürsüz, dörd dənədir. Bu dağlanmaların sayını yazırıq. İndi qırmızı ilə başlayan ehtimalları yazaq. Yenə üç dənə karandaşa kimi yazmalıyıq. Bax, hər mərhələ bir karandaşdır. Bir, iki, üçüncü karandaşa kimi. Qırmızıdan sonra sarı gələ bilər, qırmızı gələ bilər. Sarıdan sonra yenə sarı gələ bilər, qırmızı gələ bilər, bu xətt çəkim, bunu qarışdırmayaq. Və artıq bax, bu qırmızıdan sonra yalnız sarı gələ bilər. Niyə? Çünki bizə nə deyib? İkidən artıq qırmızı karandaş yanaşı olmamalıdır. Mən götürüb burda indi sarı qırmızı yazsam, artıq bax bu qol səhv oldu. Üç dənə qırmızı var burda. Düzgün deyil axı bu ehtimalı, ikidən artıq. İkidən artıq qırmızı yanaşı olmamalıdır. Ona görə də bu iki qırmızıdan sonra yalnız sarı gələ bilər. Deməli, qırmızı karandaşla başlayan ehtimallarımız belə oldu. Bir, iki, üç ehtimal. Bunları da yazırıq. Bir, iki, üç. Bunu da elədik. Bundan sonra artıq bunlar bizdə lazım deyil. Bax, indi üç dənəyə kimi belə eləmək asandır. Bir neçə saniyə vaxtı aparır.
[6:05]Amma yeddi karandaşa kimi bunu hər dəqiqə belə, hər dəfə bunu belə ikiyə bölə-bölə budaqlandırsaq, yəni, əməlli-başlı həddindən artıq çox vaxtımız gedir, yəni biz bunu yerə də çatdıra bilmərik. Yəni bunu nə qədər budaqlandıra bilərsən? Yəni təsəvvür elə imtahanın bütün vaxtı ona gedər. Ona görə də bax, tam başqa bir qaydadan istifadə eləyirik. Qaydamız o idi ki, bu üç ehtimalı yazıb cədvələ köçürdəndən sonra sadəcə bax, bu yazdığımız ədədlərə baxırıq. Qırmızının üstünə iki yazmışdıq bayaq, sarının üstünə üç, düzdür? Demişdik ki, limit qoyduğu rəngə həmin ədədi, digərinə isə o ədədin bir artığını yazmalıyıq. Və bundan sonra bax, biz sarıya üç qoymamışıq. Bu o deməkdir ki, hər sarı karandaşı, hər növbəti sarı karandaşı tapmaq üçün əvvəlki üç sarını toplamalıyıq. Fibonaçi ədədlər qaydası ilə. Yəni məsələn, bax bunu tapmaq üçün mən bu üçünü toplayacam. Bir, iki, dördün cəmi neçə eləyir? Yeddi. Yazaq. İndi bunu tapmaq üçün bu üçünü toplayacam, əvvəlki üçünü, bax üstünə yazdığımız üç onun üçündür. Bu üçünü toplayıram. İki, dörd, yeddinin cəmi neçə eləyir? On üç. Bunu tapmaq üçün bu üçünü toplayıram, dörd, yeddi, on üçün cəmi 24. Və sonuncu yeddi karandaş olan ehtimalı tapmaq üçün də bu üçünü toplayıram 44. Deməli, təkcə sarı karandaşla başlayan 44 ehtimal oldu əgər yeddi dənə karandaşı düzsək. Təkcə sarı ilə başlayan 44 mümkün variant var. Və indi qırmızı ilə başlayanları da tapacağıq və ümumi variantların sayı onların cəmi olacaq. Bax, indi biz bunu belə şaxələndirsəydik, təsəvvür elə 44 dənə ehtimalə kimi bunu şaxələndirməli idik. Təbii ki, o mümkün deyil. Qayda nə oldu? Bax bu üstünə yazdığımız ədəd bunu göstərirdi. Sarıya üç yazmışıq. Deməli hər sarını tapmaq üçün əvvəlki üç sarını toplamalıyıq.
[7:55]Yaxşı, bəs qırmızını tapmaq üçün nə etməliyik? Qırmızıya nə yazmışdıq üstünə? İki yazmışdıq. Deməli, hər qırmızını tapmaq üçün əvvəlki iki qırmızını toplamalıyıq. Amma əvvəlki iki qırmızını yox, yenə əvvəlki iki sarını toplamalıyıq. Baxın, başda sarının altından xətt çəkməyimizin səbəbi bu idi. Sarının altından xətt çəkmişik. Yəni bizə qırmızıya limit qoyubsa dedim digər rəngin altından, sarının altından xətt çəkməliyik. Və bu o deməkdir ki, biz sarını da tapanda sarı karandaşlardan istifadə edəcəyik, qırmızını da tapanda yenə sarı karandaşlardan istifadə edəcəyik. Çünki qırmızı rəngə limit qoyub. Baxın, bunda gördüyümüz kimi əvvəl-axır qırmızı gəlib ilişir sarıya gəlir. Əvvəl-axır hər iki qırmızıdan sonra məcbur yalnız sarı gəlməlidir. Qırmızı hardasa bağlanır, sarıya gəlir. Amma sarının limiti yoxdur. Ona görə sarı ilə işləmək lazımdır. Ümumiyyətlə bu dediyim qaydanın tam açıqlamasını, məntiqini izah eləmək bu videonun mövzusu deyil, həddindən artıq uzundur. Ona görə sadəcə qaydanı izah eləyirəm. Amma belə yadınızda saxlayın. Hansı rəngə limit qoyubsa, biz o rənglə işləmirik, digəri ilə. Ona görə başdan digərinin altından xətt çəkirik ki, biz bununla işləyəcəyik. Biz sarı ilə işləyirik. Bəs sarını tapanda əvvəlki üç sarını, qırmızını tapanda əvvəlki iki sarını toplayırıq. O üçü ikini də dedim də başdan nəyə əsasən yazmalıyıq. Bu yazdığı limitə əsasən yazırıq. Deməli, hər qırmızını tapmaq üçün əvvəlki iki sarını toplayırıq. İki ilə dördün cəmi neçə olur? Altı. Vəssalam, bundan sonra toplayırıq da. Dörd ilə yeddinin cəmi on bir. Yeddi ilə on üçün cəmini yazırıq buna 20. Və on üç ilə iyirmi dördün cəmi 37. Vəssalam. Bunu da yazdıq. İndi bizə nə deyib? Yeddi karandaş olanda mümkün düzülmə variantlarının sayı. Baxın uşaqlar, mümkün düzülmə variantlarının sayı 44 ilə 37 deyil.
[9:41]Bu 44-37 sarı ilə və qırmızı ilə başlayan variantların sayıdır. Mümkün düzülmə variantlarının sayı deyəndə söhbət bunların cəmindən gedir. Məsələn, bir karandaş olsa, mümkün düzülmə variantlarının sayı ikidir. Bax bu xətti çəkim bir dənə. Bir karandaş olsa, mümkün düzülmə variantlarının sayı iki sayılır. Yəni bir dənə sarı ilə, bir dənə qırmızı ilə başlayan olacaq iki. İki karandaş olsa, mümkün düzülmə variantlarının sayı dörddür və sairə. Bunların cəmindən söhbət gedir. Deməli, yeddi karandaş olsa, mümkün düzülmə variantlarının sayı deyirsə, biz sarı ilə qırmızı ilə başlayanları toplayırıq. 44 üstəgəl 37. Deməli, mümkün düzülmə variantlarının sayı olacaq 81. B bəndi. Bax, indi eyni bunla bir sual da izah eləyəcəm sizə və bu dediyim qaydaları daha tam şəkildə başa düşəcəksiz. Ümumiyyətlə elə sual tipləri var ki, bu da onlardandır. Bir sualdan tam başa düşmək olmur. Ən azından bir neçə sualın izahına baxmalısan ki, o qaydalar beynində tam şəkildə otursun. İndi gəlin növbəti suala baxaq. Bu sualda bizə deyir ki, ümumi sayı səkkiz olan qırmızı və sarı rəngli karandaşlar üçdən artıq sarı karandaşın yanaşı olmaması şərti ilə düzülmüşdür. Mümkün düzülmə variantlarının sayı hansı ədədə bərabərdir? Deməli, birincisi nəyə baxırdıq? Limiti hansı rəngə qoyub? Bu sualda sarı rəngə limit qoyub, üçdən artıq sarı yanaşı olmasın deyib. Hansı rəngə limit qoysa, digərinin altından xətt çəkirdik. Sarıya limit qoyubsa qırmızının altından xətt çəkirik. Yəni ki, biz bu sualı qırmızının əsasında işləyəcəyik. Daha sonra limit qoyduğu rəngə həmin ədədi yazırıq. Sarıya limiti üç qoymayıb? Sarının üstünə yazırıq üç. Yazaq, üç. Qırmızıya nə edirdik? Digər rəngə o limitin bir artığını yazırıq. Bax limit qoyduğu rəngə həmin ədədi, digərinə isə həmin ədədin bir artığını yazmalıyıq. Dörd yazırıq. Və bundan sonra başlayırıq cədvəlimizi qurmağa. Sarı ilə başlayan və qırmızı ilə başlayan ehtimalları tapacağıq. Sarı, qırmızı. Yuxarıdan da say. Və sayları yazırıq. Bir, iki, üç, dörd, beş, səkkizə kimidir bu sualda. Səkkiz karandaş deyir də, düzdür? Və bunu aldıq cədvələ. Sarı ilə başlayan və qırmızı ilə başlayan ehtimalları tapacağıq. Cədvəlimizi düzəldək.
[11:55]Deməli, bu oldu bizim cədvəlimiz. Bunu hətta bir az da uzadaq. Axırda toplayacağıq mümkün düzülmə variantlarının sayını tapmaq üçün. Cədvəli qurandan sonra nə edirdik? Dedik ki, limiti neçə qoyubsa onun bir artığına kimi olan ehtimalları əllə yazmalıyıq. Deməli, üç limit qoyub. Ən azı dörd dənə ehtimalı yazmalıyıq burda. Limiti sarıya qoyub. Sarı ilə də qırmızı ilə başlayan dörd ehtimalı yazaq. Başlayaq sarı ilə. Sarıdan sonra sarı da gələ bilər, qırmızı da. Bu sarıdan sonra sarı da gələ bilər, qırmızı da, qırmızıdan sonra sarı da gələ bilər, qırmızı da. Amma artıq bu sarıdan sonra sarı gələ bilməz. Çünki deyib ki, üçdən artıq sarı olmasın. Bundan sonra yalnız qırmızı gələ bilər. Yenə digər qırmızıdan sonra sarı da gələ bilər, qırmızı da. Yenə sarıdan sonra sarı da gələ bilər, qırmızı da. Heç biri üç dənə deyil ki, düzdür?
[13:08]Deməli hərəsindən sonra yenə iki dənə çıxa bilərdi onsuz da. Yəni dörddürsə digəri səkkiz olacaqdı hərəsindən iki dənə çıxsa. Yəni tək-tək yazmağa ehtiyac belə yoxdur. Onsuz da limitə çatan yoxdur da. Deməli, bir, iki, dörd, səkkiz gələcək. Heç imtahanda bunu vaxtımızı aparıb hamısını yazmağa dəyməz. Əgər limitə çatsa, bu sualdakı kimi, bax, bu hissədəki kimi. Üç dənə sarı varsa nəzərə alım ki, bundan sonra yalnız qırmızı gələ bilər.
[13:38]Baxın, burda üç dənə sarı var. Üçdən artıq sarı yanaşı olmamalıdır deyibsə, deməli beşinci qırmızı ola bilməz. Yalnız sarı olmalıdır. Və bunları da yazaq.
[33:33]Yenə qırmızıdan sonra sarı da gələ bilər, qırmızı da. Qırmızıya limiti dörd qoyub. Və daha sonra yenə bu sarıdan sonra hər ikisi gələ bilər. Bu qırmızıdan sonra hər ikisi gələ bilər. Bu sarıdan sonra hər ikisi gələ bilər, bundan sonra da. Hər ikisi gələ bilər. Deməli, ehtimallarımız nə oldu? Bir, iki, üç, altı və on bir ehtimal. Bunları yazıb cədvələ.
[34:39]Daha sonra bu sarıdan sonra hər ikisi gələ bilər. Qırmızıdan sonra hər ikisi gələ bilər. Bu sarıdan sonra hər ikisi gələ bilər, bundan sonra da. Hər ikisi gələ bilər. Digərindən sonra da hər ikisi. Deməli, ehtimallarımız nə oldu? Bir, iki, üç, altı və on bir ehtimal. Bunları yazırıq cədvələ.
[35:40]Sarı ilə başlayan bir, iki, üç, altı və on bir. Bunları köçürdək. Bunu silim, çünki qırmızı üçün normal yer qalmır.
[36:19]Daha sonra sarıdan sonra hər ikisi gələ bilər, qırmızıdan sonra hər ikisi gələ bilər, bu sarıdan sonra hər ikisi gələ bilər, bundan sonra da. Hər ikisi gələ bilər. Digərindən sonra da hər ikisi.
[46:12]Nə qədər, əziz tələbələr, karandaş məsələləri mövzusunun izahını bitirdik. Həqiqətən çətin və qarışıq mövzudur. Amma əlimdən gələn qədər sizlərə aydın şəkildə izah eləməyə çalışdım. Ümid edirəm ki, artıq imtahanda bu suallardan qarşınıza çıxanda çətinlik çəkməyəcəksiz. Diqqətinizə görə təşəkkür edirəm. Sağ olun.
