[0:00]Ma ciao Big Genius! Benvenuto ad una nuova lezione di matematica. Oggi parliamo di insiemi numerici. Sì, sempre con SuperMat, il tuo supereroe scientifico preferito. Cosa? Non sei ancora iscritto al canale? Ma dai, fallo subito per non perderti tutte le prossime avventure, sia di matematica che di fisica.
[0:28]Oggi parliamo di insiemi numerici, un argomento basilare in matematica, ma sempre fondamentale, qualunque sia il tuo livello di studio, liceale, universitario, scuole medie, non ha importanza. Oggi partiamo subito dalle basi. Qual è il primo insieme dei numeri con cui abbiamo a che fare sin da bambini? Beh, la risposta è molto semplice. Un insieme piccolo ma estremamente importante, quello che noi chiamiamo l'insieme N. N che sta per l'insieme dei numeri naturali. Sì, esatto. Naturali, che significa? In realtà sono quei numeri interi positivi, come ad esempio, qui dentro c'è l'uno, ad esempio c'è il due, ma c'è anche il 104, c'è il 77. Ci sono tanti diversi numeri. Ognuno, basta che sia un intero positivo, sicuramente si trova qui dentro. Domanda: ma ci sarà anche lo zero qui dentro? La risposta è ni. Perché? Perché in realtà lo zero c'è, ma non è considerato, ovviamente, un numero positivo, tant'è che a volte noi diciamo l'insieme dei numeri naturali più lo zero o escluso lo zero, quando sostanzialmente andiamo a scrivere una cosa del tipo N+ intendiamo escluso lo zero. Questa, solitamente, è quello che viene fatto in maniera tale da non fare confusione, perché, ovviamente, lo zero non sarà né un numero positivo, né un numero negativo. Ci siamo? Ok, perfetto. Poi, che cosa succede? È importante valutare quali operazioni sono interne, operazioni esterne rispetto a questo insieme. Ora, la domanda però è: ma che cosa significa operazioni interne e operazioni esterne? Sì, stiamo parlando di quelle quattro operazioni fondamentali che studiamo tutti sin da bambini: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione, giusto? Ok. Che vuol dire interna? Interna vuol dire che comunque presi due di questi elementi, se faccio quella determinata operazione, mi ritorna un risultato che sta ancora esattamente qui dentro. Quella è un'operazione interna. Se invece quel risultato, anche per una sola coppia di numeri presente qui dentro, dovesse venire fuori da questo range, beh, quella allora sarà un'operazione esterna. Ci siamo? Ok. Che ti viene in mente? L'addizione? Bene, l'addizione è sicuramente un'operazione interna, che, quindi, possiamo sicuramente mettere da questo lato. Perché? Ma perché comunque presi due numeri positivi, sommati fra loro, faranno ancora un numero intero positivo, quindi perfettamente la definizione di interno che abbiamo dato. La sottrazione? Beh, la sottrazione no. Perché no? Beh, perché se, ad esempio, io prendessi 104 - 1, va bene, 103, perfetto, è ancora qui dentro. Ma se facessi 1 - 104? Eh, lì casca l'asino, perché viene - 103 e pure qui dentro non ci sono i numeri negativi. Quindi, la sottrazione, purtroppo per noi, al momento è un'operazione esterna. Ok? Quindi, addizione interna, sottrazione esterna. E la moltiplicazione? Ma, la moltiplicazione, come sanno tutti quelli bravi, non è altro che un'addizione ripetuta. Fare 3 x 2 significa fare 3 + 3, fare 3 x 4 significa fare 3 + 3 + 3 + 3, cioè, sostanzialmente, è una addizione ripetuta. Quindi, se era interna l'addizione, non potrà che essere interna anche la moltiplicazione, ma certo che sì. Ora, osservazione: prendiamo l'ultima, la divisione. La divisione è più parente di un'addizione o più parente di una sottrazione? Eh, no, è più parente di una sottrazione, la possiamo leggere come una sottrazione ripetuta anch'essa N volte. Quindi, se non rientra la sottrazione, non rientrerà neanche la divisione, perché lì, purtroppo, ci sono anche i nostri adorati numeri con la virgola e chi più ne ha e più ne metta. Quindi, la divisione, per il momento, finisce qui. Questa è la panoramica rispetto all'insieme N. Ok, fantastico, Matteo, ma dunque? Dunque, se vogliamo includere queste operazioni e farle diventare non più esterne, ma interne, dobbiamo allargare il nostro orizzonte. Come allarghiamo il nostro orizzonte? Andiamo a prendere un insieme un po' più grande e, sostanzialmente, questo insieme un po' più grande si chiamerà Z. Chi è Z a questo punto? Ma Z è l'insieme dei cosiddetti numeri relativi. Che vuol dire numeri relativi? Che dipende dal segno, relativo al segno. Quindi, ad esempio, qui troveremo -2, troveremo -3, -103, -4 e via dicendo. Quindi, nei numeri relativi aggiungiamo i numeri interi negativi, quindi Z comprende interi positivi e negativi. Ok? Perfetto. A questo punto, la sottrazione rientrerà perfettamente nelle operazioni interne. Ecco qui, ad esempio, il -103 che dicevamo in precedenza, quindi questo, volendo, lo possiamo togliere da qui e lo andiamo a mettere quassù. Sottrazione. Fantastico! Ora anche la sottrazione è diventata un'operazione interna. Ma non ci basta. Perché non ci basta? E la divisione? Quand'è che diventa interna la divisione? Beh, la divisione mi diventerà interna nel momento in cui finiamo in un altro magico mondo. Un insieme ancora un po' più grande che prende il nome di Q. Che vuol dire Q? Q, in realtà, sta per insieme dei numeri razionali. Cosa sono i numeri razionali? Tutti quei numeri che possono essere scritti sotto forma di frazione. Esatto. Quindi, ad esempio, 1/2, 1/3, 1/4, questi sono tutti i numeri razionali. Quali sono, quindi, i numeri razionali? Sono i numeri decimali limitati, 1,2, 1,3, 1,4, o i numeri decimali illimitati, ma periodici. Ok? Guarda, è molto più semplice di quello che sembra. Tecnicamente, cancelliamo un secondino questo. Che cosa c'abbiamo? C'abbiamo, quindi, che in Q noi abbiamo due categorie, che sono i numeri decimali limitati, fantastico, e i numeri decimali illimitati, ma periodici. Ok? Questi sono tutti i numeri che possono essere messi sotto forma di frazione. Sì, esatto, adesso finalmente abbiamo incluso anche la nostra divisione nel magico mondo delle operazioni interne. Dice: 'E beh, non abbiamo ancora finito? Le quattro operazioni sono terminate, che altro ti vuoi inventare?' Beh, c'è un problema, sì. Ci sono dei numeri che sicuramente avrai già incontrato o avrai sentito, che si chiamano irrazionali. Cosa sono gli irrazionali? Gli irrazionali sono esattamente il contraltare dei razionali. Che vuol dire? Vuol dire che non sono dei numeri che possono essere scritti sotto forma di frazione. Quali sono questi numeri? Questi numeri gli irrazionali, esempi di irrazionali quali possono essere? Esempi di irrazionali sono, ad esempio, radice di 2. Non può essere scritto sotto frazione. C'è una dimostrazione molto valida, magari ti lascio un link qui sotto, così gli vai a dare un'occhiata, se sei maggiormente interessato. Ma dai, un altro numero sicuramente che avrai incontrato è il pi greco. Questo tutti lo abbiamo incontrato ed ha infinite cifre decimali dopo la virgola. Ecco, è un illimitato, ma non è periodico, non ha mai, sostanzialmente, una ripetizione uguale a sé stessa. Un altro numero molto famoso, probabilmente è E, che vale circa 2,71. Circa, perché anch'esso è un numero illimitato, non periodico e, sostanzialmente, quindi avrà infinite cifre decimali dopo la virgola. Noto come numero di Nepero o numero di Eulero. Ok? La domanda è: dove si collocano, allora, gli irrazionali in tutto questo? Beh, sostanzialmente, dobbiamo un attimo rivedere il nostro schema. Ok? Ok, sostanzialmente, dobbiamo aggiungere l'insieme, cosiddetto, dei numeri reali. Questo è l'insieme più grande che utilizzerai solitamente fino al liceo e poi, sostanzialmente, forse all'università aggiungerai anche qualcos'altro che, però, in questo specifico episodio non tratterò, ovvero i numeri immaginari e, quindi, i numeri complessi, che è il sistema numerico più grande in assoluto. Ovviamente, se sei interessato, lasciami un commento qui sotto, fammi una domanda e, sicuramente, cercherò di risponderti il prima possibile. I reali si dividono in due grandi categorie. Da una parte ritroviamo esattamente Q, quello che abbiamo studiato in precedenza, che conteneva, a sua volta, Z, che conteneva, a sua volta, N. E poi, successivamente, dall'altra parte ritroviamo quelli che sono gli irrazionali. Sì, insomma, se mastichi semplicemente un po' di insiemistica, i numeri reali sono una partizione, una divisione di due elementi completamente diversi, gli irrazionali e i razionali. D'altronde, un numero o sta qui o sta qui, almeno nell'ambito dei numeri reali. Ok? È tutto abbastanza chiaro? Perfetto. Allora, non mi rimane che ringraziarti anche oggi per essere arrivato fino in fondo all'episodio. Spero che sia stato chiaro. Se hai qualche domanda o qualche dubbio su questa lezione, sicuramente lasciami un commento e ti risponderò a brevissimo. Poi, per il resto, ci vediamo sulla mia pagina Facebook oppure sulla mia pagina Instagram, in particolar modo. Ma SuperMat, dove vuoi trovarlo? Qui, sul tubo. Quindi, se ancora non l'hai fatto, iscriviti al canale e fai suonare quella bella campanellina. Così da non perderti tutte le prossime avventure del tuo supereroe scientifico preferito.
