[0:10]Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Selamat berjumpa kembali di channel Indra Jaya, channel yang khusus mengupas tentang masalah-masalah yang ada kaitannya dengan statistika. Nah, pada kesempatan berbahagia ini saya akan menjelaskan aspek lain daripada distribusi probabilitas yaitu namanya distribusi probabilitas kontinu yang sering dikatakan dengan distribusi normal. Nah, pertanyaan sering muncul adalah, sebenarnya distribusi normal itu apa? Ini sering sekali ditanyakan oleh mahasiswa kepada saya, apa itu yang namanya distribusi normal? Nah, secara konsep kita mengatakan bahwa distribusi normal itu adalah salah satu bentuk daripada distribusi probabilitas, khusus untuk distribusi probabilitas kontinu. Tetapi dia menggunakan pendekatan kurva normal. Nah, bagaimana bentuk kurva normal? Biasanya kurva normal itu bentuknya dia itu akan membentuk suatu lukisan Y = fungsi X. Dan di mana pada waktu itu, itu bahwa nilai rata-rata itu akan sama dengan nilai median dan modus. Jadi kalau ada data, di mana kalau kita hitung nilai rata-rata data itu, kebetulan misalnya sama dengan median dan sama dengan modus, maka ada kecenderungan data itu berdistribusi normal. Nah, pertanyaannya bentuk kurva normal itu bagaimana? Kalau kita menggunakan pendekatan kurva normal. Kurva normal itu bentuknya seperti gunung, di mana sisi kemiringan kiri ini sama. Dia sama luas gitu. Nah, oleh karena itu maka kurva normal ini memiliki beberapa sifat. Sifat pertama adalah bahwa kurvanya selalu berada di atas sumbu datar X, ini sudah pasti. Itu yang pertama, kurvanya selalu berada di atas sumbu datar X. Yang kedua sifatnya adalah, bahwa kurva itu dikatakan normal apabila dia memiliki pola simetris. Pola simetris itu artinya bahwa, ketika dia dikatakan normal bahwa nilai rata-rata dari data yang di sini, itu pasti akan sama dengan median dan sama dengan modus. Tetapi ketika kondisi nilai datanya itu rata-rata datanya, katakanlah lebih kecil daripada mediannya, lebih kecil daripada modusnya, misalnya, berarti tingkat kemiringan kurva itu tidak lagi normal. Nah, nanti kita untuk menentukan berapa tingkat kemiringan kurva, kita bisa mengukur namanya uji skewness namanya. Nah, itu mungkin pada sesi lain nanti akan saya jelaskan. Jadi yang jelas bahwa kurva normal memiliki pola simetris, di mana nilai rata-rata sama dengan median, sama dengan modus. Ketika tidak sama berarti tingkat kemencengannya berbeda-beda. Nah, kemudian yang ketiga sifatnya adalah, bahwa kurva normal itu memiliki nilai satu nilai modus yang tertinggi. Nah, nilai modus yang tertinggi itu dicapai pada saat nilai Y. Kalau ini kurva data ini, berarti memiliki satu modus yang dicapai pada saat Y yang tertinggi di sini ya. Nilainya adalah 0,3989 dibagi standar deviasi. Ini adalah sifat yang ketiga. Kemudian sifat yang keempat, bahwa luas kurva normal itu itu banyak yang, artinya kurva dalam kurva normal itu luasnya yang paling banyak itu adalah berada di tengah ini. Mulai dari -1 sampai +1, ada -2 sampai +2. Artinya begini, kalau nilai rata-rata tadi di tengah, maka penyimpangan -1 dan +1 ke kanan itu artinya µ minus plus satu standar deviasi ke kiri dan ke kanan. Tetapi ketika kondisinya dari sini ke sini itu kita katakan µ +-2 standar deviasi. Tapi dari sini ke sini kita katakan µ +-3 standar deviasi ke kiri dan ke kanan. Nah, ketika kita melihat penyimpangan data dari rata-ratanya antara -1 dengan 1 standar deviasi, pada kondisi ini kita melihat bahwa luas kurva itu mencakup sekitar 68,26%. Jadi, luas areal kurva yang dibatasi oleh -1 sampai 1 itu sekitar 68,26%, cukup banyak. Tetapi semakin menyebar dia, memperlihatkan bahwa kurva normal itu lebarnya sekitar 95,46%. Jadi sebagian besar bahwa kurva ini berada di tengah, ketimbang di tepi.
[4:45]Nah, semakin melebar dia, semakin besar standar deviasinya, maka nilai daripada atau atau luas areal kurva itu semakin besar. Sifat berikutnya adalah, bahwa kurvanya akan selalu bergerak. Jadi kurvanya ini akan selalu bergerak ke kiri, mulai dari -3 standar deviasi ke kiri dan +3 standar deviasi ke kanan.
[5:19]Jadi mulai bergerak dari -3 ke kiri tapi tidak pernah menyentuh 0, dan juga +3 ke kanan juga tidak pernah menyentuh 0. Kemudian sifat berikutnya apa? Bahwa luas areal di bawah kurva ini luasnya adalah sekitar 100%. Nah, kalau 100% karena dia memiliki pola simetris tadi, maka kecenderungannya adalah bahwa luas areal sebelah kiri ini 50%, sedangkan luas areal sebelah kanan juga 50%. Nah, ini adalah sifat daripada kurva normal. Misalnya begini, kalau ditanya berapakah peluang X besar dari A tapi kecil dari B? Mengingat bahwa distribusi normal ini merupakan salah satu bentuk daripada distribusi probabilitas kontinu di mana dalam distribusi kontinu bahwa fungsi X = integral A sampai B dari FX DX. Maka kalau kita ingin menghitung berapakah peluang X besar dari A tapi kecil dari B? Kalau kita menggunakan distribusi normal, maka peluangnya dapat dihitung dengan fungsi X = integral A/B 1 per tau √2π * e^(-1/2 (X - µ / σ)²). Jadi di sini kita menggunakan yang kita sebut dengan variabel X. Nah ini dikatakan dengan DNU atau distribusi normal yang bersifat umum kenapa? Karena kita masih menggunakan nilai X. Nah, kalau ditanya misalnya berapakah peluang X besar dari 2 tapi kecil dari 3, berarti peluangnya adalah integral 2 sampai 3, 1 per tau √2π kali sebagainya ini. Nah, ini agak sulit kita menghitungnya. Nah, karena kesulitan kita menghitung luas areal di bawah kurva yang digunakan dengan menggunakan distribusi normal, maka sebaiknya distribusi normal ini kita rubah. Menjadi apa? Menjadi bentuk standar. Nah, kalau di dalam distribusi normal ini kita melihat bahwa nilai rata-rata itu disimbolkan dengan µ dan standar deviasi disimbolkan dengan tau. Nah, ini harus kita rubah menjadi bentuk standar, dengan cara bagaimana? Nilai µ ini kita rubah menjadi 0 dan standar deviasi kita rubah menjadi 1. Ini kita bisa lakukan yaitu dengan jalan merubah variabel X ini menjadi variabel Z dengan transformasi. Bagaimana transformasinya? Maka X ketika kita mau transformasi menjadi Z, maka Z = X - µ / σ. Z itu adalah merupakan variabel normal standar. X nilai variabel random. Kemudian µ yang ini ini adalah rata-rata daripada variabel random, sedangkan standar deviasi adalah standar deviasi dari variabel random. Jadi nilai ini nanti kita rubah menjadi bentuk standarnya namanya Z, agak lebih mudah kita menghitung peluang di bawah areal kurva normal tadi. Kalau kita menggunakan X agak sulit kita menggunakannya. Jadi misalnya ditanya berapakah peluang misalnya nilai mahasiswa di antara 20 = 30. Kalau kita gunakan 20 dan 30 tadi agak kesulitan. Oleh karena itu 20 dan 30 tadi kita rubah menjadi bentuk standar. Kalau tadi bentuknya X1 dan X2, kita harus rubah menjadi bentuk Z1 dan Z2. Nah, bagaimana transformasilah bentuk X1 dan X2 tadi menjadi bentuk Z1 dan Z2? Merubahnya adalah dengan Z = X - µ / σ. Nah, kalau sudah kita rubah berarti bentuk distribusi normal standar yang menjadi fungsi Z. Kalau tadi X, fungsi Z = integral A sampai B 1 per tau √2π * e^(-1/2 (Z)²) ini sudah ditransform menjadi Z, maka berarti menjadi Z².
[8:55]Inilah bentuk distribusi normal standar tadi. Nah, bagaimana cara kita merubah? Nah, kalau kita gambarkan dalam bentuk kurva normal. Kalau kita menggunakan kurva normal tapi pendekatan adalah distribusi kontinu pakai X. Tadi katanya X ini harus kita rubah menjadi Z. Nah, ketika kita mau merubah ini menjadi Z, kita lihat dulu, bahwa kalau X, kita hitung rata-ratanya dengan menggunakan µ. Nah, µ sementara kita lihat dari sini, µ itu kalau di dalam distribusi normal standar itu ukurannya adalah sama dengan 0. Jadi rata-rata X kalau dirubah menjadi rata-rata Z, maka nilai rata-ratanya Z-nya = 0. Nah, ke kiri daripada µ ini adalah µ - 1σ. Nah ini kalau kita jadikan angka Z-nya menjadi -1. Sedangkan di sini µ + 1σ, kalau kita jadikan Z-nya menjadi +1. Kemudian bergerak ke kiri lagi µ - 2σ, ini menjadi -2. Bergerak ke kanan lagi µ + 2σ, ini +2. Seterusnya ini µ - 3σ, menjadi -3, dirubah menjadi Z. Sedangkan µ + 3σ itu menjadi +3. Ini ketika kita mau merubah menjadi bentuk Z. Nah, bagaimana merubah dari bentuk µ, µ - 1σ dan sebagainya menjadi yang angka di bawah? Ini kita lakukan dengan melakukan transformasi. Transformasi apa? Dari X menjadi Z dengan rumus Z = X - µ / σ. Nah, kita ambil contoh begini. kita mengetahui bahwa setelah dilakukan ujian semester mata kuliah statistika diperoleh bahwa nilai rata-rata mahasiswa itu ada sekitar 65 dengan standar deviasi nilainya = 15. Katakanlah kita asumsikan distribusi nilai itu adalah normal. Nah, pertanyaannya adalah kalau seandainya ada mahasiswa yang nilainya 70, pertanyaannya berapa skor Z-nya? Atau kalau ada nilai mahasiswa 55, berapa kira-kira skor Z-nya? Demikian juga kalau nilai mahasiswa 80, berapa skor Z-nya? Nah, di sinilah peran kita untuk mentransform nilai X yang ini tadi menjadi bentuk Z. Bagaimana transformasinya? Z = X - µ / σ. Nah, untuk lebih mudahnya saya coba jelaskan di sini. Nah, kita lihat. Kita menginginkan bahwa kalau ada mahasiswa nilainya 70, kira-kira berapa skor Z-nya? Nah, kita lihat di sini. Kalau kita menggunakan pendekatan variabel X berarti ketika menggunakan X nilai rata-rata mahasiswa tadi jelas nilainya 65. Nah, kalau kita menanyakan berapakah nilai Z untuk nilai yang 70 ini? Nah, kita coba cari kalau nilai Z untuk 65 pasti nilainya adalah 0. Tetapi ketika 70 kita belum tahu gitu. Berapa nilainya? Justru yang 70 itulah kita transform menjadi bentuk Z dengan transformasinya seperti ini. Berarti Z = X - µ / σ. Berarti Z = 70 - 65 / 15. Maka Z kita dapat adalah 0,33. Artinya adalah bahwa nilai 70 pada nilai mahasiswa tadi kalau jadikan skor Z-nya akan menjadi 0,33. Tetapi ketika dia nilai rata-ratanya 65, maka nilai mahasiswa itu 0. Nah, inilah cara untuk mentransform bentuk Z menjadi X. Yang kedua berikutnya, berapakah skor Z-nya kalau nilai mahasiswa 55? Nah, kita lihat tadi kalau kita menggunakan pendekatan kontinu dengan menggunakan variabel X, maka kita mengatakan bahwa nilai rata-rata mahasiswa 65. Nah, kalau 55 tentu bergeraknya ke kiri. Nah, pertanyaannya adalah kalau X-nya 65, maka Z-nya pasti nilainya 0. Sedangkan angka 55 itu pertanyaan berapa kira-kira angka 55 kalau jadikan Z-nya? Nah, kita bisa hitung di sini. Berarti Z = X - µ / σ. Berarti Z = 55 - 65 / 15. Maka didapat angkanya kira-kira -0,67. Oh, kalau begitu angkanya -0,67. Kemudian berikutnya, berapa kira-kira skor Z-nya kalau seandainya nilai mahasiswa itu 80? Nah, seperti semula saya katakan bahwa kalau X ditransfer menjadi Z jelas nilai rata-rata 65 ini pada posisi Z, dia menjadi nilai 0. Nah, ini nanti perlu saya jelaskan juga bagaimana dia bisa menjadi 0. Kemudian yang 80 berapa? 80 ini justru mau dicari. Sehingga kalau kita transform dari X menjadi Z, maka Z = X - µ / σ. Berarti 80 - 65 / 15. Maka didapat angkanya adalah sekitar 1.
[13:45]Maka angka 80 itu kalau dijadikan skor Z-nya menjadi angka 1. Nah, tinggal jadi misalnya kalau ditanyakan berapakah peluang misalnya nilai rata-rata mahasiswa di antara 65 sampai 80? Nah, kalau kita hitung dengan ini, kita menggunakan rumus distribusi normal umum di sini agak susah. Tadi dikatakan F X = 1 per tau √2π * e^(-1/2) panjang lagi rumusnya. Ini agak susah. Maka untuk mempermudah ini, kita coba rubah nilai X ini dirubah menjadi nilai-nilai Z supaya mudah menghitung berapakah peluang Z besar dari 0 tapi kecil dari 1 misalnya. Nah, kita bisa menggunakan distribusi normal standar. Jadi ada semacam tabel namanya tabel distribusi normal standar di situ mudah kita untuk menghitung berapa peluangnya. Nah, kemudian contoh berikutnya, misalnya katakanlah dari contoh tadi, jika diketahui bahwa skor Z mahasiswa itu adalah 2 dan skor Z mahasiswa adalah 1,5 dibalikkan. Kira-kira kalau skor Z mahasiswa itu adalah 2 dan skor Z mahasiswa adalah 1,5, sementara nilai rata-rata mahasiswa 65, pertanyaannya berapakah kira-kira nilai mahasiswa yang bersangkutan?
[15:04]Artinya kalau skor mahasiswa 2, berapa nilainya X-nya berapa? Kalau Z-nya 1,5, berapa X-nya? Ini yang mau kita cari. Nah, kita coba selesaikan. Kalau seandainya skor Z-nya = 2, kita gambarkan ya. Nah, di sini Z-nya = katakanlah 2. Di sini 0, rata-ratanya 0, di sini 2. Nah, pertanyaannya kalau 0 jelas rata-rata tadi ini sejalan dengan X-nya adalah 65. Pertanyaannya berapa nilai X-nya kalau Z-nya 2? Kita cari dengan rumus Z = X - µ / σ. Maka Z tadi nilainya 2. Berarti 2 dikali standar deviasi. Maka dapat 2 standar deviasi sama dengan X - 65. Nah, kemudian kita teruskan di sini berarti 2 * tau atau standar deviasi adalah 2 * 15 = X - 65. Nah, 2 * 15 ini 30 = X - 65. Maka X adalah 65 + 30 dapat 95. Oh, ternyata kalau nilai Z mahasiswanya adalah 2, berarti nilai mahasiswanya 95. Nah ini kan mudah untuk mencarinya. kebalikan dari yang pertama tadi. Kedua, kalau skor Z-nya 1,5, berapa nilai mahasiswanya? Nah, kita coba cari ya. Nah, berapa nilai mahasiswa kalau Z-nya 1,5? Ya kita cari dengan sistem tadi. 1,5 = X - µ / σ. Berarti 1,5 * standar deviasi = X - 65. Maka 1,5 * 15 karena standar deviasi 15 = sekian. Kita cari terus. Maka didapat nilai X-nya 87,5. Nah, ini dia. 87,5. Nah, itulah cara untuk menentukan nilai X, menentukan nilai Z dalam suatu distribusi normal. Sehingga lebih mempermudah kita untuk menentukan berapa peluang areal yang berada di bawah kurva normal. Nanti bisa kita menghitungnya, bisa menggunakan tabel normal, bisa kita menggunakan kalkulator atau bisa menggunakan cara yang manual. Nah, untuk sementara itu yang dapat saya jelaskan memperkenalkan tentang distribusi normal itu apa, bagaimana mentransform nilai M menjadi Z. Mudah-mudahan dengan uraian ringkas ini dapat menambah khasanah pengetahuan Anda tentang distribusi normal Z. Nah, demikianlah yang dapat saya sampaikan. terlebih dan terkurang saya minta maaf. Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.
