[0:04]Ebben a videóban a trigonometrikus területképlettel fogunk megismerkedni. A trigonometrikus területképlet a háromszög területét fogja nekünk megadni. Legyenek a háromszög oldalai A, B és C. És ugye tudjuk, hogy a háromszög területét ki tudjuk számolni következő képlettel: A szor ma per kettő. Ez az A oldal szorozva a hozzátartozó magassággal, osztva kettővel. Ez itt ugye az A oldalhoz tartozó magasság. Ez lesz tehát MA. A trigonometrikus területképlet a következőképpen néz ki. A háromszög területe egyenlő a szor b, tehát két oldal szorozva az általuk bezárt szög szinuszával. Ez legyen gamma, tehát szinusz gamma, ekkor ugye gamma az A és a B oldal által bezárt szög, tehát ez a szög itt, és ez osztva kettővel. A trigonometrikus területképlet esetén tehát két oldalból és az általuk bezárt szögből meg tudjuk adni a háromszög területét. Nézzük meg, hogy mi is a különbség a két képlet között. Ugye mindkettőben szerepel A a számlálóban, illetve kettő a nevezőben. Ugye A a számlálóban, illetve kettő a nevezőben. Amiben eltér ez a két képlet egymástól, az az, hogy az első képletünkben MA, tehát az A oldalhoz tartozó magasság szerepel még a számlálóban. A másik esetben pedig egy másik oldala, azaz B oldala a háromszögnek, illetve az A és a B oldalaktól bezárt szög. Ahhoz, hogy belássuk, hogy ez a trigonometrikus területképlet valóban működik, az azt kellene belátnunk, hogy ez az MA, tehát az A oldalhoz tartozó magasság,
[2:04]az egyenlő egy másik oldal, és az A és a B oldalak által bezárt szög szorzatával. Tehát, hogyha ez a kettő egyenlő, akkor nyilvánvalóan működni fog a trigonometrikus területképletünk. Ugyanis az a b szer szinusz gamma, az ugyanannyi lesz, mint az MA, és azt tudjuk, hogy ez a területképlet ez működik. Nézzük tehát meg, hogy valóban ez az MA egyenlő lesz-e b szer szinusz gammával. Tehát, amit bizonyítani szeretnénk, az az, hogy MA, tehát az A oldalhoz tartozó magasság egyenlő b szer szinusz gammával. Több esetet fogunk nézni. Ugye van hegyesszögű háromszögünk, amiben egy hegyesszögre meg fogjuk nézni, és hogyha egy hegyesszögre működik, akkor ugye az összes többire is működni fog. Van tompaszögű háromszögünk, illetve derékszögű háromszögünk, mindegyikre meg fogjuk nézni, hogy valóban működik-e a dolog. Legyenek ennek a háromszögnek, ennek a hegyesszögű háromszögnek az oldalai A, B és C. Az A és a B által bezárt szög legyen a gamma, és ugye ez itt az A oldalhoz tartozó magasság, azaz MA. Ugye tudjuk, hogy a terület az A szor MA per kettőként írható fel.
[3:27]Nézzük, hogy ezt az MA-t ki tudjuk-e valahogy fejezni másképpen. Ugye itt van egy derékszögű háromszögünk, melynek oldalai A, B és MA, ez a derékszögű háromszög. És ugye ebbe adott ez a gamma szög, amire pedig föl tudjuk írni a szinusz szögfüggvényt, amiben szerepel ez az MA. Ekkor tehát szinusz gamma egyenlő MA, azaz a szöggel szemközti befogó, osztva B-vel, azaz az átfogóval. Mindkét oldalt megszorozva B-vel, azt kapjuk, hogy b szer szinusz gamma egyenlő MA-val. Pontosan azt, amit szerettünk volna kapni, B szer szinusz gamma egyenlő MA-val. Ha pedig ugye B szer szinusz gamma egyenlő MA-val, akkor azt behelyettesíthetjük ebbe a képletbe MA helyére ezt a B szer szinusz gammát. És azt kapjuk, hogy A szor B szor szinusz gamma per kettő. Tehát pontosan a trigonometrikus területképletet kaptuk. Ugye, hogyha az egyik hegyesszögre jó, akkor bármelyik másikra is jó, csak arra kell figyelnünk, hogy mindig azzal a két oldallal számoljunk, amelyik két oldal bezárja az adott szöget, aminek a szinuszával számolunk. Nézzük a tompaszögű esetet. Tompaszögű esetben ugye be kellene látnunk hegyesszögre is, valamelyik hegyesszögre, illetve a tompaszögre is. Nézzük először a hegyesszögre. Ekkor ugye ez lesz itt mondjuk A oldal, ez B oldal, ez pedig gamma. Ennek az A, ennek az A, a gamma szögnek kellene ugye felírni a szinuszának a segítségével ezt az MA értéket, tehát az A-hoz tartozó magasságot, ami jelen esetben ugye ez a szakasz lesz. Itt derékszög van, és ez lesz itt az A oldalhoz tartozó magasság. Ekkor pedig ugye itt a derékszögű háromszögünk, melynek oldalai A, B és MA. Hát felírhatjuk, hogy szinusz gamma egyenlő MA per B-vel. Pontosan ugyanúgy, mint az előbb, mindkét oldalt B-vel megszorozva, azt kapjuk, hogy B szer szinusz gamma egyenlő MA-val. Tehát ez jó. Nézzük a másik esetet.
[5:55]Legyen mondjuk ez a béta szög. Ez a tompaszög. Ekkor ugye A szor B szor szinusz béta per kettő kell, hogy legyen a területképlet. Ekkor ugye ez a szög itt nem lesz más, mint 180 fok mínusz béta.
[6:20]És az ehhez tartozó szinusz érték lesz, legyen ez itt a C oldal, tehát a területképletünk A szer C szer szinusz béta per kettő lesz. Ugyanis a két oldal és az általuk közzvetart szinusza összeszorozva osztva kettővel. Menjünk tovább, tehát ez itt 180 fok mínusz béta. Felírhatjuk, hogy szinusz 180 fok mínusz béta, az egyenlő ugye a szöggel szemközti befogó, azaz MA. Most ezt a kis háromszöget nézzük, osztva az átfogóval, ami C.
[6:54]Tehát ez MA per C. Mindkét oldalt C-vel megszorozva, azt kapjuk, hogy C szer szinusz 180 fok mínusz béta egyenlő MA-val. Tehát ugye itt most a területképletünk, az nem egészen úgy néz ki, mint amit vártunk. Ugye azt kaptuk, hogy a terület egyenlő, ugye az A szor MA per kettőt, azt ismerjük, A szor MA per kettő. És itt ugye azt kaptuk, hogy MA egyenlő C szer szinusz 180 fok mínusz béta. Tehát akkor az A szor C szor szinusz 180 fok mínusz béta per kettő lesz. Tehát ugye a két oldal szorzata szorozva nem az általuk közbezárt szög szinuszával osztva kettővel, hanem 180 mínusz bétával. Viszont ugye észrevehetjük, hogy 180 fok mínusz bétának a szinusza, az pontosan ugyanannyi lesz, mint bétának a szinusza. Hogyha felrajzoljuk az egység sugarú kört, akkor ezt könnyedén beláthatjuk. Itt az egység sugarú körünk.
[8:08]És ugye a béta szög, az most itt egy tompaszög volt, legyen mondjuk ez a szög itt béta. Mennyi lesz ekkor 180 fok mínusz béta? Ugye 180 fok az a teljes szög.
[8:22]Hogyha ebből kivonunk bétát, ugye kivonjuk belőle ezt a tompaszöget, tehát valamennnyivel visszább megyünk, egészen pontosan bétával. Ez a szög lesz itt tehát a 180 fok mínusz béta. Ez lesz itt 180 fok mínusz béta. És ugye látjuk, hogy ennek a két szögnek a szinusza ugyanannyi, ugyanis ezeknek a pontoknak, ennek és ennek a pontnak az y koordinátája, ugye ennek a szakasznak a hossza adja meg a szinusz értéket. Ez lesz itt szinusz 180 fok mínusz béta, ami ugye egyenlő szinusz bétával. Tehát szinusz 180 fok mínusz béta egyenlő szinusz bétával. Hát ezt a területképletet felírhatjuk A szor C szer szinusz béta per kettőként. Tehát itt is működik a trigonometrikus területképlet. Két oldal szorzata, szorozva az általuk bezárt szög szinuszával, osztva kettővel.
[9:33]Nézzük a derékszögű esetet.
[9:37]A derékszögű esetben a hegyesszög esetén, ugye ez itt az A, ez a B, ez pedig itt a gamma szög.
[10:02]Ekkor ugye A szor C szer szinusz gamma per kettőt szeretnénk kapni. Hát a szinusz gamma, az most felírható B per C-ként.
[10:17]B per C-ként, mindkét oldalt C-vel megszorozva, azt kapjuk, hogy C szer szinusz gamma egyenlő B-vel. B pedig ugye nem más, mint az A oldalhoz tartozó magasság. Ugye derékszögű háromszögben az egyik befogó szorozva a hozzátartozó magasság az a másik befogó, mivel ugye itt derékszög van. Tehát MA egyenlő C szer szinusz gammával. Tehát a terület felírható A szer C szer szinusz gamma per kettőként. És nézzük meg, mi a helyzet a derékszög esetén.
[10:54]Legyen ez a szög most a béta szög, ami ugye 90 fok.
[11:01]Ekkor ugye területképletünk a következőképpen fog kinézni. Ugye először is írjuk fel szinusz béta mennyivel lesz egyenlő.
[11:16]Szinusz béta az ugye a 90 fokos szög szinusz, mivel ez most itt derékszög. 90 fokos szinuszát pedig tudjuk, hogy az mennyivel egyenlő. Ugye szinusz 90 fok. Ide írjuk oldalra. Szinusz 90 fok.
[11:39]Ugye ezt tudjuk, hogy így néz ki a szinusz függvényünk. És itt pontosan pí per kettőnél, ami 90 fok, pí per kettőnél lesz az értéke eggyel. Ugye ezt az egység sugarú körből is beláthatjuk. Itt a 90 fok, és ekkor az y koordináta pontosan egyenlő. Tehát szinusz béta egyenlő eggyel. Ekkor tehát ugye a területképlet egész egyszerűen csak A szor B szor szinusz béta, de az ugye egyenlő, tehát szorozva eggyel felírhatjuk, de igazából nem kell felírni. Tehát A szor B per kettő. És ugye B-ről tudjuk, hogy az pontosan az A oldalhoz tartozó magasság, tehát A szor B per kettő, ami egyenlő A szor MA per kettővel. Tehát erre az esetre is beláttuk, hogy valóban működik a trigonometrikus területképlet. Tehát hogyha ismerjük egy háromszög két oldalát és az általuk bezárt szöget, akkor ennek segítségével, ezek segítségével meg tudjuk határozni a háromszög területét. Mivel ugye, hogyha az általuk bezárt szöget ismerjük, akkor annak szinuszát is ismerjük, mivel kiolvassuk a függvénytáblázatból, vagy kiszámoljuk a számológéppel, tehát tudjuk a szinuszát, ekkor meg tudjuk adni a háromszög területét.
