[0:00]Hej, mam na imię Karolina i w tym materiale opowiem wam o funkcjach trygonometrycznych sumy i różnicy kątów. czyli będziemy zajmowali się takimi zagadnieniami, kiedy
[0:15]wiemy ile wynosi na przykład sinus jakiegoś kąta i sinus innego kąta i chcemy dowiedzieć się, ile wtedy będzie wynosił sinus sumy tych dwóch kątów, bądź różnicy.
[0:27]No i tutaj mamy kilka takich wzorów, które yyy działają, które można sobie oczywiście udowodnić. My będziemy tylko yyy je stosować.
[0:37]No i po kolei omówmy sobie wszystkie te wzory i może postarajmy się znaleźć jakiś sposób, jak je zapamiętać, żeby nie nie wertować książek za każdym razem, kiedy, yyy kiedy będziemy musieli yyy z nich skorzystać.
[0:51]Więc mamy powiedziane, że dla każdego alfa, beta należącego do R, czyli dla każdego kąta rzeczywistego, dla każdych dwóch kątów rzeczywistych, mamy yyy takie cztery równania.
[1:04]Jeżeli chcemy obliczyć sinus sumy dwóch kątów, to mamy wyrażenie, że to jest tak: sinus alfa, czyli sinus pierwszego z tych kątów razy cosinus beta, czyli cosinus drugiego z tych kątów plus cosinus alfa razy sinus beta.
[1:21]Czyli bierzemy sinus alfa, sinus beta, cosinus alfa i cosinus beta i je mieszamy w taki sposób, yyy żeby yyy one się wymnożyły, to znaczy wymnażamy je, ale wybieramy stąd yyy tylko takie pary, gdzie funkcje trygonometryczne są różne i różne są też kąty, których się one dotyczą.
[1:42]Yyy czyli widzimy, że nie mamy na przykład wyrażenia sinus alfa razy sinus alfa, albo cosinus beta razy cosinus alfa, tak?
[1:50]Yyy czyli wszędzie jest sinus i cosinus, sinus cosinus i sinus i wszędzie jest alfa i beta, alfa i beta w każdym z tych dwóch składników.
[1:58]No i jak to można zapamiętać? No jest dodawanie kątów, więc jest dodawanie tych yyy tych wyrażeń.
[2:04]Na początku, skoro mamy sinus, i mamy najpierw alfę, no to mamy sinus alfa razy cosinus tego drugiego kąta i tutaj na zmianę.
[2:13]I to powiedziałam, bo to będzie się tyczyło też tego drugiego wzoru, gdzie kiedy mamy sinus alfa minus beta.
[2:19]No i tu mamy dokładnie takie same wyrażenia, ale między nimi jest minus.
[2:24]I ten minus jest bardzo ważny, dlatego właśnie dobrze zapamiętać, że w sinusie sumy bądź różnicy dwóch kątów, najpierw mamy wyrażenie z sinusem tego pierwszego z rozpatrywanego, a potem i z cosinusem tego drugiego, tak?
[2:37]A potem odejmujemy to wszystko przekręcone, czyli sinus zamieniamy na cosinus, alfę tu zostawiamy, a cosinus na sinus.
[2:46]No okej, no to teraz przejdźmy do wzorów na cosinus sumy i cosinus różnicy.
[2:51]Cosinus sumy, cosinus różnicy są yyy całkiem miłe do zapamiętania, dlatego, bo one nie zawierają żadnych takich poprzemienianych wyrażeń, że sinus z cosinusem, czy cosinus z sinusem, ale mamy jedno wyrażenie cosinus alfa razy cosinus beta, czyli mnożymy same cosinusy, tak samo w różnicy.
[3:10]No i drugie to sinus alfa razy sinus beta, czyli mnożymy przez siebie sinusy.
[3:15]Yyy no i tutaj taka mała rzecz, że jeżeli kąty dodajemy i bierzemy bierzemy funkcję cosinus od sumy kątów, to te wyrażenia od siebie odejmujemy, począwszy od cosinusa, odejmujemy sinusy.
[3:28]Yyy a kiedy mamy cosinus yyy różnicy kątów, to te wyrażenia do siebie dodajemy, tak na przekór.
[3:36]Eee, no i tutaj mamy też dopisaną taką tabelę, którą dobrze znamy z wartościami funkcji trygonometrycznych tych kątów, które, które są takie no charakterystyczne.
[3:50]Yyy i pewnie będziemy musieli z niej skorzystać i również z tych czterech równań przy wykonywaniu yyy zadań.
[3:58]W zadaniu pierwszym mamy obliczyć sinus i cosinusy podanych kątów.
[4:04]Zrobimy w ten sposób, że ja obliczę tylko po jednej funkcji trygonometrycznej z każdego podpunktu, reszta natomiast będzie jako ćwiczenie, takie, że bez problemu można sprawdzić, jak wygląda ta druga funkcja trygonometryczna, można sobie ją prosto wyznaczyć, tak?
[4:24]Yyy ja zrobię to w ten sposób, że zacznę, yyy najpierw w przykładzie sinus, w przykładzie cosinus, potem znowu sinus i znowu cosinus, żeby nie było tak, że wyznaczam tylko samego sinusa.
[4:39]No dobrze. Mamy yyy obliczyć sinus 75 stopni.
[4:46]No nie mamy 75 stopni w tych w tej tabeli, tych charakterystycznych wartości, więc musimy sobie poradzić trochę inaczej.
[4:55]No ale jak?
[4:58]No najlepiej będzie skorzystać właśnie z tych wzorów, które tutaj mamy, tylko musimy się zastanowić, jakie kąty wziąć.
[5:06]Tak, tutaj ten kąt, który mamy podany, ten kąt 75 stopni to jest już nasza albo alfa plus beta, albo alfa minus beta.
[5:14]Yyy no to zapiszmy, mamy sinus 75 stopni, równa się.
[5:20]I co my chcemy? Fajnie by było, gdyby udało nam się zapisać 75 stopni jako sumę bądź różnicę kątów charakterystycznych, kątów, dla których my znamy wartości.
[5:32]Czyli kątów 30, 45 i 60.
[5:36]Jeżeli weźmiemy 60, to żeby mieć 75 musimy dodać 15.
[5:40]To odpada, nie mamy 15. Ale jeżeli weźmiemy 45, to żeby mieć 75, musimy dodać tylko 30.
[5:48]Zatem wniosek, żeby zapisać sinus 70 75 stopni, to możemy zapisać, że to jest sinus 30 stopni plus 45 stopni, czyli dokładnie to co ja teraz tutaj napiszę, mamy sinus 30 stopni plus 45 stopni.
[6:06]No a to się równa. No to teraz już korzystamy prosto ze wzoru.
[6:10]Wiemy, że sinus alfa plus beta, czyli u nas sinus 30 plus 45, to będzie sinus alfa, czyli sinus 30, razy cosinus beta, czyli cosinus 45 i dodajemy do tego cosinus 30 razy sinus 45.
[6:38]Wszystko się zgadza, alfa beta, 30 45, 30 45, okej.
[6:45]No a sinus 30 stopni znamy, sinus 30 stopni to jest 1/2, czyli wpisujemy go tutaj.
[6:53]Cosinus 45 stopni to pierwiastek z 2 na 2 i dodajemy do tego cosinus 30 stopni, czyli patrzymy na tabelę, pierwiastek z 3 na 2 razy sinus 45, pierwiastek z 2 na 2.
[7:10]No i to wymnażamy i otrzymujemy wynik, czyli mamy 1 razy pierwiastek z 2 to pierwiastek z 2, 2 razy 2 to 4.
[7:20]Dalej dodajemy pierwiastek z 3 razy pierwiastek z 2 to pierwiastek z 6 przez 4, czyli w sumie mamy pierwiastek z 2 plus pierwiastek z 6 przez 4.
[7:33]Tak, taki mamy wynik dla sinusa 45 stopni.
[7:38]No może ja go zapiszę, żeby nam się nigdzie nie zapodział, pierwiastek z 2 plus pierwiastek z 6 przez 4.
[7:45]No dobrze, przejdźmy teraz do punktu B.
[7:48]W punkcie B liczymy cosinusa 105 stopni, czyli jak cosinus no to musi być cały czas cosinus, czyli cosinus 100 105 zamieniamy na cosinus sumy, najlepiej sumy jakiś dwóch kątów, no bo widzimy, że różnica tych kątów, które mamy tu podane, czyli 30, 45, 60, na pewno wyjdzie mniejsza od 105, skoro te wszystkie kąty są mniejsze.
[8:15]No, ale sprawdźmy, weźmy 60, 60, żeby było 105, musimy dodać 45, więc idealnie trafione w te dwa kąty charakterystyczne.
[8:23]Czyli zapisujemy, że cosinus 105 to jest cosinus 45 plus 60.
[8:33]No teraz rozpisujemy ze wzoru na cosinusy, czyli cosinus sumy dwóch kątów, to jest najpierw iloczyn cosinusów tych dwóch kątów, czyli mamy cosinus 45 stopni razy cosinus 60 stopni.
[8:50]I teraz uwaga, skoro była suma kątów, to my odejmujemy iloczyn sinusów, czyli sinus 45 stopni i sinus 60 stopni.
[9:07]No dobrze, no to teraz sprawdzamy po prostu w tabeli ile co jest równe.
[9:10]Cosinus 45, no to patrzymy, jest pierwiastek z 2 na 2.
[9:17]Dalej cosinus 60, 1/2.
[9:25]Odejmujemy od tego teraz sinus 45 stopni, sinus mamy tu, 45 stopni to pierwiastek z 2 na 2.
[9:37]I sinus 60 stopni to pierwiastek z 3 na 2.
[9:43]Równa się, no i wymnażamy, mamy pierwiastek z 2 przez 4 minus pierwiastek z 6 przez 4 równa się pierwiastek z 2 minus pierwiastek z 6 przez 4, czyli bardzo podobny wynik do tego wyniku z przykładu A, ale yyy trochę jednak się różnił, bo tu był plus między pierwiastkiem z 2 i pierwiastkiem z 6, a tu mamy minus.
[10:07]Eee czyli widzimy, że to wyrażenie raczej będzie miało znak minus, czyli będzie ujemne.
[10:16]Yyy no i faktycznie tutaj, skoro liczymy cosinusa 105 stopni, 105 stopni to jest już kąt powyżej 90 stopni, ale poniżej 180 stopni, więc cosinus tam jest funkcją, która przyjmuje wartość ujemną.
[10:31]Czyli wszystko się zgadza.
[10:34]No to też zapiszmy ten przykład B, tego cosinuska, że to jest pierwiastek z 2 minus pierwiastek z 6 przez 4.
[10:43]No to przechodzimy do przykładu trzeciego.
[10:49]I w przykładzie trzecim znowu wracamy do sinusów.
[10:52]Eee, mamy sinus 15 stopni, więc teraz będziemy szukali, co my możemy zrobić?
[10:57]Sinus 15 stopni, no musi być to nadal sinus tylko czego?
[11:05]I sinus 15 stopni, jeśli się nie mylę, to my możemy obliczyć na dwa różne sposoby.
[11:10]Eee dodawanie na pewno nam nie wyjdzie, bo najmniejszy kąt z tych charakterystycznych, jakie mamy, to jest 30 stopni, 30 stopni, no jest większe od 15 stopni, więc odpada.
[11:21]Ale zobaczmy, jak weźmiemy 60 stopni, odejmiemy 45 stopni, to otrzymujemy chyba 15.
[11:28]Tak samo jak weźmiemy 45 stopni, odejmiemy 30, to też otrzymujemy 15.
[11:34]Więc yyy no możemy policzyć to na dwa sposoby i zobaczyć, czy faktycznie wyjdzie ten sam wynik.
[11:41]Yyy no dobrze, no to najpierw zacznijmy od 45 odjąć 30.
[11:46]Czyli mamy sinus 45 stopni odjąć 30 stopni, równa się.
[11:51]Eee, no i ze wzoru sinus różnicy, to będzie różnica tych dwóch wyrażeń, czyli mamy tak, sinus pierwszego kąta, razy cosinus drugiego kąta, czyli mamy sinus 45 razy cosinus 30 odjąć cosinus pierwszego, czyli cosinus 45 razy sinus drugiego, czyli sinus 30.
[12:18]No i tak jak poprzednio wstawiamy wartości z tabeli.
[12:21]Sinus 45 to pierwiastek z 2 na 2.
[12:26]Cosinus 30 to pierwiastek z 3 na 2.
[12:31]Odjąć cosinus 45, pierwiastek z 2 na 2 razy sinus 30, czyli 1/2.
[12:41]Równa się, pierwiastek z 6 wychodzi nam z wymnożenia pierwiastka z 2 i pierwiastka z 3 przez 4, odjąć pierwiastek z 2 przez 4, mamy pierwiastek z 6 minus pierwiastek z 2 przez 4.
[12:55]No to zapiszmy gdzieś z boku, jaki to jest wynik tu przy przykładzie C, że to jest pierwiastek z 6 minus pierwiastek z 2 na 4.
[13:06]No i teraz policzymy sobie to jeszcze raz i zobaczymy, czy dostaniemy dokładnie to samo, mam nadzieję, że tak.
[13:12]Eee, czyli to ucieka.
[13:15]Tutaj zmieniamy kąty.
[13:21]I tak, eee, no to bierzemy teraz yyy przed chwilą było 45 odjąć 30, więc teraz będzie 60 odjąć 45.
[13:30]No to zauważmy, że to faktycznie też jest eee 15.
[13:36]No dobrze, no to rozpisujemy, mamy sinus pierwszego kąta, znowu z tego samego wzoru, sinus pierwszego kąta, czyli sinus 60, razy cosinus drugiego kąta, czyli cosinus 45, odejmujemy cosinus pierwszego, czyli cosinus 60 razy sinus 45.
[13:58]Dobrze, no to wstawiamy wartości. Sinus 60 to pierwiastek z 3 na 2.
[14:07]Eee cosinus 45 to pierwiastek z 2 na 2.
[14:13]Tak, pierwiastek z 3 na 2 razy pierwiastek z 2 na 2, sinus 60 cosinus 45, odejmujemy eee i mamy tak, cosinus 60, to jest 1/2 razy sinus 45, czyli pierwiastek z 2 na 2.
[14:37]Tak, dobrze, no to wymnażamy, mamy pierwiastek z 6 na 4 minus pierwiastek z 2 na 4, równa się pierwiastek z 6 minus pierwiastek z 2 na 4, czyli dokładnie to samo, co wyszło nam przed chwilą.
[14:51]Czyli obojętnie jakie my kąty weźmiemy, które będą dawały nam sumę tego kąta, który chcemy policzyć, to funkcja trygonometryczna zawsze wyjdzie nam taka sama.
[15:00]Wartość funkcji trygonometrycznej zawsze wyjdzie taka sama.
[15:04]Przynajmniej widać to na tym przykładzie, gdzie wzięliśmy dwa dwie różne yyy jakby dwie różne sumy, tak, które składały się na tą na tą samą liczbę.
[15:13]Eee, no został nam jeszcze jeden przykład, znowu będę liczyła cosinusa.
[15:20]Z tym, że teraz mamy kąt podany w mierze łukowej, czyli wartość kąta mamy w mierze łukowej.
[15:26]Więc postaramy się zostać w tej mierze łukowej.
[15:32]To może dopiszmy sobie, czym jest 30 stopni w mierze łukowej, czym jest 45, a czym jest 60.
[15:38]30 stopni w mierze łukowej, to jak pamiętamy, to jest pi szóstych.
[15:44]45 to pi czwartych, natomiast 60 to pi trzecich.
[15:51]No świetnie, no to teraz, co możemy zrobić?
[15:56]Chcielibyśmy otrzymać z tych 5/12 pi taki rozkład tej tego ułamka, tej miary, ażeby on zawierał pi szóstych, pi czwartych, bądź pi trzecich.
[16:12]No to zastanówmy się, co mogłoby nam to dawać.
[16:16]No gdybyśmy wzięli na przykład pi szóstych i pi trzecich, no to wiemy, że pi szóstych plus pi trzecich to daje nam pi szóstych plus 2 pi szóstych, czyli to jest 3 pi szóstych, czyli pi drugich, no nie, trochę, trochę nie działa.
[16:35]Trochę za dużo nawet. No to weźmy pi szóstych i pi czwartych.
[16:40]No spójrzmy tutaj, pi szóstych plus pi czwartych.
[16:46]I pi szóstych, a sprowadzamy do wspólnego mianownika, tak?
[16:50]Sześć nie będzie wspólnym mianownikiem, wspólnym mianownikiem będzie 12, czyli aha, coś może nam się udać.
[16:56]Eee, czyli mamy tutaj 2 pi w liczniku, plus 12 i 3 pi, równa się i to jest 2 pi plus 3 pi to 5 pi 12 i szczęśliwie udało nam się to rozłożyć.
[17:11]Czyli możemy tego cosinusa zapisać jako cosinus sumy eee, oczywiście można spróbować znaleźć też inny rozkład, może to, może to będzie, nie wiem, na przykład pi trzecich odjąć pi czwartych, też można zobaczyć, czy to będzie działało.
[17:26]Eee no ale, no nie musimy rozwiązywać każdego przykładu na wszystkie możliwe sposoby, wystarczy, że rozwiążemy go na jeden z możliwych sposobów, czyli mamy tak, mamy cosinus 5 pi 12, to u nas będzie cosinus pi szóstych dodać pi czwartych.
[17:47]No to rozpisujemy to ze wzoru, ze wzoru na cosinus sumy, czyli będzie cosinus razy cosinus, czyli będzie cosinus pi szóstych razy cosinus pi czwartych i odjąć sinus pi szóstych razy sinus pi czwartych.
[18:05]No to wprowadzamy, zamieniamy te te napisy na konkretne wartości funkcji trygonometrycznych.
[18:13]Czyli cosinus pi szóstych to jest, eee widzimy pi szóstych, pierwsza kolumna pierwiastek z 3 na 2.
[18:21]Razy cosinus pi czwartych, cosinus pi czwartych to jest pierwiastek z 2 na 2.
[18:29]I odejmujemy od tego sinus pi szóstych, czyli 1/2 razy sinus pi czwartych, sinus pi czwartych to jest pierwiastek z 2 na 2.
[18:42]A to będzie równe, pierwiastek z 6 na 4 odjąć pierwiastek z 2 na 4 i to jest pierwiastek z 6 minus pierwiastek z 2 na 4.
[18:52]Już wszystko dokładnie widać.
[18:56]No obliczyliśmy wszystko tak, jak poprzednio.
[19:00]Tutaj widzimy, że te wyniki są podobne.
[19:04]No pewnie jest zależność jakaś między nimi, ale widzimy, że eee gdzie nie gdzie jest sinus, a gdzie nie gdzie cosinus, więc tu możemy mieć taką różnicę.
[19:10]Tu zapiszmy, że to jest pierwiastek z 6 minus pierwiastek z 2 na 4.
[19:19]No dobrze, teraz możemy przejść do drugiego zadania. Drugie zadanie polega trochę bardziej na no też polega na kombinowaniu, tak samo jak i to pierwsze, ale na trochę innym.
[19:30]Ponieważ w drugim zadaniu my już mamy podane jakieś wyrażenia, które przypominają nam prawe strony tych równości.
[19:39]My musimy tylko dowiedzieć się, eee, sprawdzić, jakie prawe strony eee, to znaczy prawe strony jakich, których konkretnie równości i wstawić te nasze kąty i obliczyć, zobaczyć, co nam powinno, co nam wyjdzie.
[19:53]W przykładzie A mamy sinus 51 stopni razy cosinus 6 stopni minus sinus 51 stopni razy cosinus 60 stopni.
[20:05]Widzimy, że mamy kąt 51 i 6.
[20:08]I on się pojawia i w jednym wyrażeniu i w drugim, czyli to będzie albo suma albo różnica tych dwóch kątów.
[20:18]Teraz musimy się dowiedzieć też, czy to będzie sinus, czy cosinus.
[20:22]Mamy tak: sinus razy cosinus odjąć sinus razy cosinus.
[20:26]No to szukamy takiego wyrażenia. W cosinusach mamy tylko cosinusy wymnożone przez siebie i sinusy, więc to musi być sinus, ale czego?
[20:34]Wiemy, że to będzie sinus tylko czego, sumy czy różnicy?
[20:40]No to zastanawiamy się, jest odejmowanie u nas, no mamy odejmowanie też tutaj, czyli to będzie sinus alfa minus beta, u nas sinus 51 minus 6 stopni.
[21:02]Inaczej to jest sinus 51 odjąć 6, to 45 stopni.
[21:06]A sinus 45 stopni odczytujemy, pierwiastek z 2 na 2.
[21:13]No to przykład B. Mamy iloczyn cosinusów odjąć iloczyn sinusów, przynajmniej tak powinno być.
[21:26]To ja może tu szybko zmienię ten błąd, bo nie mamy takiego wyrażenia spośród tych naszych, które znamy, że jest cosinus razy cosinus odjąć sinus razy cosinus, musi być jak już jest cosinus razy cosinus to musi być sinus razy sinus.
[21:40]Czyli mamy iloczyn cosinusów odjąć iloczyn sinusów, iloczyn cosinusów odjąć iloczyn sinusów to jest cosinus sumy.
[21:49]No dobrze, więc wiemy, że to będzie na pewno cosinus sumy, czyli po prostu sumujemy te dwa kąty, które tu są podane, czyli 18 stopni plus 12 stopni i otrzymujemy, że to będzie cosinus 18 plus 12 to daje nam całe 30 stopni, a cosinus 30 stopni to pierwiastek z 3 na 2. och, to źle napisałam, już jest dobrze.
[22:15]Eee no i zostało nam ostatnie wyrażenie, wyrażenie znowu z miarą łukową.
[22:20]No to sprawdźmy najpierw, co my mamy, mamy cosinus razy cosinus dodać sinus razy sinus.
[22:25]Cosinus razy cosinus dodać sinus razy sinus, to jest cosinus różnicy.
[22:31]Czyli przykład C będzie na pewno cosinusem, no i różnicy jakich kątów?
[22:38]No to mamy 2/3 pi odjąć 5/12 pi.
[22:43]Czyli mamy 2 pi 3 odjąć 5 pi 12, równa się.
[22:50]Może gdzieś tu z boku obliczmy sobie, ile to tak naprawdę jest.
[22:54]Eee, czyli mamy 2 pi 3 odjąć 5 pi 12, to się równa, sprowadzamy do wspólnego mianownika, czyli trójkę mnożymy przez czwórkę, więc 2 pi też przez 4, czyli mamy 8 pi przez 12 minus 5 pi przez 12, a to daje nam w sumie 8 minus 5 to jest 3 pi 12, to skracamy zostaje pi czwartych.
[23:24]No to świetnie, to mamy po prostu cosinusa pi czwartych.
[23:30]No to odczytujemy znowu. Cosinus pi czwartych, czyli 45 stopni, to pierwiastek z 2 na 2.
[23:40]Czyli dzięki tym wzorom, które tutaj yyy, który dzisiaj w tym materiale poznaliśmy, yyy możemy obliczyć wiele różnych przydatnych rzeczy, jak przede wszystkim te kąty, których yyy, no które możemy, których wartości funkcji trygonometrycznych możemy znaleźć w tablicach trygonometrycznych, ale możemy sobie dzięki właśnie tym tym wzorom na na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów, możemy sobie poradzić łatwiej bez tych tablic.
[24:15]Eee, no i tak samo znając te te te wzory możemy yyy skorzystać z nich po prostu pisząc wartość podanego wyrażenia.
[24:29]Eee, no mam nadzieję, że to nie będzie już takie ciężkie, że będzie bardziej zrozumiałe, łatwiejsze do zapamiętania i dziękuję bardzo za uwagę z tym, że przygotowałam jeszcze zadania, które są o wiele trudniejsze, które są związane również z tożsamościami trygonometrycznymi i chętnych zapraszam do innego materiału, do drugiej części tego samego tematu.
