[0:05]Здравствуй, ребята. С вами я, Эльмира Рановна, и мы с вами разбираем третий признак равенства треугольников. На предыдущем уроке мы его озвучили и сказали, что два треугольника называются равными треугольниками, если три стороны одного треугольника, соответственно, равны трём сторонам другого треугольника. Ну, естественно, если мы говорим о сторонах треугольника, то мы говорим о длине данных сторон и ни о чём больше. Итак, давайте сегодня мы с вами разберём две задачи. Причём, в одной задаче нам нужно найти неизвестный компонент, а в другой задаче нам нужно доказать. И вот как раз-то задача на доказательство не особо вам нравится. Если нахождение элементов треугольника, как бы весь алгоритм нахождение - это логическое рассуждение, то при доказательстве вы испытываете трудности. Но мы вы увидите, что это несложно абсолютно. Первая задача. В этой задаче нам нужно найти неизвестный компонент, то есть угол. Вот найти, чему равен этот угол. Нам пока не особенно важно, каким видом четырёхугольника является данный четырёхугольник. То есть нам дан готовый рисунок и не заостряет внимание на том, что определить каким же четырёхугольником данные будет называться. Потому что в следующих классах мы именно на основании признаков равенства треугольника будем определять вид данного четырёхугольника. Пока мы учимся искать неизвестные компоненты. Итак, по условию AC = BD. И это очень важно, потому что на рисунке не совсем понятно, что у нас равно. Обратите внимание, что вся сторона AC, вот эта вот вся сторона AC равна B. И это у нас записано. Угол BAC равен 30°. И нам нужно найти CDB угол. Итак, решение. Мы понимаем, что если нам нужно найти неизвестный компонент, то, следовательно, нам нужно, а или применить признак равенства треугольника, или применить теорему внутренних углах треугольника или, а, допустим, поговорить о внешнем, а угле треугольника и так далее. Но в данном случае давайте с вами рассмотрим треугольник ABC и треугольник BCD. То есть мы видим глазами, что в принципе углы ABC и CDB - это равные углы, но нашего видения в геометрии недостаточно. Нужно чёткое обоснование. Итак, для того, чтобы доказать, что угол B AC равен углу D BC, нам нужно доказать равенство данных треугольников. Итак, я записываю, что мы рассмотрим. Треугольник, можете писать, что мы рассмотрим. Треугольник BC и треугольник и треугольник BCD. По условию, так, это вот этот треугольник, правильно? BC вот этот вот треугольничек. И в этом случае вы должны видеть данные треугольники. И вот этот треугольник BDC. Давайте поговорим о данных треугольниках. Во-первых, мы всё основные компоненты мы возьмём, естественно, с условия. Итак, AB у нас равно CD. Можете, если вам сложно, можете прямо вынести данные треугольники. Вот, давайте вынесем. AB, C. Так располагается треугольник, и треугольник BCD. B C D. Вот он треугольник. И мы эти треугольники рассмотрим. В этом треугольнике угол BC равен 30°. И нам нужно найти вот этот угол. Мы понимаем, мы э, я уверена, что вы уже догадались, что данный угол равен 30°. Нужно это доказать. Итак, по условию AB у нас равно CD. И я пишу AB = CD. Это условие у нас. По условию ещё и AC у нас равно BD. AC равно BD. Это опять же условие. Это то, что нам было дано. Итак, каждый раз э, рассматривая треугольники и говоря о том, какой признак нужно применить, нам нужно знать три компонента. Два компонента у нас даны. Они нам даны по условию. То есть мы рассуждаем. Нам или не хватает угла между данными сторонами, или нам не хватает третьей стороны. Мы не можем говорить об угле между данными сторонами. Почему? Ну потому что они неизвестны. Один угол известен, второй неизвестен. Поэтому я буду говорить о стороне. Итак, обратите внимание, в этом треугольнике есть сторона BC, и в этом треугольнике тоже есть сторона это BC. Мы с вами вынесли эти треугольники, чтобы увидеть наглядно, какие стороны у нас равны и какие углы мы будем находить. Но если мы вернёмся к нашему треугольнику, мы увидим, что сторона BC, она общая и для треугольника BC и для треугольника BC. А следовательно, ну если она является стороной одного треугольника и стороной другого треугольника, я так и запишу, чтобы целое общее сторона. И этого достаточно для того, чтобы говорить, что данные треугольники будут равны по третьему признаку. Следовательно, треугольник BC будет равен треугольнику BCD, и это будет третий признак. Ещё раз, три компонента, в данном случае, три компонента - это три стороны наших треугольников. Две, два условия у нас даны уже, а третье мы с вами выяснили. И вот теперь нам нужно сделать вывод. Если данные треугольники равны, то соответствующие компоненты, то есть в нашем случае это углы, у них тоже будут равны. Единственное, нужно определить, какие же из углов у нас будут равны. То есть я пишу, следовательно, а мы с вами знаем, что напротив равных сторон всегда лежат равные углы. Так как я рассматриваю сторону BC, и напротив данной стороны лежит наш неизвестный угол, и напротив этой же стороны лежит угол равный 30°, то я могу смело сделать вывод. Что, следовательно, угол BC из равенства треугольников следует, что угол BC равен углу C DB и равен 30°.
[7:44]Что и будет являться нашим ответом. Ну а теперь вторая задача, которая требует доказательства. Ещё раз обращаю внимание на то, что вы не любите задачи на доказательства. Если а определение неизвестных компонентов ещё не вызывает у вас особых сложностей, то с доказательствами вы испытываете данные трудности. Ну давайте с вами попробуем решить эту задачу, вы увидите, что всё основывается на реальных фактах. Всё, каждое в наше утверждение будет основано на определённом утверждении, на на теореме, в нашем случае на теореме. Итак, мы видим, что по условию BO у нас равно OD и АО у нас равно ОС. Опять же, если бы мы бы учились в старшем классе, и нам было бы сказано, что данный четырёхугольник является параллелограммом, то мы бы, конечно, бы действовали немножечко по-другому. Но пока мы не знаем, что данный четырёхугольник называется параллелограммом. И нам нужно доказать, что треугольник ABD будет равен треугольнику BCD. Опять же, возможно, а вы видите, что данные треугольники равны. Да, они равны, но это нужно доказать. И поэтому для того, чтобы доказать, я буду рассматривать треугольники. Я буду рассматривать равенство треугольников. Каких? Давайте с вами возьмём треугольник А и треугольник CD. Итак, я рассматриваю пока данные треугольники. АО треугольник АО и треугольник CD. Что я могу сказать об этих треугольниках? В этих треугольниках по условию BO у нас равно OD. То есть я пишу BO = OD - это условие. Следующее: АО = ОС. АО равно ОС.
[9:49]Это тоже условие. Опять же, у нас даны два компонента. Нам нужно только отыскать третий компонент. Что я вижу? Ну если я уже догадываюсь, если мне даны две стороны треугольника, то мне нужно говорить об угле между ними. И что я могу заметить? Что если я буду рассматривать вот этот угол, то есть угол BOA и угол CD, то данные углы будут являться вертикальными. Вспоминаем, если я возьму две пересекающиеся прямые, то у меня образуется две пары углов. И углы будут называться вертикальными. И мало того, если они называются вертикальными, следовательно, данные углы равны - это теорема. Итак, А = ОС, BO = OD. Теперь я пишу, что угол BOA, BOA равен углу CD, потому что они вертикальные углы. Следовательно, треугольник AB = CD. Треугольник А равен треугольнику CD. А теперь подумаем, по какому признаку? Две стороны и угол между ними - первый признак, первый признак. И только после того, как я доказала, что данные треугольники равны, я могу сказать о том, что напротив равных сторон лежит равны, лежат равные углы. Пойду обратно. Напротив равных углов лежат равные стороны. Напротив вот этого угла, вот этого угла лежит сторона AB. Напротив вот этого угла лежит сторона CD. Следовательно, я могу сделать вывод, что сторона CD будет равна стороне AB. Следовательно, AB будет равно CD. Точно так же я поступлю с другими треугольниками. Итак, я теперь буду рассматривать треугольник BOC и треугольник AOD. Треугольник BOC и треугольник AOD.
[12:02]Опять же, BC. Вы должны видеть, ребят, самое главное - видеть эти треугольники и видеть эти компоненты. Опять же, в треугольнике BOC BO равно равна сторона BO равна стороне OD из треугольника AOD. Я записываю, что BO = OD. Опять же это условие. И я могу сказать, что AO = OC. Опять же это у нас условие. И обратите внимание, опять два компонента известны. Нас интересует ещё что-то. Угол нас интересует. Я буду рассматривать вот этот угол и вот этот угол. Я опять же могу сказать, что данные углы - это вертикальные углы, поэтому я пишу, следовательно, угол BC BC равен углу AOD, потому что они вертикальные углы. И тогда я могу сделать вывод, что треугольники BC и треугольник AOD, AOD равны между собой и равны они по первому признаку. Опять же из этого утверждения следует, что напротив равных углов лежат равные стороны. Напротив вот этого угла, вот этого угла лежит сторона AD, а напротив угла BC лежит сторона BC. Эти углы между собой равны. Если они равны, то стороны, которые лежат напротив этих углов тоже равны. Следовательно, я могу сказать, что BC равно AD. А теперь вот эти два условия нам очень нужны. Итак, что мы выяснили с вами? BC = AD и AB = CD. AB = CD я обозначила, BC Ну, давайте тремя. BC = AD я обозначила. А теперь я перехожу к доказательству того, что треугольник ADB равен треугольнику BCD. Ну, вы видите, что AB = 10. BC = AD. И у нас ещё есть общая сторона BD. Следовательно, данные треугольники равны по этому признаку.
[14:32]И давайте с вами запишем данное утверждение. Итак, рассмотрим теперь треугольники AB и треугольник BCD. Пока я не ставлю между ними и, потому что я скажу, что данные треугольники равны, так как AB = CD мы доказали. AB = CD. Дальше. Мы доказали, что BC равно у нас AD. Это мы тоже доказали. И у нас сторона BD является общей. BD - это общая сторона. Обратите внимание, какие три компонента? Три стороны треугольников. Следовательно, я могу поставить знак равенства и сказать, что данное утверждение у нас доказано. Ну, мы записываем как ЧТД, что и требовалось доказать. Итак, ребят, применяя признаки равенства треугольников, мы можем выяснить равные компоненты. И это очень важно при решении задач. На следующем уроке мы с вами займёмся параллельными прямыми, а именно углами, которые образуются при пересечении двух прямых секущих. А на сегодня наш урок подошёл к концу. До свидания, до новых встреч.
