[0:01]Hola a todos, bienvenidos a este canal. Vamos a ver centro de masas y centro de rigidez, un poco de definición y cálculo.
[0:14]Qué es el centro de masa? Que no es más que el lugar geométrico donde actúan las fuerzas inerciales debido a una excitación dinámica y es donde se concentra el peso de los elementos homogéneos.
[0:28]En el caso de análisis de edificios que es el caso que nos compete, la losa de entrepiso, nosotros consideramos que es, bueno no lo consideramos, en realidad lo es, es muchas veces más rígida que el resto de componentes.
[0:43]Comportándose todo el entrepiso como un sólido rígido y eso nosotros podemos idealizarlo en el modelo matemático como al momento de asignarle diafragmas a todo nuestro entrepiso.
[0:57]Qué es lo que hace el programa internamente? Genera unos constrain o unos links rígidos que conecta cada uno de estos de los puntos a que han sido puntos o objetos a que han sido asignados en el diafragma.
[1:13]A través de unas ecuaciones de compatibilidad de desplazamiento, todos los puntos contenidos en el en el en este sólido rígido tienen los mismos desplazamientos.
[1:26]Translacionales y uno rotacional. Así se podría simplificar este procedimiento de asignarle el diafragma rígido.
[1:35]Por otro lado, nosotros cuando hacemos un metro de cargas, podemos podemos obtener fácilmente que el peso de la losa en comparación del resto de los elementos.
[1:50]Es mucho mayor, entonces prácticamente gobierna en en el peso de la edificación, gobierna el peso de en la losa de entrepiso.
[1:57]Ahora, el centro de masas de la losa, ¿es igual al centro de masa de todo el entrepiso? Efectivamente.
[2:06]Cuando se trata de edificios de planta simétrica, el centro de masa de la losa va a coincidir con el centro de masa de todo el entrepiso, pero cuando tenemos un edificio o una planta con una concentración de masa, dado por estos elementos tipo muros de concreto, de buen espesor que de alguna manera concentran la masa en esta esquina.
[2:29]O también podemos tener una variación del centro de masa cuando tenemos masas concentradas en cualquiera de los puntos o nudos de en nuestro de nuestro edificación.
[2:41]Entonces, debe haber unas ciertas condiciones para que el centro de masa de la losa coincida con el centro de masas del entrepiso.
[2:51]A veces, idealizamos de manera muy muy rápida o simplificamos algunos algunos procedimientos diciendo aplicándole una fuerza en el centro de masa de de la forma del entrepiso, lo cual es incorrecto hasta cierto punto.
[3:02]¿Cómo se calcula el centro masa? Al hablar de elementos homogéneos, las vigas, columnas, losas, son elementos homogéneos, entonces conociendo el centro de gravedad de ese de ese elemento podemos obtener rápidamente el centro de masas.
[3:17]Para los software de análisis, ¿cómo definen la masa de un entrepiso? Obviamente, si este es el nivel del entrepiso de análisis, va a considerar el aporte de todos los elementos que están contenidos en este plano.
[3:31]Más el aporte de la mitad de la columna del nivel inferior con la mitad de la columna del nivel superior.
[3:38]Entonces, yo voy a tener un modelo matemático donde tengo masas concentradas de cada nivel, por eso defino acá como el promedio de las alturas del inmediato inferior y superior del nivel de análisis, de todos los elementos verticales.
[3:53]Esto qué qué trae como consecuencia de que fácilmente lo podemos comprobar de que la masa del último nivel va a ser siempre menor, ya que solamente tienen la mitad de la columna inferior.
[4:05]Entonces, ¿cómo obtenemos esta estas masas? Tendríamos que hacer un metrado de cargas de cada uno de los elementos.
[4:15]Conocer su su masa que es fácil, porque tenemos el volumen, tenemos la geometría de este elemento. lo multiplicamos por su peso específico, lo dividimos en la gravedad y tenemos la masa.
[4:24]La posición de su centroide es el centroide de este elemento simétrico, volumétrico, lo mismo haríamos con la con las vigas y con los losas, muy sencillo en realidad.
[4:33]¿Cómo se halla el centro de masas? Se halla como cualquier como calcular el centroide de cualquier figura volumétrica, solo que esta figura en particular tiene elementos estructurales, columnas, vigas.
[4:50]Vayamos al otro punto que es el centro de rigidez, considero que la definición de este es importante para para ver los casos de torsión en en edificios, cuando el centro de masa no coincide con el centro de rigidez, etcétera.
[5:04]¿Qué cosa es el centro de rigidez? Se puede definir el centro de rigidez como un punto del entrepiso que al imponerle una fuerza horizontal se tendrá traslación pura.
[5:15]Sí, tenemos acá una planta, acá está el centro de rigidez, al aplicarle una fuerza, vamos a tener en el centro de rigidez, vamos a tener prácticamente traslación pura.
[5:24]También el centro de rigidez es definido como un punto pivot del entrepiso ya que alrededor de él, el resto de puntos van a rotar, van a rotar al imponerle una fuerza en cualquier en cualquier punto diferente al centro de rigidez.
[5:39]Por ejemplo, veamos este caso que ya está bien definido el centro de rigidez por la concentración de de estos elementos resistentes.
[5:49]Y qué pasa si colocamos una fuerza en un punto distinto del centro de rigidez, a diferencia de el primer caso que tenía traslación, este caso va a presentar una rotación.
[6:02]Debido a que no no se está aplicando el el la fuerza en el centro de rigidez, por lo tanto, las fuerzas inerciales van a aplicarse en el centro de masa.
[6:11]Entonces, si el centro de masa no coincide con el centro de rigidez, estamos induciendo una torsión. Esto qué quiere decir que nuestros nuestros edificios van a estar sometidos a una fuerza torsional.
[6:26]Entonces, mientras el centro de masa coincida con el centro de rigidez, ya que el centro de masa es el centro de las fuerzas, nuestro sistema o nuestra estructura, en este caso, no va a estar sometido a ese tipo de solicitación.
[6:38]El centro de rigidez es, como lo hemos visto, es el centro estático de la de las rigideces laterales de los diversos ejes estructurales.
[6:46]¿Por qué yo asigné que el centro de rigidez está en esta posición? Ya que cuando hagamos el el cálculo correspondiente, nos va a salir que mientras el centro de rigidez va a tender a acercarse a los elementos mucho más rígidos.
[7:00]¿Cómo calcular el centro de rigidez? Tradicionalmente se obtiene el centro de rigidez generando un desplazamiento unitario al entrepiso en cada una de las direcciones de análisis. Evidentemente se generan fuerzas que se oponen a este desplazamiento impuesto en cada uno de los elementos resistentes lateralmente (rigidez lateral).
[7:11]Ese desplazamiento unitario no va nos va a generar fuerzas eh que se van a oponer a ese desplazamiento, los elementos resistentes o los elementos que poseen rigidez lateral se van a oponer a ese desplazamiento.
[7:23]Y lo que yo tengo que hacer es por condición de equilibrio, igualar el momento que me genera cada una de estas acciones de rigidez de los ejes estructurales con respecto a un origen.
[7:37]E igualarlo a la suma de momentos causados por la resultante, aplicada en el centro de rigidez.
[7:44]Entonces, en este caso particular, tendríamos para un desplazamiento en X, un desplazamiento unitario en X, tendríamos el aporte de cada una de las rigideces por su brazo de palanca, que es en este caso sería la componente I.
[7:55]Entre la sumatoria de rigideces en esa misma dirección para obtener esta coordenada, lo mismo haríamos en el caso de del la coordenada o la componente X.
[8:10]Tendríamos un desplazamiento unitario en el sentido I y tendríamos a fuerzas que se oponen, fuerzas que se oponen a ese desplazamiento que serían las rigideces de los elementos estructurales.
[8:22]Tomando momentos podemos obtener esta expresión. Ahora, lo que les había comentado anteriormente, el centro de rigidez va a tender a a acercarse a los elementos mucho más rígidos.
[8:35]Ya que voy a necesitar tan solo un pequeño eh si el si este elemento es mucho más rígido que este elemento de acá lateralmente, entonces yo voy a necesitar menos brazo de palanca.
[8:47]En comparación del otro elemento que va a necesitar mucho más brazo de palanca para poder equiparar esas esas fuerzas.
[8:56]O sea, en este caso, como estamos hablando de desplazamientos unitarios, serían rigideces.
[9:02]Hay un método alternativo para calcular el centro de rigidez, que ya hemos definido anteriormente, que es a través de una superposición de acción de fuerzas y el principio de compatibilidad de desplazamiento de la losa de entrepiso.
[9:18]Básicamente es la definición de del centro de rigidez.
[9:21]Sabemos que si aplicamos una fuerza en el centro de rigidez, vamos a tener traslación pura. Por lo tanto, ¿qué sucede si es que aplicamos una fuerza en un punto arbitrario?
[9:32]De manera estratégica, vamos a colocar la fuerza en el origen de coordenadas de este sistema, que es un una planta de un edificio en donde asignamos el centro de rigidez a una distancia X, que justamente va a coincidir al tratarse del origen de coordenadas.
[9:47]Al yo colocarle una fuerza distinta, una fuerza en un punto distinto del centro de rigidez, voy a tener un momento torsor.
[9:54]Este momento torsor me va a generar me va a generar una rotación que le vamos a denominar la rotación en Z debido a una fuerza en I.
[10:05]¿Qué cosa debemos hacer? Debemos aplicarle una fuerza adicional, o sea, otro estado con una fuerza adicional, en este caso, un momento que lo que haga lo que debería hacer, mejor dicho, es tratar de de darle compatibilidad a esta rotación.
[10:24]Prácticamente como enderezando, es decir, lo el el la rotación que yo he inducido con esta fuerza aplicada en un punto distinto al centro de rigidez va a ser compensada con este momento que me va a producir un una rotación Z debido a una acción justamente en Z.
[10:39]Para finalmente tener en mi sistema superponiendo esos dos estados, voy a tener tan solo desplazamiento que sería prácticamente el el la aplicación de esta fuerza en el centro de rigidez, debido a la modificación de la acción de este momento.
[10:59]Cada uno de cada uno de estos estados tiene estas expresiones, que sería el momento generado de este sistema, que sería igual a la rigidez torsional que tiene esta planta.
[11:10]Multiplicado por el ángulo o la rotación, en este caso, la rotación de Z debido a una fuerza en I.
[11:16]Para el otro estado tendríamos lo mismo, tendríamos el momento eh Z, momento Z Z que es igual a la rigidez torsional multiplicado por el ángulo rotacional debido a la acción en Z.
[11:32]Igualando estas expresiones, por fijando estas expresiones podemos obtener la relación que existe entre las fuerzas aplicadas y las rotaciones generadas.
[11:44]Si estas fuerzas, nosotros si estas fuerzas son fuerzas unitarias, tendríamos prácticamente este la la componente de del centro de rigidez.
[11:54]En este caso, el X, que no es más que una una relación de rotaciones. Lo mismo haríamos para el caso I, tendríamos una una relación de rotaciones.
[12:03]Con este método, ¿qué cosa hemos simplificado? Hemos simplificado el cálculo de todas las rigideces relativas de los pórticos resistentes o o los o sí, las rigideces laterales de todos los pórticos con con su distancia.
[12:18]Y hacer el cálculo anterior que habíamos visto, que era la sumatoria de rigideces por distancias, la sumatoria de rigideces.
[12:23]¿Por qué? Porque a veces en en estructuras un poco más complejas donde hay no tan solo elementos tipo de tipo pórticos, que son columnas y vigas, sino también hay muros de concreto armado, muros de mampostería, etcétera, es lo que va a ser un poco, va a ser mucho más complejo eh calcular las rigideces laterales y todo eso, cuando tranquilamente podemos utilizar el software para para para obtener el centro de rigidez al aplicarle este eh fuerzas y momentos en un punto estratégico.
[12:54]Y obtener esta relación de rotaciones de manera más práctica. Acá tenemos, ¿cómo calcular el centro de rigidez de manera alternativa?
[13:03]Y vayamos a un caso aplicativo. Tenemos un modelo, en este caso es una una un edificio de cuatro pisos, he he agarrado por rapidez los valores por defecto que me salió el programa.
[13:14]Estas no no obedecen a ningún predimensionamiento ni nada, solamente es es de manera de ejemplo, un modelo hipotético, en realidad.
[13:23]Las son columnas típicas, vigas típicas, está compuesta por losa maciza, altura típica de 3 m y la distancia entre paños es de 8 m.
[13:31]Ahora, hay algunas consideraciones de idealizaciones. No vamos a considerar carga viva y carga permanente para simplificar cálculos nada más, es decir, la masa, bueno, el peso y la masa es este está dado solamente por los componentes estructurales.
[13:47]Simplemente por cuestiones prácticas. Evidentemente en un un modelado real, en un análisis de de edificación, una edificación real, debemos incluirle el porcentaje de carga viva correspondiente según el tipo de edificación, el peso de los demás este elementos, etcétera.
[14:02]No vamos a considerar brazos rígidos en las intersecciones de los de los elementos tipo frame.
[14:07]¿Para qué? Para calcular con la longitud total del elemento, la losa se va a comportar como un diafragma rígido, es decir, no nos vamos a cuestionar si es que este es un diafragma rígido o o semirrígido.
[14:23]Sabemos que que hay una una serie de condiciones que que debe satisfacer para que sea considerado como un diafragma rígido, pero vamos a vamos a dejarlo que solo es es rígido, no hemos hecho cálculos previos para verificarlo.
[14:36]Y la losa vamos a definirlo como un elemento Shell delgado con tamaño de malla de un metro. Cálculo del centro de masas.
[14:46]Habíamos visto que debemos eh debemos saber el las masas y la ubicación de cada una de esas concentraciones de masa de los elementos.
[14:54]Entonces, tenemos una tabla con con todos los elementos que conforman tan solo un nivel, vamos a hacer el cálculo para el primer nivel.
[15:02]Acá están las 16 columnas, acá está la losa, sí con coordenada 13 13 12. Hacemos el cálculo del de su de su, bueno, tenemos el volumen por el peso específico, la masa el peso, dividido en la gravedad la masa.
[15:20]Tenemos la sumatoria de todas las masas por la sumatoria del producto de la de la masa por la componente X. Tan solo vamos a hacer la componente X, ya que este sistema es es este es simétrico, sí, es simétrico respecto a la a la posición X, ¿sí?
[15:35]Respecto a I se podría decir que es simétrico, mientras que en X hay una pequeña variación o una o una concentración de masa para el lado derecho.
[15:45]Haciendo los cálculos, tenemos 12,71 como coordenada del centro de masa en X y la componente I, evidentemente, es 12.
[15:54]Y acá lo que quiero aclarar es la primera interrogante que habíamos habíamos visto en este caso que sería esta es la losa.
[16:04]Esta es la losa que hemos analizado, paños de 8 m, tres paños de 8 m y 8 m, pero el centro de gravedad de la losa, solamente hablando como sólido rígido, el centroide nos dice que es coordenada 13, el componente X es 13 y el componente Y es 12, es decir, sería esta posición que lo habíamos notado por acá.
[16:28]Sí, 13 y 12. O sea, la componente X es 13. Y cuando vamos nosotros al cuando vamos nosotros a la tabla, evidentemente, acá está se encuentra el valor de la coordenada de de la losa que es 13,12.
[16:50]Pero la coordenada del centro de masa de todo el sistema no coincide con la coordenada del centro de masa de la losa, debido a que bueno, acá hay una
[17:02]acá hay una masa de de la viga que de alguna manera el centro de masa está obligándolo a irse a la un poco más hacia la izquierda, 29 cm aproximadamente.
[17:15]Ya que la distribución sin considerarla la losa es prácticamente simétrica. O sea, quiere quiere, si es que quito yo la losa, el centro de masas debería de todo el sistema debería ser el 12,12.
[17:28]Entonces, este es un caso donde aparentemente no hay una concentración de masa importante, pero hay una variación del centro de masas de la losa respecto al centro de masas de todo el entrepiso.
[17:40]El centro de rigidez. Obviamente, vamos a calcular con el método alternativo que es mucho más rápido. Tenemos nuestra planta, agarramos un punto estratégico, le aplicamos una fuerza.
[17:50]Eh hallamos la rotación eh debido a esa fuerza, la rotación Z, imprimimos esta esta rotación, luego aplicamos un momento para tratar de compensar esa rotación.
[18:02]Y tenemos lo mismo, tenemos una rotación debido al momento torsor y simplemente relacionamos esas esas rotaciones para obtener el centro de rigidez.
[18:14]En este caso, el centro de rigidez o la componente X es 12.03. Hacemos lo mismo para el para la componente I. Aplicamos una fuerza en este caso en X, tenemos la rotación debido a esa fuerza.
[18:30]Luego aplicamos un momento para compensar esa esa acción y tenemos que en la relación de de rotaciones eh nos da la componente Z eh, perdón, la componente I en este caso sería 12 por simetría.
[18:41]Solamente de manera de comprobar. En resumen, tenemos el centro de masas y tenemos el centro de rigidez.
[18:50]El centro de masa es 12.71. El centro de la componente X del centro de rigidez es 12.03. Hay una excentricidad ya dada de esta estructura de casi 70 cm, a lo cual deberíamos añadirle la excentricidad accidental que nos que nos dice la norma.
[19:07]En este caso, nuestra nuestra edificación al aplicarle fuerzas sísmicas, sí, va va a haber un va a haber fuerzas sísmicas, va a haber momentos torsores debido a esa acción, ya que el centro de masa no coincide con el centro de rigidez.
[19:22]Ahora bien, mientras nuestra estructura sea mucho más irregular o no tan solo que sea irregular, sino aún siendo regular yo propongo elementos con mucha rigidez en un lado, a comparación del otro, o sea, no hay simetría en rigideces, mi centro de rigidez va va a alejarse demasiado del centro de masas.
[19:48]Por lo tanto, voy a tener elementos mucho más solicitados por esfuerzos de de tipo tracción.
[19:53]Muestro también la tabla que nos que nos da el ETABS, ¿cómo calcula el centro de rigidez y el centro de masas? Acá está la la coordenada del centro de rigidez.
[20:04]Componente X, 12.03, coincide prácticamente con lo que hemos calculado nosotros con el método ya que es el método que calcula el programa y con la coordenada del centro de masas, ¿no? Que es 12.71.
[20:15]Acá también el programa nos da el resumen de las masas que está considerando por cada piso, podemos observar que el el último nivel evidentemente tiene menos masa debido a la acción de solamente de media columna.
[20:29]Y acá la masa que está considerando el programa es 35.522.83 y queremos comprobarlo con el que habíamos calculado nosotros en en esta tabla.
[20:41]Y efectivamente es el mismo valor, 35.522 con este con estos cálculos simples que habíamos hecho para calcular la masa.
[20:48]Vayamos al programa. Este es el mismo modelo que hemos utilizado para para el ejemplo.
[20:56]Les voy a mostrar el lo que hemos definido las cargas son las fuerzas X, fuerzas, fuerza en Y, momento en Z.
[21:05]Que no es más que la aplicación de cada una de las de las cargas por nivel para obtener esos desplazamientos.
[21:13]Me falta correr acá. Y vamos a obtener las rotaciones debido a cada una de esas fuerzas, luego al comparar esas rotaciones.
[21:26]Sí, con la expresión que habíamos indicado, podemos obtener fácilmente la la posición del centro de rigidez. Bien, veamos acá qué cosa es lo que nos ha salido.
[21:43]Podemos imprimir o podemos decirle al programa que nos muestre cuál es el desplazamiento debido a fuerza X. Tenemos la rotación, imprimimos esta rotación Z, que es la que nos interesa, y luego la comparamos con con la rotación producida por un momento torsor.
[22:06]La relación de ellas nos da la la coordenada del centro de rigidez. Ahora, el programa también calcula el centro de rigidez, pero este video está orientado a a poder nosotros calcular aparte, sí, aparte del programa, para de manera de comprobar, de comprobación el centro de rigidez.
[22:21]Ya que este video en realidad es un preludio a a otros videos donde vamos a ver cómo la asignación de algunos parámetros puede alterar la la forma cómo cómo calcula el centro de masa y el centro de rigidez el programa.
[22:38]Es decir, podemos inducir algún error incluso sin darnos cuenta. Es por ello la importancia de de poder determinar nosotros, con con expresiones sencillas, dándole fuerzas unitarias nada más a la a la estructura.
[22:53]Cómo calcular el centro de rigidez y cómo comprobarlo. Ahora, si es que confiamos en el programa y hacemos y introducimos correctamente los parámetros, debemos activar esta opción. Vamos a análisis.
[23:03]Al set load o los casos que van a ser cargados, o los que van a ser analizados, y por defecto esta esta opción está desactivada, que es calcular el centro de rigidez del diafragma.
[23:14]Debemos activarla y luego damos correr y nos va a dar cuando cuando le pidamos que nos muestre las tablas, vamos a la opción
