[0:00]Hallo. In diesem Video möchte ich eine Einführung in lineare Funktionen geben. Was ist eine lineare Funktion? Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form f: R -> R, f(x) = m*x + a. Der Funktionswert ist dann eine gerade im Koordinatensystem, sieht das dann eben so aus. Wir wollen uns hier überlegen, welche Bedeutung diese Parameter m und a haben. Dieses m, das ist auch ein Standardbuchstabe für diese Zahl, die vor dem x steht, das nennt man die Steigung. Und das, was ich hier a nenne, manchmal heißt es auch b oder n, das ist der sogenannte Y-Achsenabschnitt. Und wir wollen uns jetzt Gedanken machen, welche Bedeutung der Y-Achsenabschnitt und die Steigung für die Form der Geraden im Koordinatensystem hat. Dazu schauen wir uns zuerst den Y-Achsenabschnitt an. Und wie der Name schon sagt, ist der Y-Achsenabschnitt der Abschnitt auf der Y-Achse, nämlich eben der Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse. In dem Bild hier, also genau diese Stelle, das sieht man auch, diese Stelle ist eben der Funktionswert an der Stelle 0 und wenn ich in unserer Geradengleichung x = 0 einsetze, egal wie groß die Steigung ist, kommt eben das a heraus. Man kann sich damit dann also merken, wo liegt eben dieser Schnittpunkt? Wenn das a eine Zahl größer als 0 ist, dann ist eben der Schnittpunkt im positiven, also oberhalb der x-Achse. Und wenn das a kleiner als 0 ist, dann ist dieser Schnittpunkt unterhalb der x-Achse. Es gibt noch einen Spezialfall, nämlich, dass das a gleich 0 ist, dann haben wir den Schnittpunkt im Ursprung. Man nennt das dann auch eine Ursprungsgerade und die spezielle Form ist dann eben, wenn wir uns anschauen, wenn das a gleich 0 ist, ja, dann kann man es auch weglassen.
[2:32]Die spezielle Form ist dann einfach f(x) = m * x, die Gerade geht durch den Ursprung. Welche Bedeutung hat die Steigung m? Die Steigung m gibt an, um wie viel die Gerade steigt, wenn ich das x um 1 erhöhe. Man kann dazu auch ein sogenanntes Steigungsdreieck einzeichnen, wenn ich hier an dieser Stelle bin, hier den entsprechenden x-Wert habe, und das x jetzt um 1 erhöhe, dann gibt mir das m an, um wie viel geht es jetzt eben hier nach oben. Ich könnte natürlich auch statt um 1, dann auch mal um 2 erhöhen und dann geht's hier natürlich um das Doppelte, um 2m weiter. Und das kann man sich jetzt eben auch allgemein überlegen. Ich male hier vielleicht noch mal die Gerade ungefähr hin. Wenn ich in der x-Richtung mich um Delta x bewege, dann fragen wir uns jetzt eben, um wie viel ändert sich der y-Wert? Was ist das Delta y? Wie war das jetzt, wenn wir uns um 1 nach rechts bewegen, geht zum m hoch, um 2, um 2m hoch und wenn wir uns um Delta x viel bewegen, dann geht's eben um Delta x * m hoch. Und dieses ist nun eine Möglichkeit, die Steigung auszurechnen, wenn man z.B. ein Delta x und ein Delta y kennt und das ist eben eine ganz wichtige Formel, das m ist = Delta y dividiert durch Delta x. Und so kann man sich jetzt eben auch wieder ein bisschen qualitativ überlegen, wie die Gerade denn im Koordinatensystem verläuft, je nach Wert von m. Schauen wir uns da auch verschiedene Fälle an. Zunächst mal, was ist eben, wenn das m größer als 0 ist? Gut, das bedeutet eben, wenn wir nach rechts gehen, gehen wir auch wirklich nach oben, also die Gerade steigt. Wenn das m kleiner als 0 ist, z.B. -2, wenn wir um 1 nach rechts gehen, ändert sich der Funktionswert um -2, das heißt, wir gehen um 2 nach unten. Also, wenn das m kleiner als 0 ist, dann fällt die Gerade. Auch hier gibt es jetzt eben noch einen Spezialfall, nämlich m = 0. Was passiert, wenn m = 0 ist, dann geht's weder rauf noch runter, es bleibt konstant, wir halten eine parallele zur x-Achse, die Gerade ist parallel zur x-Achse und hat eben dann auch eine spezielle Gestalt.
[5:35]Das können wir hier noch mal schauen, wenn das m = 0 ist, dann können wir diesen Ausdruck hier auch weglassen, 0 * x kann man weglassen, dann haben wir f(x) = a, sagen 0 * x + a.
[5:56]Wichtig ist vielleicht auch noch zu wissen, wie sieht denn in Abhängigkeit von dem Wert von m ungefähr diese Gerade aus? Wir können uns einen Spezialfall vielleicht mal anschauen, wenn das m gleich 1 ist oder gleich -1 ist, dann bedeutet das, wenn wir 1 nach rechts gehen, gehen wir nach 1 nach oben oder eben -1 nach unten, das heißt, wir haben eine Diagonale, wenn wir gleiche x und y Beschriftungen haben. Also eben, wenn das m = + oder - 1 ist, das kann man zusammenfassen mit Betrag von m = 1, da schmeißt man ja sozusagen das Vorzeichen weg, ähm, ich schreib es aber der Vollständigkeit halber noch mal hin, das heißt, eben das m ist = + oder - 1, da haben wir dann eben eine diagonale Steigung. Wenn der Wert von m größer als 1 ist, dann geht's, wenn wir um 1 nach rechts gehen, um mehr als 1 nach oben oder kleiner als -1, um mehr als 1 nach unten, dann ist die Steigung steiler als diagonal, also, wenn Betrag von m größer als 1 ist, dann haben wir einen steileren Verlauf als eine diagonale Steigung. Und wenn der Betrag von m kleiner als 1 ist, z.B. einhalb, dann bedeutet das, wenn wir 1 nach rechts gehen, gehen wir nur einhalb nach oben oder - einhalb, einhalb nach unten, wir haben eine flachere als eine diagonale Steigung.
[7:32]Wollen wir uns das an verschiedenen Beispielen ansehen?
[7:38]Hier sind mal verschiedene Geraden mit den entsprechenden Funktionsvorschriften aufgetragen. Den y-Achsenabschnitt, den kann man, wie gesagt, direkt ablesen +1, -1, hier haben wir den y-Achsenabschnitt 0, wir haben eine Ursprungsgerade, steht eben kein +0 da, aber das kann man sich ja denken. Ähm, der y-Achsenabschnitt 1, -1 und +2. Die Steigung 3 positiv, die Gerade steigt, größer als 1, steiler als diagonal. Hier kann man sich eine 1 denken als Steigung, 1 * x, das m ist gleich 1, 1 bedeutet es steigt und zwar diagonal, wie man eben auch an dem Bild sieht. Einhalb flachere als diagonale Steigung, hier haben wir diesen Spezialfall m = 0, 0 * x, kann man sich dazu denken, ja, meine Parallele zur x-Achse. Steigung ein bisschen negativ, flach nach unten, stark negativ, steil nach unten. Das Ganze können wir uns auch an einer Visualisierung anschauen.
[8:47]Hier ist die Geradengleichung gegeben, hier habe ich mal Steigung 0,6 eingestellt, y-Achsenabschnitt 0,5.
[9:06]Wir sehen hier den y-Achsenabschnitt hier unser Steigungsdreieck, 1 nach rechts, dann geht's eben um 1 mal die Steigung, hier habe ich 0,6 eingestellt, nach oben. Wenn ich um 2 nach rechts gehe, dann geht's eben entsprechend um das Doppelte nach oben. Ah, gut, nicht ganz eingestellt, so, jetzt haben wir es hier um 1,2, zweimal 0,6 nach oben und entsprechend dann weiter. Und jetzt kann man eben an der Steigung auch spielen, wenn ich die Steigung größer mache, wird es steiler.Steigung gleich 1, diagonale Steigung, Steigung gleich 0, parallele zur x-Achse, negative Steigung, es geht nach unten, stark negativ, es geht steil nach unten. Als Abschluss noch eine Aufgabe für Sie.
[10:03]Hier sind zwei Geraden gezeichnet. Sie sollen die Funktionsvorschrift dazu angeben und dann vielleicht noch umgekehrt, wie sieht die Gerade aus zur Funktionsvorschrift f(x) = -1/3x + 1 und f(x) = 2x - 3.
