[0:13]Вітаю вас на каналі Топ Школа. З вами, як завжди я, Олександр Борисович. І сьогодні у нас черговий відеоурок для 10-го класу з алгебри і тема похідна функції, похідна найпростіших функцій. Познайомимося сьогодні з вами з новим таким поняттям, як похідна. З поняттям функції ви знайомі ще, якщо я не помиляюся, з класу сьомого. От. Ну, а ми сьогодні розберемо теоретичну частину матеріалу, що таке похідна. Потім розв'яжемо декілька прикладів. І третьою частиною буде комп'ютерне тестування, яке ми разом з вами пройдемо. Отже, не гаємо часу, починаємо. І так, трішечки теорії, як я обіцяв. Ми з вами знаємо, що якщо в мене є запис вигляду Y = F(X), замість F(X) може бути там будь-що, це F(X) - це загальний вигляд. Ми казали, що Y у нас називається функцією, а X називається аргументом. X - незалежна величина, вона ні від чого не залежить, а от Y у нас залежав від того, яке значення приймав X. Знайоме, да, нічого нового. От у нас є графік функції. Y = F(X), мене не цікавить це квадратична функція, лінійна, от, гіпербола, парабола чи якась синусоїда. Не цікаво, просто функція. От вона намальована, є на графіку. Кожна функція у кожній своїй точці має два значення. От, наприклад, у точці X нульове у неї є координати по Y нульовому. Це логічно, да, на площині дві координати по X і по Y. Наприклад, у цій точці будуть координати по X1, тут по Y1. Поки нічого нового я вам не розказав, ну, окрім того, що у мене величина дана змінилася на дельта X. Тобто було X нульове додати дельта X, буде X1, або можна сказати, що X1 - дельта X, вийде X нульове, тобто можна крутити, як захочеш. Так само Y нульове, якщо додати дельта Y, вийде Y1, тобто різниця, наскільки змінилася ця величина, поки змінювався дельта X, наскільки змінився дельта Y. В даному випадку ось так. Якщо я візьму інший, іншу ділянку ось тут, да, X зміниться набагато, а Y зміниться тут мінімально. Якщо взяти ось тут відрізок, то X зміниться несуттєво, зате Y буде суттєво змінюватися. Тобто різні функції, навіть одна і та ж сама функція на різних ділянках може по-різному змінюватися. X збільшується на одну величину, Y збільшується на іншу. Так? Дельта X, дельта Y. Так от, похідна і буде вказувати, наскільки стрімко змінюється Y при зміні X. Тут повільно змінюється Y, в залежності від X. Тут навпаки швидко. Отже, давайте з вами підсумуємо, що різницю X1 і X0 називають приростом аргументу. X - це аргумент, дельта X, значить, змінилося, значить, приріст є якийсь.
[3:38]І аргумент незалежна змінна. У точці X0 і позначають дельта X. А різницю F(X1) і F(X0), ну, щоб не писати Y, Y0, візьмемо через функцію. Називають приростом функції (залежної змінної) у точці X0 і позначають дельта F. І от тепер ми можемо з вами дати визначення похідної. Границю відношення приросту функції дельта F у точці X0 до приросту аргументу дельта X, коли дельта X у нас прямує до нуля, називають похідною функції Y = F(X) у точці X0. І якщо це все записати, то вийде ось така велика, страшна формула.
[4:20]Яка, по суті, означає, як швидко чи наскільки змінюється функція, в залежності від того, наскільки змінюється аргумент. Якщо не зрозуміли, можете перемотати ще раз уважно прослухати. І похідна позначається ось таким штрихом. F' (X0) зверху дописують. Для деяких функцій значення похідної є сталою величиною. Наприклад, якщо ми будемо шукати похідну від числа: 3, 5, -2, 0,2, то похідна дорівнює нулю. Тобто не не записують кожного разу отак через границю відношення і так далі. Є стала формула, якою ми користуємося. Так само, як ми не виводимо теорему Піфагора щоразу, ми просто знаємо, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, або площа трикутника. Ми ж не не виводимо її, а є формула, ми нею користуємося. Так само з похідною. Розумні люди знайшли, ми собі запам'ятовуємо і будемо користуватися. Похідна від X дорівнює одиниці, тобто, якщо треба шукати похідну від аргументу, то це у нас одиниця. Якщо похідна від квадратичної функції X², то вона дорівнює 2X. Якщо похідна від кубічної X³, то це буде 3X². Якщо в мене є функція 1 / X, то від неї похідна дорівнює -1 / X². Ну, якщо в мене є коренева функція, да, √X і похідна її дорівнює 1 / 2√X.
[6:00]Такі шість формул - це тільки початок. На наступних уроках ми з вами більш детально розглянемо. Сьогодні у нас ввідний урок, що таке похідна. Зараз розв'яжемо декілька задач, і вам стане дещо зрозуміліше. Добре? З теорією все. Переходимо до практичної частини, і я нагадую, що ви дивитесь канал Топ Школа. Отже, давайте знайдемо приріст аргументу дельта X, якщо X0 = 4, а X = 4,02. Хм, наскільки ж змінився аргумент, да? Було 4, стало 4,02. Ну, дельта X треба від X відняти X0. Від того, що сталось, віднімаємо те, що було. Логічно, навіть якщо поміркувати, то до цього можна прийти. Значить, віднімаємо, виходить 0,02. Якщо X0 = 2, а X = 1,9. Бачимо, що тут у нас, якщо в першому тенденція до збільшення, да? Кожне наступне число, от X > X0, от, і дельта X додатній, а тут у нас навпаки, X < X0, тобто на зменшення, значить, приріст аргументу від'ємний, бо зменшилось число. 1,9 - 2, буде -0,1. X0 = 1, а X = -0,3. Ну, знову ж таки, йде зменшення, да, приріст від'ємний. За формулою підставляємо, від того, що стало, віднімаємо те, що було. Була одиниця, от її віднімаємо. Виходить -1,3, от такий приріст аргументу. Все. Номер 2. Знайдемо приріст функції F(X) у точці X0 для даного приросту аргументу F(X) = 5X - 3, X0 = 2, дельта X = 0,2.
[7:55]Давайте з вами поміркуємо. Спочатку треба знайти X, да?
[8:03]Тобто у нас було X0, є приріст аргументу, треба ж знайти, що у нас з X буде. А він дорівнює 2,2, бо 2 + 0,2 буде саме 2,2. Значить, наша функція в X0, у точці X0, тобто F(2), да, бо X0 = 2. Так було на початку. Підставляємо, що у нас, замість X пишемо 2. 5 * 2 = 10, - 3 = 7. Це F(X0). Нам треба, щоб знайти приріст, треба знати, скільки було і скільки стало, правильно? Шукаємо тепер значення функції у точці, яка скільки стало, да? Я розписав спеціально X0 + дельта X, хоча я міг написати F(X) просто. Так само, як тут міг написати X = X0 + дельта X. От, але щоб не, не робити багато записів, зробив простіше. Значить, F(2,2), знову підставляємо замість X 2,2. Там двійка, тут 2,2. Виходить 11 - 3 = 8. Отже, функція була і дорівнювала 7, а стала 8. Наскільки ж виросла наша функція, га? 8 - 7, аж на одиничку. От приріст функції складає 1. Далі, третя вправа. Тепер давайте поговоримо про похідну безпосередньо. І так, F(X) = X² у точці -2. Ага, не просто за формулою знайти похідну, а її значення у точці -2. Ну, то без проблем, значення такої похідної F'(X) = 2X. За формулою, про яку ми з вами говорили. Значить, тоді шукаємо F'(-2), замість X підставляємо -2, 2 * -2 = -4. Все, супер. Знайдемо F(X) = X³ у точці 0. Так, для цього знаходимо похідну F'(X) = 3X². Да, для даної функції. Ну, а тепер F'(0), замість X підставляємо 0.
[10:07]Ну, виходить 0², це 0 * 3, все одно 0. Так, F(X) = 1/X у точці 4. Що тут зробити можна? Знову знаходимо похідну, да, все аж не цікаво, стандартно. І у нас -1/X².
[10:31]Що тут далі? Ну, підставляємо замість X 4. 4² - це 16, значить, -1/16. Можна звичайний дріб перетворити у десятковий. От, нагадую, як це зробити, чисельник ділимо на знаменник, і все, і отримуємо, і буде нам щастя. От, оце я і зробив. -0,0625. Отака відповідь. Далі. Ну, а далі все домашнє завдання. Запишіть у коментарях значення похідної функції F(X) = X³ у точці 4. Хто слухав мене уважно, то без проблем може виконати домашнє завдання, написати в коментарях і отримати від мене за це вподобаєчку. Це тільки початок теми про похідну. Кому цікаво, ми на наступних уроках розглянемо більш детально, просто не хотілося урок робити занадто довгим. От. Коротенько пояснюю, сподіваюсь, ви зрозуміли. Ну, а зараз невеличка музична пауза, після якої нас чекають комп'ютерні тести.
[12:06]Помилувалися цим транспортним засобом. Хто знає, як він називається, пишіть у коментарях, за правильні відповіді вподобайки. Але це особливий транспорт, і він унікальний, особливо для нашої держави, тому що він є частиною нашого державотворення. Хто уважно вивчає історію, той зрозуміє, про що йде мова, той напише в коментарях, яка славетна подія відбулась в цьому зеленому вагончику. За правильні відповіді з мене вподобаєчки. Ну, а ми переходимо до комп'ютерних тестів. Самі себе вони точно не розв'яжуть, правильно ж? Так, треба було на задній план того. І тоді б у нас гарненько появився б напис, що вперед за оцінкою тестові завдання, да? Так, що у нас? Похідна функції, похідна найпростіших функцій. 11 запитань, 10-й клас, алгебра, тема тестів співпадає з темою уроку, дуже унікально. Так, я пишу своє ім'я. Я проходжу тест. Кому цікаво скористатися даними тестами, в описі до відео є посилання, напишіть мені, я вам розповім, де і яким чином їх можна отримати. Починаємо тестування. І я нагадаю, що перед тим, як почути мою відповідь, можете натиснути відео на паузу, поміркувати самостійно, обрати свій варіант, порівняти з моїм, порахувати, скільки у вас правильних відповідей. І після цього написати в коментарях. Ну, цікаво ж дізнатися, наскільки добре ви зрозуміли дану тему. І так, похідна із √X дорівнює 3X², 1/2√X, або -1/X², або 2X. Хм. Хто уважно мене слухав і запам'ятав? Правильно, ось друга формула сюди підходить. X² похідна від квадраті дорівнює 1, 2X, 3X² або 0. Ну, похідна X² = 2X, якщо я не помиляюся. Так, X³ похідна його дорівнює 3X², 1, 0, 2X. Ну, звісно, 3X². Різницю Y - Y0 називають приростом аргументу або приростом функції? Приростом функції, бо Y - це функція. Похідна X дорівнює 3X², 2X, 0, 1. Дорівнює 1. Так, приріст аргументу позначають дельта X, дельта F. Аргумент - це X, а приріст значить дельта X. 1/X, да, похідна це у нас буде 1/2X, √X, 2X, 3X² або -1/X². Так, ну, я думаю, що ця формула. Похідна сталої величини: 1, 3X², 0, 2X. Приріст функції позначають дельта X або дельта F. Функція.
[15:16]Відновити визначення, встановивши правильну послідовність. Похідною функції Y = F(X) у точці X0, границю відношення приросту функції дельта F у точці X0 до приросту аргументу дельта X, коли дельта X прямує до нуля, називають похідною функції Y = F(X) у точці X0. О, перетягнув. Тепер читаємо. Границю відношення приросту функції дельта F у точці X0 до приросту аргументу дельта X, коли дельта X прямує до нуля, називають похідною функції Y = F(X) у точці X0. Читається лаконічно, читається логічно, значить, все правильно. Різницю X - X0 називають приростом функції або приростом аргументу? Звісно ж, приростом аргументу. І так, у мене 10 балів, я молодець. Всі ті, хто дивляться мої відеоуроки від самого початку до самого кінця, теж великі молодці, респект вам. 11 правильних відповідей з 11. Не забудьте написати в коментарях. От прям зараз, натиснули відео на паузу, написали в коментарях, скільки у вас правильних відповідей. Дивимося звіт. Його можна зберегти у файл, надрукувати. Тема, хто проходив, коли проходив, скільки тривало тестування, скільки запитань, скільки правильних відповідей оцінка. Помилок немає. Аналізувати немає що. Тому ми рухаємося далі. А от якщо були помилки, я б міг їх проаналізувати і надалі таких помилок не робити. І так, шановні глядачі, якщо вам сподобався мій відеоурок, тисніть похідну вподобаєчку, вам не складно, мені приємно. Да, ось вподобаєчка, пальчик вгору під відео є. Розповідайте про відеоурок та канал Топ Школа своїм друзям у реальному житті, у віртуальному житті. Підписуйтесь на канал Топ Школа, тисніть на дзвіночок, щоб не пропустити вихід нових відеоуроків. Хто підписався, завтра отримає 12 балів, а хто ні - піде до дошки відповідати. Також ви можете підтримати створення нових відеоуроків гривнею на довільну суму. Хто скільки бажає, номер картки є в описі до відео. Підтримуйте - це дозволяє випускати нові відеоуроки. Ну, а також приєднуйтесь до мене у Фейсбуці, фоточки в Інстаграмі, у Вайбері і в Телеграмі допомагаємо один одному розв'язувати домашнє завдання. Ну, а в мене на сьогодні все. Щиро дякую за увагу, на все добре і до побачення. Дивишся відео досі? Ну, молодець. Напиши, будь ласка, в коментарях слово крокодил. І я тобі за це поставлю вподобаєчку, за те, що ти такий великий молодець, дивишся мої відеоуроки до самого кінця.
