Como calcular o Equilíbrio de COURNOT: PASSO A PASSO

[0:00]Olá pessoal, hoje nós vamos ver passo a passo como calcular o equilíbrio de Cournot, considerando um mercado com duas firmas oligopolistas com a mesma planta de custos. Bora começar? Antes de começar passo a passo o cálculo do equilíbrio de Cournot, vamos fazer uma revisão bem rápida do modelo de Cournot. Então a gente tem aqui um duopólio. O que que a gente tem então? A gente tem duas firmas oligopolistas. O produto do mercado, o produto que essas duas firmas produzem é um produto homogêneo. A demanda de mercado é conhecida. As firmas competem entre si escolhendo as quantidades que irão produzir ao mesmo tempo. Então a firma 1 escolhe a quantidade 1 e a firma 2 escolhe a quantidade 2 ao mesmo tempo e esse é o ponto chave pro modelo de Cournot. A decisão de cada empresa é tomada levando em consideração as possíveis escolhas da outra firma (a reação da outra firma). Que a gente vai ver quando estiver resolvendo, a gente vai encontrar a curva de reação de cada firma. Cada firma está fazendo o melhor que pode dado a outra firma. Isso nada mais é do que o equilíbrio de Nash. Por isso o equilíbrio de Cournot ele é um exemplo do equilíbrio de Nash. O que que é equilíbrio de Nash mesmo? Cada firma está fazendo o melhor que pode em função daquilo que a concorrente está fazendo. Então vamos resumir aqui o modelo geral do equilíbrio de Cournot. A gente tem a firma 1 que produz q1 unidades a um custo total CT1. Temos a firma 2, produz q2 unidades a um custo total de CT2. O preço ele é igual para as duas firmas, porque a gente está trabalhando com produto homogêneo, e é determinado pela demanda de mercado, ou seja, o preço vai depender da quantidade de mercado. E a quantidade de mercado é dada por quê? Por q1 + q2. O objetivo de cada firma é maximizar o seu lucro. Agora o que que é lucro para a firma? O lucro é igual à receita total, menos o custo total. Agora como é que eu calculo a receita total? A receita total é o preço vezes a quantidade produzida da firma. Então cada firma, ela escolhe a quantidade produzida levando em consideração a demanda de mercado, porque é pela demanda de mercado que a gente determina o preço para calcular a receita total. Leva em consideração também o custo total e também leva em consideração todas as escolhas possíveis da outra firma. Agora sim a gente vai começar a fazer passo a passo como a gente calcula o equilíbrio de Cournot. Então a gente vai fazer esse exercício aqui onde eu tenho duas empresas duopolistas que produzem um determinado bem com os seguintes custos: CT1 = 5q1 e CT2 = 5q2. Então nesse exemplo aqui as duas firmas têm a mesma planta de custos. O preço ele é determinado pela seguinte demanda de mercado: P = 20 - Q. E a gente quer calcular o equilíbrio de Cournot. Agora vamos separar só os dados importantes aqui pra gente ter mais espaço para resolver esse problema. Então está aqui. Então para maximizar o lucro da firma 1, vamos começar montando a função lucro que é igual à receita total menos custo total. Então o lucro da firma 1 vai ser o quê? O preço vezes a quantidade da firma 1. Então eu vou botar aqui preço vezes quantidade da firma 1 menos o custo da firma 1. Agora como é que eu determino o preço? O preço é determinado pelo mercado.

[4:44]Então basta substituir aqui no preço o valor 20 - Q. Então vai ficar (20 - Q)q1 - 5q1. Agora, esse Q aqui é o quê? É a minha quantidade de mercado. Então minha quantidade de mercado vai ser o quê? Q1 + Q2. Então eu vou substituir aqui: 20 - (Q1 + Q2)q1 - 5q1. Então vamos rearrumar aqui, eu vou fazendo bem devagar, passo a passo para vocês não se perderem. Então vai ficar 20 - Q1 - Q2 vezes Q1 - 5Q1. Agora eu vou aplicar aqui ó, a distributiva. Então vai ficar 20q1 - q1² - q1q2 - 5q1. Então eu tenho esses dois termos aqui em comum, então eu vou juntar. Então a minha função lucro 1 vai ser igual a 15q1 - q1² - q1q2. Agora a gente quer o quê? A gente quer maximizar o lucro da firma 1. Então pra maximizar lucro, vou fazer o quê? A primeira derivada dessa função em relação a quantidade da firma 1.

[6:49]Estou fazendo uma derivada parcial. Ou seja, tudo que não é q1 eu vou considerar como constante. Então vamos lá. Vai ficar 15 - 2q1 - q2. E aí para encontrar o ponto de máximo, eu vou fazer primeira derivada igual a zero.

[7:15]Ou seja, 15 - 2q1 - q2 = 0. Eu vou jogar o -2q1 para o outro lado. Então vai ficar 2q1 = 15 - q2. q1 = (15 - q2)/2. q1 = 7,5 - 0,5q2. q1 = 7,5 - 0,5q2 é a equação que representa a reação da firma 1. Ou seja, está mostrando a quantidade produzida da firma 1 vai depender da quantidade produzida pela firma 2. Eu vou colocar aqui em cima a reação da firma 1. Então a gente pode representar essa reação da firma 1 por esse gráfico aqui, que chama curva de reação da firma 1. Se você está gostando do nosso conteúdo, se inscreva no nosso canal para nos ajudar a crescer. Então agora a gente vai partir para o segundo passo. O segundo passo vai ser encontrar a reação da firma 2. Como é que a gente faz isso? A gente faz isso maximizando o lucro da firma 2. Então vamos lá. Lucro = receita total - custo total. Então o lucro da firma 2 vai ser o quê? Preço vezes quantidade 2 menos o custo total da firma 2.

[9:08]Preço, vou utilizar lá a minha demanda de mercado que vai ser 20 - Q vezes q2 - 5q2.

[9:28]Então, no lugar de Q, eu vou colocar o quê? q1 + q2, que é a quantidade de equilíbrio de mercado. Vezes q2 - 5q2.

[10:05]Aplicando aí a regra da distributiva, vai ficar 20q2 - q1q2 - q2² - 5q2. Então, tenho dois termos aqui em comum. Vou juntar eles, então a função lucro vai ficar 15q2 - q1q2 - q2². Agora para maximizar, para achar a quantidade que maximiza o lucro da firma, o que que a gente vai fazer? A derivada parcial da função lucro em relação a q2.

[11:00]Tudo que não é q2 eu vou considerar como uma constante. Então a derivada vai ficar 15 - q1 - 2q2. Agora a gente vai para achar o ponto de máximo, a gente vai fazer a primeira derivada igual a zero, a condição de primeira ordem. Então vai ficar 15 - q1 - 2q2 = 0. Vou passar o -2q2 para o outro lado, então vai ficar 2q2 = 15 - q1. q2 = (15 - q1)/2 e q2 vai ser igual a 7,5 - 0,5q1. E aqui eu tenho a equação que representa o quê? A reação da firma 2. Então a quantidade produzida da firma 2 vai depender da quantidade escolhida pela firma 1. Então vamos colocar aqui a reação da firma 2. Vamos desenhar aqui o gráfico que representa a reação da firma 2, a curva de reação da firma 2. Desenha esse gráfico me baseando exatamente nos interceptos. E aqui no ponto em que essas duas retas se encontram é exatamente o meu equilíbrio de Cournot. Nesse ponto a gente tem um equilíbrio de Nash, que é o equilíbrio de Cournot, e nenhuma das duas empresas ou firmas tem incentivo de sair desse ponto de equilíbrio. Então agora falta a gente calcular essa quantidade, a quantidade produzida da firma 1 e a quantidade produzida da firma 2 no equilíbrio de Cournot. Como é que a gente faz isso? A gente vai fazer isso no passo 3, que é o quê? A gente vai montar um sistema de equações com essas duas curvas de reação. Pra gente encontrar a quantidade 1 e quantidade 2 no equilíbrio de Cournot. Então vamos fazer isso aqui. q1 = 7,5 - 0,5q2. q2 = 7,5 - 0,5q1. Então vou chamar aqui de equação (1) e de equação (2). Então, o primeiro passo vai ser substituir (2) em (1). Então vou pegar a quantidade (2) e vou substituir aqui. Então vai ficar q1 = 7,5 - 0,5. Aí eu vou substituir o q2, que é igual a 7,5 - 0,5q1. Então vamos lá.

[14:32]q1 vai ser igual a 7,5 - 0,5 vezes 7,5 que é igual a -3,75 mais o quê? -0,5 vezes -0,5q1. Então fica mais 0,25q1.

[15:03]Então eu vou pegar esse 0,25 vezes q1 e vou jogar para o outro lado. Então vai ficar q1 - 0,25q1, que é igual a 7,5 - 3,75, 3,75.

[15:37]Então q1 asterisco, que é o q1 no equilíbrio de Cournot, vai ser igual a 3,75 dividido por 0,75, e isso vai ser igual a 5.

[16:57]Aí vocês devem estar se perguntando o seguinte: a quantidade da firma 1 e a quantidade da firma 2 no equilíbrio de Cournot, elas são sempre iguais? A resposta é não. Nesse caso aqui a quantidade 1 e a quantidade 2 do equilíbrio de Cournot, essas quantidades são iguais por dois motivos. Primeiro é porque a planta de custos é exatamente a mesma. E a segunda é porque a demanda de mercado ela é simétrica em q1 e q2. Que que eu estou querendo dizer por simétrica em q1 e q2? Porque aqui, ó, eu tenho P = 20 - q1 - q2. O coeficiente aqui na frente do q1 é igual a 1. E o coeficiente aqui na frente do q2 também é igual a 1. Um exemplo de uma demanda de mercado que não é simétrica em q1 e q2, por exemplo, seria essa aqui: P = 20 - q1 - 2q2. Aqui, nesse caso, a curva de demanda de mercado não é simétrica em q1 e q2. Então, sempre que eu tiver uma planta de custos igual e a demanda de mercado for simétrica em q1 e q2, no equilíbrio de Cournot a gente vai ter o quê? Quantidades no equilíbrio de Cournot iguais.

[18:45]E a curva de reação da firma 1 é espelho da curva de reação da firma 2 e vice-versa. Por hoje é só, pessoal. Se vocês gostaram do vídeo, não esqueçam de deixar aquele joinha e de se inscrever no canal. Não esqueçam de ativar o sininho para serem avisados quando novos vídeos forem postados.