[0:01]എല്ലാവർക്കും റിവേറ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ സയൻസിന്റെ ഇന്നത്തെ വീഡിയോയിലേക്ക് സ്വാഗതം. നമ്മൾ കഴിഞ്ഞ ദിവസം നമ്മുടെ ആൻഡ്രോയ്ഡ് ആപ്പിൽ നടത്തിയ അബ്സ്ട്രാക്ട് ഓൾജിബ്രയുടെ എക്സാമിന്റെ സൊല്യൂഷൻസ് ആണ് നമ്മൾ ഡിസ്കസ് ചെയ്യാൻ പോകുന്നത്.
[0:12]അപ്പോ നമുക്ക് ഈ ക്വസ്റ്റ്യനിലേക്ക് പോകാം. ഫസ്റ്റ് ക്വസ്റ്റ്യൻ ഇതാണ്. ലെറ്റ് ജി ബി എ നോൺ അബീലിയൻ ഗ്രൂപ്പ് വിത്ത് എൻ എലമെൻസ് ദെൻ വിച്ച് ഓഫ് ദി ഫോളോവിങ് വാല്യൂസ് ഓഫ് എൻ ഈസ് പോസിബിൾ.
[0:22]ഓക്കേ എന്താണ് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്? ജി എന്ന് പറയുന്നത് ഒരു നോൺ അബീലിയൻ ഗ്രൂപ്പ് ആണെന്ന് തന്നിട്ടുണ്ട്. ആ ജിന്റെ ഓർഡർ എൻ ആണെന്ന് തന്നിട്ടുണ്ട്. അങ്ങനെയാണെന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഈ എന്നിന് വരാൻ പറ്റുന്ന പോസിബിലിറ്റീസ് ഇതിൽ ഏതൊക്കെയാണെന്നാണ് ചോദിച്ചത്.
[0:35]ഓക്കേ അപ്പോ നമുക്ക് ഫസ്റ്റ് ഓപ്ഷൻ നോക്കാം. ഫസ്റ്റ് ഓപ്ഷനിൽ എന്താണ് എന്നിന്? 13 ആണല്ലേ? എൻ 13 ആണ്. എൻ പ്രൈം ആണ്. നമുക്കറിയാം ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പും പ്രൈം ഓർഡറുള്ള ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പ് എന്ന് പറയുന്നത് എന്താണ്? സൈക്ലിക് ആണ്.
[0:50]ഓക്കേ ഇത് പ്രൈം ആയതുകൊണ്ട് സൈക്ലിക് ആയതുകൊണ്ട് അത് എന്തായിരിക്കും? അബീലിയൻ ആയിരിക്കും. അപ്പോ നമുക്ക് എൻ 13 എന്ന് പറയുന്ന ഈ ഒരു പോസിബിലിറ്റി വരില്ല.
[1:00]ഓക്കേ ഇനി സെക്കൻഡ് ഓപ്ഷൻ നോക്കാം എൻ ഈക്വൽ ടു 9 ആണ്. എൻ ഈക്വൽ ടു 9 എന്ന് പറയുമ്പോൾ ദിസ് ഈസ് ത്രീ സ്ക്വയർ അല്ലേ? പ്രൈം സ്ക്വയർ ആണ്. എവരി ഗ്രൂപ്പ് ഓഫ് ഓർഡർ പി സ്ക്വയർ എന്ന് പറയുന്നത് എന്താണ്? അബീലിയനാണ്.
[1:10]സോ ദിസ് ഇംപ്ലൈസ് ജി ഈസ് അബീലിയൻ അപ്പോ നമുക്ക് ഈ എൻ ഈക്വൽ ടു 9 എന്ന് പറയുന്ന ഈ പോസിബിലിറ്റി വരുമോ? ഇല്ല. കാരണം എന്താണ് നമ്മളോട് ഇവിടെ ചോദിച്ചു പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതാണ് ജി എന്ന് പറയുന്നത്. നോൺ അബീലിയൻ ഗ്രൂപ്പാണെന്നാണ് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്.
[1:22]ഓക്കേ സോ എൻ ഈക്വൽ ടു 9 എന്ന് പറയുന്ന ഈ പോസിബിലിറ്റി വരില്ല. ഇനി ഓപ്ഷൻ സി സിയിൽ എന്താണ് എൻ ഈക്വൽ ടു 10 ആണ്.
[1:29]എൻ ഈക്വൽ ടു 10 എന്ന് പറയുമ്പോൾ നമ്മള് ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യുമ്പോൾ എങ്ങനെയാ വരാ 2 ഇ 5 അല്ലേ? എൻ ഈക്വൽ ടു 2 ഇ 5 ആണ്. വർ 2 ഡിവൈഡ്സ് 5 - 1
[1:39]നമുക്കറിയാം ഇഫ് കാർഡിനാലിറ്റി ഓഫ് ജി ഈക്വൽ ടു പി ക്യൂ വർ പി ലെസ് ദാൻ ക്യൂ ആൻഡ് പി ഡിവൈഡ്സ് ക്യൂ - 1 ആണെങ്കിൽ അപ്പ് ടു ഐസോമോർഫിസം എത്ര ഗ്രൂപ്പ്സ് ഉണ്ടാവും? രണ്ട് ഗ്രൂപ്പ്സ് ആയിരിക്കും അല്ലേ?
[1:51]ഒന്ന് ജി എന്ന് പറയുന്നത് സൈക്ലിക്ക് ആവാനും സൈക്ലിക് ഗ്രൂപ്പും ഉണ്ടാവും പിന്നെ ഒരു നോൺ അബീലിയൻ ഗ്രൂപ്പും ഉണ്ടാവും
[2:02]ഓക്കേ സോ നമുക്ക് ഇവിടെ എൻ ഈക്വൽ ടു 10 എന്ന് പറയുന്നത് ഈ 10 വരുമ്പോൾ നമുക്ക് എന്താണ് സൈക്ലിക് ഗ്രൂപ്പും ആവാനുള്ള സാധ്യതയുണ്ട്. ഒരു നോൺ അബീലിയൻ ഗ്രൂപ്പും ആവാനുള്ള സാധ്യതയുണ്ട്. അതുകൊണ്ട് എൻ ഈക്വൽ ടു 10 എന്ന് പറയുന്നത് പോസിബിലിറ്റിയാണ്.
[2:12]ഓക്കേ ഇനി എൻ ഈക്വൽ ടു 15 നോ? എൻ ഈക്വൽ ടു 15 എന്ന് പറയുന്നത് 3 ഇ 5 ആണ്. വർ 3 ഡസ് നോട്ട് ഡിവൈഡ് 5 - 1
[2:20]ഓക്കേ അപ്പോ ഈ ഈ ത്രീ ഡസ് നോട്ട് ഡിവൈഡ് 5 - 1 ആണെങ്കിൽ ഇത് എന്തായിരിക്കും? ജി ഈസ് സൈക്ലിക് ആയിരിക്കും.
[2:30]അല്ലേ? കാരണം എന്താണ്? ഇഫ് കാർഡിനാലിറ്റി ഓഫ് ജി ഈക്വൽ ടു പി ക്യൂ വർ പി ലെസ് ദാൻ ക്യൂ ആൻഡ് പി ഡസ് നോട്ട് ഡിവൈഡ് ക്യൂ - 1 ആണെങ്കിൽ ജി എന്തായിരിക്കും? സൈക്ലിക് ആയിരിക്കും.
[2:40]ദെൻ ജി സൈക്ലിക് ഓക്കേ ഇവിടെ ജി സൈക്ലിക് ആയത സൈക്ലിക് ആണെങ്കിൽ എന്തായിരിക്കും? ജി എന്ന് പറയുന്നത് അബീലിയൻ ആയിരിക്കും. സോ നമുക്ക് എൻ ഈക്വൽ ടു 15 എന്ന് പറയുന്ന ഈ ഒരു പോസിബിലിറ്റി വരില്ല.
[2:51]അപ്പോ ഏതാണ് വരാൻ പറ്റുന്ന ഏക പോസിബിലിറ്റി? എൻ ഈക്വൽ ടു 10 ആണ്. ഓക്കേ അപ്പോ ഏതാണ് വരാ? ഓപ്ഷൻ സി ആണ് റൈറ്റ് ആൻസർ. ഓപ്ഷൻ സി.
[3:00]അടുത്ത ക്വസ്റ്റ്യൻ ഇതാണ്. ലെറ്റ് ജി ബി എ സിമ്പിൾ ഗ്രൂപ്പ് ഓഫ് ഓർഡർ 168. വാട്ട് ഈസ് ദി നമ്പർ ഓഫ് സബ് ഗ്രൂപ്പ്സ് ഓഫ് ജി ഓഫ് ഓർഡർ 7? ഓക്കേ എന്താണ് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്? നമ്മളോട് പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന കാര്യങ്ങൾ ജി എന്ന് പറയുന്നത് ഒരു സിമ്പിൾ ഗ്രൂപ്പ് ആണെന്ന് പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്.
[3:15]ആൻഡ് കാർഡിനാലിറ്റി ഓഫ് ജി എന്ന് പറയുന്നത് 168 ആണെന്ന് തന്നിട്ടുണ്ട്. ഓക്കേ നമ്മളോട് എന്താണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്? വാട്ട് ഈസ് ദി നമ്പർ ഓഫ് സബ് ഗ്രൂപ്പ്സ് ഓഫ് ജി ഓഫ് ഓർഡർ 7?
[3:25]ഓക്കേ 7 ഓർഡറുള്ള എത്ര സബ് ഗ്രൂപ്പ്സ് ഈ ജിക്ക് ഉണ്ടെന്നാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഓക്കേ നമുക്ക് ഈ 168 ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്താൽ എങ്ങനെയാ കിട്ടുക? 7 ഇ 24 അല്ലേ? 7 ഇ 24 ആണ്.
[3:40]ഓക്കേ അപ്പോ നമുക്ക് നമ്മളിവിടെ എന്താണ്? 7ന്റെ അതായത് ദിസ് ഈസ് ഈക്വൽ ടു 7 ഇ 2 ക്യൂബ് ഇ 3 അപ്പോ നമ്മളോട് ഇവിടെ ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത് നമ്പർ ഓഫ് സബ് ഗ്രൂപ്പ്സ് ഓഫ് ജി ഓഫ് ഓർഡർ 7ന്നാണ്. അതായത് ഇവിടെ ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്താണ്? എൻ 7 എത്രയാണെന്നാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. അതായത് നമ്പർ ഓഫ് സൈലോ 7 സബ് ഗ്രൂപ്പ്സ് എത്രയാണെന്നാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്.
[3:56]ഓക്കേ നമുക്ക് ബൈ തേർഡ് സൈലോ തിയറം എൻ 7 എങ്ങനെയാണ് കണ്ടുപിടിക്കുക? എൻ 7 ഈസ് കോൺഗ്രുവെന്റ് ടു 1 മോഡലോ 7 ആൻഡ് എൻ 7 എന്ന് പറയുന്നത് എന്തിനെ ഡിവൈഡ് ചെയ്യണം? 24നെ ഡിവൈഡ് ചെയ്യണം.
[4:09]സോ ഈ എൻ 7, 24നെ ഡിവൈഡ് ചെയ്യുമ്പോൾ എൻ 7ന് വരാൻ പറ്റുന്ന പോസിബിലിറ്റീസ് ഏതൊക്കെയാണ്? 1 വരാം, 2 വരാം, 3 വരാം, 4 വരാം, 5 വരില്ല, 6 വരാം, 7 വരില്ല, 8 വരാം, പിന്നെ അത് 12 വരാം, 24 വരാം. ഇത്രയും പോസിബിലിറ്റീസല്ലേ ഉള്ളൂ? അതെ ഇത്രയും പോസിബിലിറ്റീസെ എൻ 7 ഉള്ളൂ.
[4:28]ഓക്കേ ഇനി ഇത് മാത്രം ഇത് ഈ രണ്ട് കണ്ടീഷൻസും സാറ്റിസ്ഫൈ ചെയ്യണം അല്ലേ? അപ്പോ നമുക്ക് ഇതിൽ ഏതൊക്കെ ഏതൊക്കെ നമ്പേഴ്സാണ് ഈ കോൺഗ്രുവെൻസി സാറ്റിസ്ഫൈ ചെയ്യുന്നത് എന്ന് നോക്കാം. 1 സാറ്റിസ്ഫൈ ചെയ്യും.
[4:37]2 ചെയ്യില്ല. 3 ചെയ്യില്ല. 4 ചെയ്യില്ല. 6 ചെയ്യില്ല. 8 ചെയ്യൂല്ലേ? കാരണം എന്താണ്? 8 കോൺഗ്രുവെന്റ് 1 മോഡലോ 7 ആണ്. ഇനി 12 ചെയ്യില്ല. 24ഉം ചെയ്യില്ല. അപ്പോ എൻ 7 എന്ന് പറയുന്നത് ഏത ഏതാണ് പോസിബിലിറ്റീസ് എൻ 7ന്റെ? 1ഉം വരാം, 8ഉം വരാം.
[4:55]ഓക്കേ രണ്ടും നമുക്ക് ഇവിടെ ഓപ്ഷൻസിലുണ്ട്. 1 വരാം 8 വരാം. ഇനി നമുക്ക് ഇവിടെ വേറൊരു കാര്യം കൂടെ തന്നിട്ടുണ്ട്. ജി എന്ന് പറയുന്നത് സിമ്പിൾ ഗ്രൂപ്പാണെന്ന് കൂടെ തന്നിട്ടുണ്ടല്ലേ?
[5:03]സപ്പോസ് സപ്പോസ് എൻ 7 എന്ന് പറയുന്നത് 8 ആണ് എന്ന് വിചാരിക്കുക. സോറി സപ്പോസ് എൻ 7 എന്ന് പറയുന്നത് 1 ആണെന്ന് വിചാരിക്കുക. എൻ 7 1 ആണെന്നുണ്ടെങ്കിൽ അതിന്റെ അർത്ഥം എന്താണ്? ഒരു പ്രോപ്പർ നോൺ ട്രിവിയൽ നോർമൽ സബ് ഗ്രൂപ്പ് ജിക്ക് ഉണ്ടെന്നാണ് അർത്ഥം.
[5:16]ഓക്കേ ഞാൻ സപ്പോസ് എൻ 7 ഈക്വൽ ടു 1 ആണെങ്കിൽ ഒരു സബ് ഗ്രൂപ്പ് എച്ച് എക്സിസ്റ്റ് ചെയ്യും അല്ലേ? ഓഫ് ഓർഡർ 7 അല്ലേ? എച്ച് ഓഫ് ഓർഡർ 7 എക്സിസ്റ്റ് ചെയ്യും. വിച്ച് മീൻസ് എന്താണ്? എൻ 7 1 ആയതുകൊണ്ട് അതായത് ഒരേയൊരു ഒരേയൊരു സൈലോ സബ് ഗ്രൂപ്പേ ഉള്ളൂ.
[5:32]വിച്ച് മീൻസ് എന്തായിരിക്കും? എച്ച് എന്ന് പറയുന്നത് നോർമൽ ഇൻ ജി ആയിരിക്കും. അതായത് എച്ച് എന്ന് പറയുന്നത് പ്രോപ്പർ നോൺ ട്രിവിയൽ നോർമൽ സബ് ഗ്രൂപ്പ് ഓഫ് ജി ആയിരിക്കും.
[5:44]ദിസ് ഇംപ്ലൈസ് എന്താ എന്താ ജി ഈസ് നോട്ട് സിമ്പിൾ പക്ഷേ ഇതെന്ന് പറയുന്നത് എന്താണ്? കോൺട്രിഡിക്ഷനാണ്. കാരണം ജി എന്ന് പറയുന്നത് സിമ്പിൾ ആണെന്നാണ് നമുക്ക് തന്നിരിക്കുന്നത്.
[5:54]ഓക്കേ ജിക്ക് ഒരു പ്രോപ്പർ നോൺ ട്രിവിയൽ നോർമൽ സബ് ഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ടെന്നുണ്ടെങ്കിൽ അത് എന്തായിരിക്കും? ജി അങ്ങനെയാണെന്നുണ്ടെങ്കിൽ ജി എന്ന് പറയുന്നത് എന്താണ്? സിമ്പിൾ ആവില്ല. പക്ഷേ നമുക്ക് തന്നിരിക്കുന്ന ജി എന്ന് പറയുന്നത് എന്താണ്? സിമ്പിളാണ്. ഓക്കേ എൻ 7 എന്ന് പറയുന്നത് 1 ആവാൻ പറ്റുമോ? 1 ആവാൻ പറ്റില്ല. സോ എന്തായിരിക്കും ആൻസർ വര എൻ 7 എന്ന് പറയുന്നത് 8 ആയിരിക്കും.
[6:10]ഓക്കേ സോ ഓപ്ഷൻ സി ആണ് റൈറ്റ് ആൻസർ. ഓപ്ഷൻ സി.
[6:14]അടുത്ത ക്വസ്റ്റ്യൻ ഇതാണ്. ലെറ്റ് എസ് 7 ഡിനോട്ട് ദി ഗ്രൂപ്പ് ഓഫ് പെർമ്യൂട്ടേഷൻസ് ഓഫ് ദി സെറ്റ് 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. വിച്ച് ഓഫ് ദി ഫോളോവിങ് ഈസ് ട്രൂ? നമ്മളോട് എന്താണ് ഓപ്ഷൻസിൽ ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്? 6 ഓർഡറുള്ള, 7 ഓർഡറുള്ള, 8 ഓർഡറുള്ള, 10 ഓർഡറുള്ള എലമെന്റ്സൊക്കെ ഉണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്നൊക്കെയുള്ളതാണ് നമ്മുടെ ഓപ്ഷൻസിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്.
[6:29]നമുക്ക് ഫസ്റ്റ് ഓപ്ഷൻ നോക്കാം. എസ് 7ൽ ദേർ ആർ നോ എലമെന്റ്സ് ഓഫ് ഓർഡർ 6 എന്നാണ് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്. ശരിയാണോ? ഓക്കേ എസ് 7ൽ നമുക്ക് 6 ഓർഡറുള്ള എലമെന്റ്സ് കാണാൻ പറ്റില്ലേ? കാണാൻ പറ്റും. നോക്കുക. ഈ ഒരു സ്ട്രക്ച്ചർ എഴുതിയാൽ മതി അല്ലേ? 6 പവർ 1, 1 പവർ 1.
[6:42]ഇല്ലേ? പറ്റില്ലേ? ഈ ഒരു സ്ട്രക്ച്ചറിന്റെ ഈ ഈ ഒരു സ്ട്രക്ച്ചർ എന്താണ്? ഈ സ്ട്രക്ച്ചറിൽ നമുക്ക് നോക്കുമ്പോൾ ഇതിന്റെ ഓർഡർ എന്ന് പറയുന്നത് എത്രയാണ്? 6 ആണ്. ഓക്കേ സോ നമുക്ക് 6 ഓർഡർ എലമെന്റ്സ് എസ് 7ൽ ഇല്ല എന്നുള്ളത് തെറ്റാണ്. സോ എ ഈസ് റോങ്ങ്.
[6:58]എ എന്ന് പറയുന്ന ഓപ്ഷൻ തെറ്റാണ്. ഇനി ബി ഓഫ് ദേർ ആർ നോ എലമെന്റ്സ് ഓഫ് ഓർഡർ 7 ഇൻ എസ് 7. അതും തെറ്റാണ്. കാരണം എന്താണ്? 7 7 പവർ 1 എന്ന് പറഞ്ഞ സ്ട്രക്ച്ചർ എടുത്താൽ പോരെ? ഇതിന്റെ ഓർഡർ എന്താ എത്രയാണ്? 7 ആണ്.
[7:11]ഓക്കേ അപ്പോ നമുക്ക് ബി എന്ന് പറയുന്ന ഓപ്ഷനും തെറ്റി. ഇനി ഡി നോക്കാം. ദേർ ആർ നോ എലമെന്റ്സ് ഓഫ് ഓർഡർ 10. 10 ഓർഡറുള്ള എലമെന്റ്സ് ഇല്ല എന്നാണ് പറഞ്ഞത്. ശരിയാണോ?
[7:20]ഇല്ല നോക്കുക. നമുക്ക് 5 പവർ 1, 2 പവർ 1 ഈ ഒരു സ്ട്രക്ച്ചർ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ സ്ട്രക്ച്ചറിന്റെ ഓർഡർ എന്താണ് വരുന്നത്? 10 ആണ്. ഓർഡർ 10 ആണ്.
[7:31]അതായത് നമുക്ക് എസ് 7ൽ ഇത് എസ് 7ലെ സ്ട്രക്ച്ചറാണല്ലേ? എസ് 7ൽ ഇങ്ങനെയൊരു സ്ട്രക്ച്ചർ കണ്ടുപിടിക്കാൻ പറ്റും. ഓഫ് ഓർഡർ 10. സോ ദേർ ആർ നോ എലമെന്റ്സ് ഓഫ് ഓർഡർ 10 എന്ന് പറഞ്ഞ ഈ ഓപ്ഷൻ എന്ന് പറയുന്നത് തെറ്റാണ്. അതായത് ഡി എന്ന് പറയുന്നത് തെറ്റാണ്. അപ്പോ ഏതായിരിക്കും ശരിയായിട്ട് വരാ? സി ആണ്.
[7:43]ദേർ ആർ നോ എലമെന്റ്സ് ഓഫ് ഓർഡർ 8 ഇൻ എസ് 7. അല്ലേ? എസ് 7ൽ നമുക്ക് 8 ഓർഡറുള്ളത് കണ്ടുപിടിക്കാൻ പറ്റില്ല. കാരണം ഒന്നുകിൽ 8 പവർ 1 അങ്ങനെ എന്തെങ്കിലും എഴുതണം. പക്ഷേ ഇതെന്ന് പറയുന്നത് എസ് 7ലെ സ്ട്രക്ച്ചർ ഒന്നുമല്ല. അപ്പോ അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് എസ് 7ൽ 8 ഓർഡർ എലമെന്റ്സ് ഇല്ല എന്നുള്ളത് ശരിയാണ്.
[7:58]അപ്പോ ഏതാണ് വരുന്നത്? ഓപ്ഷൻ സി ആണ് റൈറ്റ് ആൻസർ. ഓപ്ഷൻ സി.
[8:03]ഇനി അടുത്ത ക്വസ്റ്റ്യൻ. ലെറ്റ് ജി ബി ഫൈനൈറ്റ് ഗ്രൂപ്പ് ഓഫ് ഓഫ് ഓർഡർ 200. ദെൻ ദി നമ്പർ ഓഫ് സബ് ഗ്രൂപ്പ്സ് ഓഫ് ജി ഓഫ് ഓർഡർ 25 ഈസ്. അതായത് നമുക്ക് ജി എന്ന് പറയുന്നത് ഒരു ഫൈനൈറ്റ് ഗ്രൂപ്പാണെന്ന് തന്നിട്ടുണ്ട്. ഓഫ് ഓർഡർ 200.
[8:16]നമ്മളോട് എന്താണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്? 25 ഓർഡറുള്ള എത്ര ഗ്രൂപ്പ്സ് ഉണ്ടെന്നാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. 25 ഓർഡറുള്ള എത്ര സബ് ഗ്രൂപ്പ്സ് ഉണ്ടെന്നാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഈ 25 200നെ എനിക്ക് എങ്ങനെ എഴുതാം? 25 ഇ 8 എന്ന് എഴുതാം അല്ലേ? ദാറ്റ് ഈസ് 5 സ്ക്വയർ ഇ
[8:31]5 സ്ക്വയർ ഇ 2 ക്യൂബ് എന്ന് കിട്ടാം. ഓക്കേ അപ്പൊ നമ്മളോട് ഇവിടെ ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത് 25 ഓർഡറുള്ള എത്ര ഗ്രൂപ്പ്സ് ഉണ്ടെന്നാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. അതായത് നമ്മളോട് ഇവിടെ എൻ 5 എത്രയെന്നുള്ളതാണ് ചോദ്യം. ഓക്കേ എൻ 5 എത്രയെന്നുള്ളതാണ് ചോദ്യം.
[8:52]ഓക്കേ അപ്പോ നമുക്ക് തേർഡ് സൈലോ തിയറം തന്നെ അപ്ലൈ ചെയ്യാം. എൻ 5 കോൺഗ്രുവെന്റ് ടു 1 മോഡലോ 5 ആയിരിക്കണം. ആൻഡ് എൻ 5 എന്ന് പറയുന്നത് 8 നെ ഡിവൈഡ് ചെയ്യണം. എൻ 5 8 നെ ഡിവൈഡ് ചെയ്യണമെന്നുണ്ടെങ്കിൽ എൻ 5ന്റെ പോസിബിലിറ്റീസ് ഏതൊക്കെയാണ്? 1 വരാം, 2 വരാം, 4 വരാം, 8 വരാം.
[9:12]ഇത്രയും പോസിബിലിറ്റീസേ ഉള്ളൂ. ഓക്കേ ഇനി ഈ നമ്പേഴ്സ് ഏതൊക്കെയാണ് ഈ കോൺഗ്രുവെൻസി സാറ്റിസ്ഫൈ ചെയ്യുന്നത് എന്ന് നോക്കണം. ഏതൊക്കെയാണ്? 2 സാറ്റിസ്ഫൈ ചെയ്യോ? ചെയ്യില്ല. 4ഉം ചെയ്യില്ല. 8ഉം ചെയ്യില്ല. ആകെ സാറ്റിസ്ഫൈ ചെയ്യുന്നത് ഏതേ ഉള്ളൂ? ഒരെണ്ണമേ ഉള്ളൂ. അതായത് എൻ 5 എന്ന് പറയുന്നത് 1 ആയിരിക്കും.
[9:31]ഓക്കേ അതായത് ഒരേയൊരു സബ് ഗ്രൂപ്പേ ഉള്ളൂ. ഒരേയൊരു സൈലോ 5 സബ് ഗ്രൂപ്പേ ഉള്ളൂ. വിച്ച് മീൻസ് അതായത് ഒരേയൊരു 25 ഓർഡർ സബ് ഗ്രൂപ്പേ ഈ ജിക്ക് ഉള്ളൂ. സോ ഓപ്ഷൻ ഏതാണ് വരാ? എ. ഓപ്ഷൻ എ ഈസ് ദി റൈറ്റ് ആൻസർ.
[9:47]ഇനി അടുത്ത ക്വസ്റ്റ്യൻ. ദി നമ്പർ ഓഫ് എലമെന്റ്സ് ഓഫ് ഓർഡർ 5 ഇൻ ദി സിമെട്രിക് ഗ്രൂപ്പ് എസ് 5 ഈസ്. അതായത് എസ് 5ൽ 5 ഓർഡർ എലമെന്റ്സ് എത്ര എണ്ണം ഉണ്ടെന്നാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്.
[9:57]നമുക്ക് 5 ഓർഡർ എലമെന്റ്സ് കാണാൻ എന്ത് ചെയ്താൽ മതി? സ്ട്രക്ച്ചർ എഴുതിവെച്ചാൽ മതി അല്ലേ? 5 പവർ 1. ഈ ഒരു സ്ട്രക്ച്ചർ മാത്രമേ അല്ലേ ഉള്ളൂ? വേറെ സ്ട്രക്ച്ചർ ഒന്നുമില്ല 5 ഓർഡറിലുള്ളത്. സോ എത്ര എലമെന്റ്സ് ഉണ്ട്? 5 ഫാക്ടോറിയൽ ബൈ 5 പവർ 1 ഇ 1 ഫാക്ടോറിയൽ. ദാറ്റ് ഈസ് 4 ഫാക്ടോറിയൽ.
[10:13]4 ഫാക്ടോറിയൽ എത്രയാണ്? 4 ഇ 3 ഇ 2 ഇ 1. ദാറ്റ് ഈസ് 12 ഇ 2, 24. 24 എലമെന്റ്സാണ് ഉള്ളത്. സോ ഓപ്ഷൻ സി ഈസ് ദി റൈറ്റ് ആൻസർ. ഓപ്ഷൻ സി.
[10:27]അടുത്ത ക്വസ്റ്റ്യൻ. ദി കാർഡിനാലിറ്റി ഓഫ് ദി സെന്റർ ഓഫ് സെഡ് 12 ഈസ്. സെഡ് 12ന്റെ സെന്റർ ആണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. സെഡ് 12ന്റെ സെന്റർ എന്താണ്?
[10:41]നമുക്കറിയാം സെഡ് 12 എന്ന് പറയുന്ന ഒരു സൈക്ലിക് ഗ്രൂപ്പാണല്ലേ? സൈക്ലിക് ഗ്രൂപ്പാണ്. അതുകൊണ്ട് തന്നെ സെഡ് 12 ഈസ് അബീലിയൻ.
[10:52]അബീലിയൻ എന്ന് പറഞ്ഞാൽ എന്താണ്? ഈ സെഡ് 12ലെ എല്ലാ എലമെന്റ്സും എല്ലാ എലമെന്റ്സും മറ്റ് മറ്റ് എലമെന്റ്സിനോടൊക്കെ കമ്മ്യൂട്ട് ചെയ്യും. അല്ലേ? ഈ സെഡ് അപ്പോ സെന്ററിൽ ഏതൊക്കെ എലമെന്റ്സ് വരും? എല്ലാ എലമെന്റ്സും കമ്മ്യൂട്ട് ചെയ്യുന്നുണ്ട്. ഏത്? സെഡ് 12ലെ എല്ലാ എലമെന്റ്സും മറ്റ് എല്ലാ എലമെന്റ്സിനോടും കമ്മ്യൂട്ട് ചെയ്യുന്നുണ്ട്. സോ സെന്ററിൽ സെന്ററിലുള്ള എലമെന്റ്സ് എന്തന്നെ ആയിരിക്കും? സെഡ് 12 തന്നെ ആയിരിക്കും.
[11:13]അതായത് സെഡ് 12ലുള്ള എല്ലാ എലമെന്റ്സും വരും. അല്ലേ? ഇഫ് ജി ഈസ് അബീലിയൻ സെന്റർ ഓഫ് ജി എന്ന് പറയുന്നത് ജി തന്നെയാണ്. ഓക്കേ സോ സെന്റർ ഓഫ് സെഡ് 12 എന്ന് പറയുന്നത് എന്താണ്? സെഡ് 12 ആണ്.
[11:25]സോ കാർഡിനാലിറ്റി ഓഫ് സെന്റർ ഓഫ് സെഡ് 12 എന്ന് പറയുന്നത് എത്രയാണ്? 12 ആണ്. ഓക്കേ സോ ഓപ്ഷൻ ഡി ആണ് വരാ. ഓപ്ഷൻ ഡി ഈസ് ദി റൈറ്റ് ആൻസർ.
[11:37]അടുത്ത ക്വസ്റ്റ്യൻ. ദി ഓർഡർ ഓഫ് ദി എലമെന്റ് 1, 2, 3, 2, 4, 5, 4, 5, 6 ഇൻ ദി ഗ്രൂപ്പ് എസ് 6 ഈസ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഓക്കേ എസ് 6ലെ ഒരു എലമെന്റാണ് തന്നിരിക്കുന്നത്. ഇതിന്റെ ഓർഡറാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്.
[11:49]ഓക്കേ ഇത് കാണുന്നപാടെ നിങ്ങൾ ഇത് എൽ സി എം എടുത്തിട്ട് ത്രീ എന്നൊന്നും എഴുതരുത്. നമ്മൾ കറക്റ്റ് ആയിട്ട് ഇത് ഏതാണ് പെർമ്യൂട്ടേഷൻ എന്ന് ഫസ്റ്റ് മനസ്സിലാക്കണം. ഏതാണ്?
[11:57]1 എസ് 6ലാണ് അല്ലേ? 1 2 3 4 5 6 നമുക്ക് തന്നിരിക്കുന്ന പെർമ്യൂട്ടേഷൻ ഇങ്ങനെയാണ് 1 2 3 2 4 5 4 5 6 ഓക്കേ സോ നമുക്ക് നോക്കാം. 1 നെ ഇവിടെ 2 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു. 2 നെ 4 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു. 4 നെ 5 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു. സോ 1 നെ എങ്ങോട്ടേക്കാണ് കൊണ്ടുപോകുന്നത്? 5 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു.
[12:20]ഇനി ഇവിടെ 2 നെ 3 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു. 3 നെ ഇവിടെ 3 ലേക്ക് തന്നെയാണ് കൊണ്ടുപോവുന്നത്. ഇവിടെ 3 നെ 3 ലേക്ക് തന്നെയാണ് കൊണ്ടുപോവുന്നത്. സോ 2 നെ എങ്ങോട്ടാണ് കൊണ്ടുപോവുന്നത്? 3 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു. ഇനി 3 നെ 3 നെ നോക്കണം. 3 നെ ഇവിടെ എങ്ങോട്ടാണ്? 3 നെ ഇവിടെ 1 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു. 1 നെ 1 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു. 1 നെ 1 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു. സോ 3 ഗോസ് ടു 1.
[12:35]4 നെയോ? ഇവിടെ 4 നെ 4 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു. 4 നെ 5 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു. 5 നെ 6 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു. ഓക്കേ സോ 4 നെ 6 ലേക്ക് കൊണ്ടുപോവുന്നു. ഓക്കേ അപ്പൊ ഇനി 5 നോക്കണം. 5 നെ ഇവിടെ എങ്ങോട്ടാണ്? 5 നെ 5 ലേക്ക് തന്നെ 5 നെ 2 ലേക്ക് 2 നെ 2 ലേക്ക്. സോ ഫൈനലി 5 ഗോസ് ടു 2. ഇനി 6 നെയോ? 6 നെ 6 ലേക്ക്, 6 നെ 6 ലേക്ക്, 6 നെ 4 ലേക്ക്. ഓക്കേ അപ്പൊ ഫൈനലി എങ്ങോട്ട് കൊണ്ടുപോവും? 6 നെ 4 ലേക്ക്.
[13:03]അപ്പൊ നമുക്ക് ഇതിനെ എങ്ങനെയാണ് എഴുതാറ്? ദെർഫോർ ദിസ് ഈസ് 1, 1 ഗോസ് ടു 5, 5 ഗോസ് ടു 2, 2 ഗോസ് ടു 3, ആൻഡ് 3 ഗോസ് ടു 1. ഓക്കേ അപ്പോ ഇത് സൈക്ലിക്. ഇനി അടുത്തത് ഏതാണ്? 4. 4ഉം 6. 4 ഗോസ് ടു 6, ആൻഡ് 6 ഗോസ് ടു 4. ഓക്കേ അപ്പൊ നമുക്ക് ഈ എലമെന്റിന്റെ ഓർഡർ കണ്ടുപിടിക്കണം. അല്ലേ?
[13:21]ഇതിന്റെ ഓർഡർ എങ്ങനെയാണ് വരാ? എൽ സി എം ഓഫ് ഇതിന്റെ ലെങ്ത് നോക്കണം അല്ലേ? എത്രയാണ്? 4, 2. എൽ സി എം എത്രയാണ്? 4 ആണ്. ഓക്കേ അപ്പൊ എവിടെയാണ് ആൻസർ വരാ? ഓപ്ഷൻ സി ആണ് ആൻസർ വരാ. ഓപ്ഷൻ സി.
[13:37]ഇനി അടുത്ത ക്വസ്റ്റ്യൻ. ലെറ്റ് എഫ് ബി ദി ഫീൽഡ് വിത്ത് 4096 എലമെന്റ്സ്. ദി നമ്പർ ഓഫ് പ്രോപ്പർ സബ് ഫീൽഡ്സ് ഓഫ് എഫ് ഈസ്. ഓക്കേ നമുക്ക് ഫീൽഡ് ഫീൽഡിന്റെ കാർഡിനാലിറ്റി തന്നിട്ടുണ്ട്. അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ ആ ഫീൽഡിനെ എത്ര പ്രോപ്പർ സബ് ഫീൽഡ്സ് ഉണ്ടെന്നാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്.
[14:05]ഓക്കേ നമുക്ക് എത്ര എത്ര ഫീൽഡ്സ് ഉണ്ട്? എത്ര സബ് ഫീൽഡ്സ് ഉണ്ട്? പ്രോപ്പർ സബ് ഫീൽഡ് എന്ന് പറഞ്ഞു കഴിഞ്ഞാൽ നമ്മുടെ ആ എഫ് ഒഴിവാക്കുക. എഫ് ഒഴിവാക്കിയിട്ടുള്ള എത്ര സബ് ഫീൽഡ്സ് ഉണ്ടെന്നാണ് ഈ പ്രോപ്പർ സബ് ഫീൽഡ് കൊണ്ട് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. ഓക്കേ സോ നമുക്ക് ഇവിടെ എത്ര സബ് ഫീൽഡ്സ് ഉണ്ട്?
[14:18]സപ്പോസ് ഇപ്പോ ഒരു ഫീൽഡിന്റെ കാർഡിനാലിറ്റി, ഇഫ് കാർഡിനാലിറ്റി ഓഫ് എഫ് ഈസ് പി പവർ എൻ ആണെങ്കിൽ ദെൻ നമ്പർ ഓഫ് സബ് ഫീൽഡ്സ് ഓഫ് എഫ് എന്ന് പറയുന്നത് ഈസ് ഡി ഓഫ് എൻ. ഓക്കേ ഡിവൈസേഴ്സ് ഓഫ് എൻ ആണ്. അപ്പൊ ഇവിടെ എത്ര എണ്ണമുണ്ട്? ഡി ഓഫ് 12.
[14:46]ഡി ഓഫ് 12, 12 എന്ന് പറഞ്ഞാൽ എങ്ങനെയാണ്? 12 ഈസ് ഈക്വൽ ടു 4 ഇ 3. ദാറ്റ് ഈസ് 2 സ്ക്വയർ ഇ 3. സോ ഡി ഓഫ് 12ന്റെ ഇക്വേഷൻ എന്താണ്? 2 പ്ലസ് 1 ഇ 1 പ്ലസ് 1. ദാറ്റ് ഈസ് 3 ഇ 2, 6.
[15:05]അപ്പൊ 6 സബ് ഫീൽഡ്സ് ആണ് ഈ എഫിനുള്ളത്. ഓക്കേ 6 സബ് ഫീൽഡ്സ് ഉണ്ട്. നമ്മളോട് സബ് ഫീൽഡ്സല്ല ചോദിച്ചത്. പ്രോപ്പർ സബ് ഫീൽഡ്സാണ് ചോദിച്ചത്. അതായത് പ്രോപ്പർ സബ് ഫീൽഡ്സ് എന്ന് പറയുമ്പോൾ എന്താണ്? ഡി ഓഫ് 12 - 1 ആണ്. ഓക്കേ ദാറ്റ് ഈസ് 6 - 1, 5.
[15:19]5 സബ് ഫീൽഡ്സാണ് 5 പ്രോപ്പർ സബ് ഫീൽഡ്സാണ് എഫിനുള്ളത്. ഓക്കേ പ്രോപ്പർ സബ് ഫീൽഡ് എന്ന് പറഞ്ഞാൽ നമ്മുടെ ആ ഫീൽഡ് മെയിൻ ഫീൽഡ് അത് ഒഴിച്ചിട്ടുള്ള ബാക്കി സബ് ഫീൽഡ്സ് എത്ര എണ്ണമാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഓക്കേ അപ്പൊ അതുകൊണ്ട് ഇവിടെ എത്ര എണ്ണമുണ്ട്? 5 എണ്ണമുണ്ട്. ഏതാണ് ഓപ്ഷൻ വരാ? എ ആണ് വരാ. ഓക്കേ ഓപ്ഷൻ എ ഈസ് ദി റൈറ്റ് ആൻസർ.
[15:37]ഇനി അടുത്ത ക്വസ്റ്റ്യൻ. ലെറ്റ് സെഡ് 225 ബി ദി റിംഗ് ഓഫ് ഇന്റീജേഴ്സ് മോഡലോ 225. ഇഫ് എക്സ് ഈസ് ദി നമ്പർ ഓഫ് പ്രൈം ഐഡിയൽസ് ആൻഡ് വൈ ഈസ് ദി നമ്പർ ഓഫ് നോൺ ട്രിവിയൽ യൂണിറ്റ്സ് ഇൻ സെഡ് 225, ദെൻ എക്സ് പ്ലസ് വൈ ഈസ് ഈക്വൽ ടു. നോക്കുക.
[15:52]നമുക്ക് തന്നിരിക്കുന്ന റിംഗ് ഏതാണ്? സെഡ് 225 ആണ് തന്നിരിക്കുന്നത്. എക്സ് എന്ന് പറയുന്നത് എന്താണെന്ന് പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്? നമ്പർ ഓഫ് പ്രൈം ഐഡിയൽസ്. എക്സ് എന്ന് പറയുന്നത് നമ്പർ ഓഫ് പ്രൈം ഐഡിയൽസ് ആണ്. ആൻഡ് വൈ എന്ന് പറയുന്നതോ? വൈ എന്ന് പറയുന്നത് നമ്പർ ഓഫ് നോൺ ട്രിവിയൽ യൂണിറ്റ്സ് ആണ്.
[16:16]നോൺ ട്രിവിയൽ യൂണിറ്റ്സ് ഇൻ സെഡ് 225. നമ്പർ ഓഫ് പ്രൈം ഐഡിയൽസ് ഇൻ സെഡ് 225. ഓക്കേ നമ്മളോട് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത് എക്സ് പ്ലസ് വൈ ആണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഓക്കേ നമ്മുക്ക് എക്സും വൈയും ഫസ്റ്റ് കണ്ടുപിടിക്കണം അല്ലേ? എത്ര പ്രൈം ഐഡിയൽസ് ആണുള്ളത്?
[16:30]നമുക്ക് സെഡ് എന്നിൽ എത്ര പ്രൈം ഐഡിയൽസ് ആണുള്ളത്? സെഡ് എന്നിൽ നമ്പർ ഓഫ് പ്രൈം ഐഡിയൽസും നമ്പർ ഓഫ് പ്രൈം ഐഡിയൽസ് ഇൻ സെഡ് എൻ എന്ന് പറയുന്നത് ഒമേഗ ഓഫ് എൻ ആണ്. ഓക്കേ ഇവിടെ 225 എന്ന് പറയുന്നത് നമുക്ക് എങ്ങനെ എഴുതാം? 225 എന്ന് പറഞ്ഞാൽ 15 സ്ക്വയർ ആണ്. ദാറ്റ് ഈസ് 3 സ്ക്വയർ ഇ 5 സ്ക്വയർ.
[16:55]എത്ര പ്രൈം ഡിവൈസേഴ്സ് ഉണ്ട്? രണ്ടെണ്ണമുണ്ട് അല്ലേ? സോ നമ്പർ ഓഫ് പ്രൈം ഡിവൈസ് പ്രൈം ഐഡിയൽസ് എന്ന് പറഞ്ഞാൽ എത്രയാണ്? ഒമേഗ ഓഫ് 225 ആണ്. ഒമേഗ ഓഫ് 225 ഈസ് എത്രയാണ്? 2 ആണ്. ഓക്കേ വിച്ച് ഇംപ്ലൈസ് എക്സ് ഈസ് 2.
[17:11]ഓക്കേ എക്സ് എന്ന് പറയുന്നത് 2 ആണെന്ന് കിട്ടി. ഇനി വൈ നോക്കണം. എത്ര നോൺ ട്രിവിയൽ യൂണിറ്റ്സ് ആണെന്നാണ് വൈ പറയുന്നത് അല്ലേ? എത്ര നോൺ ട്രിവിയൽ യൂണിറ്റ്സ്. ഫസ്റ്റ് ഓഫ് ഓൾ എത്ര യൂണിറ്റ്സ് ഉണ്ട്? സെഡ് എന്നിൽ എത്ര യൂണിറ്റ്സ് ഉണ്ട്? നമ്പർ ഓഫ് യൂണിറ്റ്സ് നമ്പർ ഓഫ് യൂണിറ്റ്സ് ഇൻ സെഡ് എൻ എത്രെണ്ണമാണ്? ഫൈ ഓഫ് എൻ ആണല്ലേ? ഫൈ ഓഫ് എൻ യൂണിറ്റ്സാണ് സെഡ് എന്നിൽ ഉള്ളത്.
[17:33]നമ്മളോട് ഇവിടെ ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത് നമ്പർ ഓഫ് നോൺ ട്രിവിയൽ യൂണിറ്റ്സ് എന്നാണ്. ട്രിവിയൽ ആയിട്ട് എത്ര യൂണിറ്റാണ്? ഒരു യൂണിറ്റേ സെഡ് എന്ന് ഉള്ളൂ. 1 അല്ലേ? അപ്പോ നമുക്ക് അത് ഒഴിവാക്കുമ്പോൾ എത്ര നോൺ ട്രിവിയൽ യൂണിറ്റ്സ് ഉണ്ട്? ഫൈ ഓഫ് എൻ മൈനസ് 1 നോൺ ട്രിവിയൽ യൂണിറ്റ്സാണ് ഉള്ളത്.
[17:49]അതായത് നോൺ ട്രിവിയൽ യൂണിറ്റ്സ് എന്ന് പറയുന്നത് ഫൈ ഓഫ് 225 മൈനസ് 1 ആണ്. ഓക്കേ ദെൻ വാട്ട് ഈസ് ഫൈ ഓഫ് 225? ഫൈ ഓഫ് 225 എന്ന് പറയുന്നത് 225 ഇ 2 ബൈ 3 ഇ 4 ബൈ 5. ഓക്കേ സോ ഇത് വെട്ടിപ്പോകും. 15 വരും. 60 ഇ 2, 120. അതായത് 120 യൂണിറ്റ്സാണ് സെഡ് 225ലുള്ളത്.
[18:20]120 യൂണിറ്റ്സ് അതുകൊണ്ട് എത്ര നോൺ ട്രിവിയൽ യൂണിറ്റ്സ് ഉണ്ടാവും? 119 അല്ലേ? 120 - 1 നോൺ ട്രിവിയൽ യൂണിറ്റ്സ് ആയിരിക്കും സെഡ് 225ലുള്ളത്. ഓക്കേ സോ വൈ എന്ന് പറഞ്ഞാൽ അപ്പൊ എന്തായിരിക്കും? ദേർഫോർ വൈ ഈക്വൽ ടു 120 - 1, ദാറ്റ് ഈസ് 119.
[18:37]ഓക്കേ വൈ എന്ന് പറയുന്നത് എന്താണ് കിട്ടിയത്? 119 ആണ്. അപ്പൊ എക്സും വൈയും കിട്ടി. നമ്മളോട് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത് എക്സ് പ്ലസ് വൈ ആയിരുന്നു. സോ വാട്ട് ഈസ് എക്സ് പ്ലസ് വൈ? എക്സ് പ്ലസ് വൈ ഈക്വൽ ടു 2 പ്ലസ് 119 ദാറ്റ് ഈസ് 121. ഓക്കേ സോ ഓപ്ഷൻ ഏതാണ് വരാ? ഓപ്ഷൻ ബി ആയിരിക്കും വരാ. ഓപ്ഷൻ ബി ഈസ് ദി റൈറ്റ് ആൻസർ.
[18:55]ഓക്കേ ഇനി നെക്സ്റ്റ് ക്വസ്റ്റ്യൻ. ദി നമ്പർ ഓഫ് റിംഗ് ഹോമോമോർഫിസംസ് ഫ്രം സെഡ് 2 ക്രോസ് സെഡ് 2 ടു സെഡ് 4. സെഡ് 2 ക്രോസ് സെഡ് 2ൽ നിന്ന് സെഡ് 4 ലേക്കുള്ള റിംഗ് ഹോമോമോർഫിസത്തിന്റെ എണ്ണമാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഓക്കേ അത് നമ്മൾ എങ്ങനെയായിരുന്നു ചെയ്തുകൊണ്ടിരുന്നത്?
[19:12]സെഡ് 2 ക്രോസ് സെഡ് 2ൽ നിന്ന് സെഡ് 4ലേക്കുള്ള റിംഗ് ഹോമോമോർഫിസത്തിന്റെ എണ്ണം അല്ലേ? ഇവിടെ 2 റൈസ് ടു എൻ റിംഗ് ഹോമോമോർഫിസം ആയിരിക്കും ഉണ്ടാവുക. വർ എൻ എന്ന് പറഞ്ഞാൽ എന്താണ്? 4, 2 നെ ഡിവൈഡ് ചെയ്യുന്നുണ്ടോ? 4, 2 നെ അങ്ങനെ എത്രെണ്ണം ഡിവൈഡ് ചെയ്യുന്നുണ്ടെന്ന് നോക്കണം. ആ നമ്പർ ആണ് ഇവിടെത്തെ എൻ എന്ന് പറയുന്നത്.
[19:32]ഇവിടെ നമുക്ക് 4 എന്ന് പറയുന്നത് 2 നെ ഡിവൈഡ് ചെയ്യുന്നുണ്ടോ? ഇല്ല. ഇവിടെ ഈ 4 എന്ന് പറയുന്നത് 2 നെ ഡിവൈഡ് ചെയ്യുന്നില്ല. സോ നമുക്ക് ഇവിടെ എൻ എന്ന് പറയുന്നത് 0 ആണ്. വിച്ച് മീൻസ് 2 റൈസ് ടു 0 റിംഗ് ഹോമോമോർഫിസമാണ്. റിംഗ് ഹോമോമോർഫിസാണ് ഉള്ളത്. ദാറ്റ് ഈസ് ഒരേയൊരു റിംഗ് ഹോമോമോർഫിസമേ എവിടെന്ന് എങ്ങോട്ടേക്കുള്ളൂ? സെഡ് 2 ക്രോസ് സെഡ് 2ൽ നിന്ന് സെഡ് 4 ലേക്കുള്ളൂ. ഓക്കേ അപ്പോ ഏതാണ് വരാ? ഓപ്ഷൻ എ ഈസ് ദി റൈറ്റ് ആൻസർ. ഓപ്ഷൻ എ.
[19:56]ഓക്കേ ഇനി അടുത്ത ക്വസ്റ്റ്യൻ. ദി നമ്പർ ഓഫ് മാക്സിമൽ ഐഡിയൽസ് ഇൻ സെഡ് 27. സെഡ് 27ലെ മാക്സിമൽ ഐഡിയൽസിന്റെ എണ്ണമാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്.
[20:04]നോക്കുക. സെഡ് എൻലെ മാക്സിമൽ ഐഡിയൽസ് എത്രയാണ്? നമ്പർ ഓഫ് മാക്സിമൽ ഐഡിയൽസ് നമ്പർ ഓഫ് മാക്സിമൽ ഐഡിയൽസ് ഇൻ സെഡ് എൻ എന്ന് പറയുന്നത് ഒമേഗ ഓഫ് എൻ ആണ്. ഓക്കേ സോ ഇവിടെ 27 എന്ന് പറഞ്ഞാൽ എത്രയാണ്? 3 ക്യൂബ് ആണല്ലേ? സോ വാട്ട് ഈസ് ഒമേഗ ഓഫ് 27? ഇറ്റ് ഈസ് 1.
[20:25]അല്ലേ? സോ എത്ര മാക്സിമൽ ഐഡിയൽ ആയിരിക്കും സെഡ് 27ൽ ഉണ്ടാവുക? ഒരേയൊരു മാക്സിമൽ ഐഡിയലേ ഉള്ളൂ. സോ ആൻസർ ഈസ് ഓപ്ഷൻ ബി. ഓപ്ഷൻ ബി ഈസ് ദി റൈറ്റ് ആൻസർ. ഓക്കേ.
[20:37]അടുത്ത ക്വസ്റ്റ്യൻ. വിച്ച് ഓഫ് ദി ഫോളോവിങ് ഈസ് ആൻ ഇന്റഗ്രൽ ഡൊമൈൻ? ഇതിൽ ഏതാണ് ഇന്റഗ്രൽ ഡൊമൈൻ എന്നാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഏതൊക്കെയാണ് തന്നിരിക്കുന്നത്? സെഡ് 8, സെഡ് 9, സെഡ് 10, സെഡ് 11. നോക്കുക. സെഡ് എൻ എന്ന് പറയുന്നത് സെഡ് എൻ ഈസ് ആൻ ഇന്റഗ്രൽ ഡൊമൈൻ.
[20:50]സെഡ് എൻ ഈസ് ആൻ ഇന്റഗ്രൽ ഡൊമൈൻ. ഇഫ് ആൻഡ് ഒൺലി ഇഫ് എൻ ഈസ് പ്രൈം. ഓക്കേ സെഡ് എൻ എന്ന് പറഞ്ഞാൽ ഇന്റഗ്രൽ ഡൊമൈൻ ആവുന്നത് എപ്പോഴാണ്? എൻ പ്രൈം ആകുമ്പോൾ മാത്രമാണ്. ഓക്കേ അപ്പൊ നമുക്ക് സെഡ് എൻ ഇവിടെ എണ്ണുകൾ പ്രൈം ആണോ എന്ന് മാത്രം നോക്കിയാൽ മതി. ഇവിടെ എയ്റ്റ് ആണ് ഇവിടെ എൻ. സോ ഇതെന്ന് പറയുന്നത് ഇന്റഗ്രൽ ഡൊമൈൻ ആവില്ല. ഇതും ഇന്റഗ്രൽ ഡൊമൈൻ ആവില്ല. ഇതും ഇന്റഗ്രൽ ഡൊമൈൻ ആവില്ല.
[21:24]ഏതാണ് ഉള്ളൂ? സെഡ് 11 മാത്രമേ ഇന്റഗ്രൽ ഡൊമൈൻ ആവുകയുള്ളൂ. സോ ഏതാണ് ആൻസർ വരാ? ഓപ്ഷൻ ഡി ആണ് വരാ. ഓപ്ഷൻ ഡി.
[21:30]അടുത്ത ക്വസ്റ്റ്യൻ ഇതാണ്. ലെറ്റ് എഫ് ബി ഫീൽഡ് ആൻഡ് ദിസ് ഡിനോട്ട് ദി ക്യാരക്ടറിസ്റ്റിക് ഓഫ് എഫ്. ദെൻ വിച്ച് ഓഫ് ദി ഫോളോവിങ് സ്റ്റേറ്റ്മെന്റ് ഈസ് ട്രൂ? നമ്മളോട് ക്യാരക്ടറിസ്റ്റിക് ഓഫ് എഫ് ഫീൽഡിനെ പറ്റി ചോദിക്കുന്ന ചോദിക്കുന്ന ഒരു ക്വസ്റ്റ്യൻ ആണിത്.
[21:44]എന്താണ് ഓപ്ഷൻസ് പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്? ഫസ്റ്റ് ഓപ്ഷൻ എന്താണ്? ക്യാരക്ടറിസ്റ്റിക് ഓഫ് എഫ് ഈസ് ഓൾവേസ് എ പ്രൈം നമ്പർ. ആണോ? ആണെന്നുണ്ടോ? നോക്കുക. ഇപ്പോ നമുക്ക് ആർ. ആർ എന്ന് പറഞ്ഞാൽ എന്താണ്? ഒരു ഫീൽഡാണ്. പക്ഷേ അത് എന്ന് പറയുന്നത് അതിന്റെ ക്യാരക്ടറിസ്റ്റിക് എന്താണ്? സീറോ ആണ്. പ്രൈം നമ്പർ അല്ല. ഓക്കേ സോ എ എന്ന് പറയുന്നത് തെറ്റാണ്.
[22:00]എ എന്ന് പറയുന്നത് തെറ്റാണ്. ആൻഡ് ബി എന്താണ്? നമുക്ക് എക്സാമ്പിൾ ആയിട്ട് ഒരു എഫ് എന്ന് പറയുന്നത് ആറ് എടുത്താൽ മതി. ഓക്കേ ബി ക്യാരക്ടറിസ്റ്റിക് ഓഫ് എഫ് ഈസ് ഓൾവേസ് സീറോ. ഓൾവേസ് സീറോ ആണെന്ന് നിർബന്ധമുണ്ടോ? ഇല്ല. നമുക്കൊരു ഫൈനൈറ്റ് ഫീൽഡ് എടുത്താൽ മതി. ഫൈനൈറ്റ് ഫീൽഡ് നമുക്ക് ഇപ്പോ ഫൈനൈറ്റ് ഫീൽഡ് എന്ന് പറയുമ്പോൾ സെഡ് പിയിൽ എടുത്താൽ മതി അല്ലേ? സെഡ് പിയിൽ എടുത്താൽ മതി. സെഡ് പി എന്ന് പറയുമ്പോൾ അതിന്റെ ക്യാരക്ടറിസ്റ്റിക് എത്രയാണ്? പി ആണ്. ഓക്കേ അപ്പൊ എപ്പോഴും സീറോ ആവണമെന്ന് നിർബന്ധമില്ല.
[22:25]ഓക്കേ ഏതെങ്കിലും ഒരു ഫൈനൈറ്റ് ഫീൽഡ് എടുത്താൽ മതി. ഒരു ഫൈനൈറ്റ് ഫീൽഡ് എടുത്താൽ മതി. ഓക്കേ നമുക്കറിയാം ഫീൽഡ് എന്ന് ഒരു ഫീൽഡ് എന്ന് പറഞ്ഞാൽ ഒന്നുകിൽ അത് ഇൻഫൈനൈറ്റ് ആയിരിക്കും അല്ലെങ്കിൽ ഫൈനൈറ്റ് ആയിരിക്കും. നമുക്കൊരു റിസൾട്ടുണ്ട്.
[22:38]ക്യാരക്ടറിസ്റ്റിക് ക്യാരക്ടറിസ്റ്റിക് ഓഫ് എ ക്യാരക്ടറിസ്റ്റിക് ഓഫ് എ ഫൈനൈറ്റ് ഫീൽഡ് ഈസ് ഓൾവേസ് പ്രൈം. ഓക്കേ ഒരു ഫൈനൈറ്റ് ഫീൽഡിന്റെ ക്യാരക്ടറിസ്റ്റിക് എന്ന് പറഞ്ഞാൽ എപ്പോഴും എന്തായിരിക്കും? പ്രൈം ആയിരിക്കും. ഇനി ഇൻഫൈനൈറ്റ് ഫീൽഡിന്റെ ക്യാരക്ടറിസ്റ്റിക് പ്രൈമും വരാം, സീറോയും വരാം. ഓക്കേ അതായത് അതായത് നമുക്ക് ഒരു ഒരു എഫ് എന്ന് പറഞ്ഞ ഒരു ഫീൽഡ് ആണെങ്കിൽ ക്യാരക്ടറിസ്റ്റിക് ഓഫ് എഫ് എന്ന് പറഞ്ഞാൽ ഒന്നുകിൽ സീറോ വരാ അല്ലെങ്കിൽ പ്രൈം നമ്പർ വരാ.
[23:09]ഓക്കേ സോ ഏതാണ് വരും ഇവിടെ? ഓപ്ഷൻ സി ആയിരിക്കും വരാ. ഓപ്ഷൻ സി ഈസ് ദി റൈറ്റ് ആൻസർ. ഓക്കേ.
[23:16]ഇനി അടുത്ത ക്വസ്റ്റ്യൻ. ഇഫ് യു ഡിനോട്ട്സ് ദി സെറ്റ് ഓഫ് യൂണിറ്റ്സ് ഇൻ ദി റിംഗ് ഓഫ് റാഷണൽ നമ്പേഴ്സ് ക്യൂ ദെൻ യു എന്താണെന്നാണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്. നോക്കുക. യു എന്ന് പറഞ്ഞാൽ എന്താണ്? നമ്മൾ നമ്മളിവിടെ കൺസിഡർ ചെയ്തിരിക്കുന്ന സെറ്റ് ഏതാണ്? റിംഗ് എന്ന് പറയുന്നത് കൺസിഡർ ചെയ്തിരിക്കുന്ന റിംഗ് എന്ന് പറയുന്നത് റാഷണൽ നമ്പേഴ്സാണ് അല്ലേ?
[23:36]റാഷണൽ നമ്പേഴ്സാണ്. യു എന്ന് പറയുന്നത് റാഷണൽ നമ്പേഴ്സ് നമ്പേഴ്സിൽ യൂണിറ്റ്സാണ്. ഓക്കേ യൂണിറ്റ്സിന്റെ കളക്ഷനാണ്. യൂണിറ്റ്സ് എന്ന് പറഞ്ഞാൽ എന്താണ്? ഇൻവേഴ്സ് വേണം അല്ലേ? ഇൻവേഴ്സുള്ള എലമെന്റ്സിനെയാണ് നമ്മൾ യൂണിറ്റ്സ് എന്ന് പറയുന്നത്. ഓക്കേ അപ്പൊ നമുക്ക് യൂൽ ഏതൊക്കെ എലമെന്റ്സിനാണ് ഇൻവേഴ്സുള്ളത്? അതായത് ഈ റാഷണൽ നമ്പേഴ്സ് റാഷണൽ നമ്പേഴ്സിൽ യൂണിറ്റ്സായിട്ടുള്ള ഏതൊക്കെ എലമെന്റ്സാണ് ഉള്ളത്?
[23:54]എല്ലാ നോൺ സീറോ എലമെന്റ്സിനും ഇൻവേഴ്സില്ലേ? റാഷണൽ നമ്പേഴ്സിന്റെ റിംഗ് കൺസിഡർ ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ എല്ലാ നോൺ സീറോ എലമെന്റ്സിനും എന്തുണ്ട്? ഇൻവേഴ്സുണ്ട്. അതായത് എല്ലാ നോൺ സീറോ എലമെന്റ്സും എന്താണ്? യൂണിറ്റ്സാണ്. സോ ഏതാണ്? യു കൺസിസ്റ്റ് ഓഫ് ഓൾ നോൺ സീറോ എലമെന്റ്സ് ഓഫ് ക്യൂ എന്ന് പറയുന്ന മാത്രമാണ് ശരി. യു ഈക്വൽ ടു വൺ യു ഈക്വൽ ടു വണ്ണും വൺ ടു ഒക്കെ ഇതിലുണ്ട്. ഓക്കേ അതായത് യു എന്ന് പറയുന്ന ഈ സെറ്റിലുണ്ട് പക്ഷേ യു എന്ന് പറഞ്ഞ സെറ്റ് എക്സാക്ട്ലി ഇതല്ല.
[24:21]വണ്ണും അല്ല 1 2ഉം അല്ല. യു എന്ന് പറഞ്ഞാൽ എംപ്റ്റിയും അല്ല. ഓക്കേ സോ ഇതൊക്കെ തെറ്റാണ്. ഓപ്ഷൻ ഡി ആണ് റൈറ്റ് ആൻസർ. ഓപ്ഷൻ ഡി ഈസ് ദി റൈറ്റ് ആൻസർ. ഓക്കേ.
[24:32]ലാസ്റ്റ് ക്വസ്റ്റ്യൻ ഇതാണ്. ലെറ്റ് ഐ ഈക്വൽ ടു സെറ്റ് ഓഫ് ഓഫ് മാട്രിക്സ് എ സീറോ ബി സീറോ ബി ദി സബ് റിംഗ് ഓഫ് ദി റിംഗ് എം 2 ഓഫ് സെഡ് വർ എം 2 ഓഫ് സെഡ് ഡിനോട്ട് ദി സെറ്റ് ഓഫ് ഓൾ 2 ബൈ 2 മാട്രിക്സ് ഹൂസ് എൻട്രീസ് ആർ ഇന്റീജേഴ്സ് വിച്ച് ഓഫ് ദി ഫോളോവിങ് ഈസ് ട്രൂ? ഓക്കേ നമ്മളോട് എന്താണ് ചോദിച്ചിരിക്കുന്നത്? തന്നിരിക്കുന്ന ഐ എന്ന് പറയുന്നത് ഐഡിയൽ ആണോ? റൈറ്റ് ഐഡിയൽ ആണോ? ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയൽ ആണോ എന്നുള്ളതൊക്കെയാണ് ചോദ്യം. ഓക്കേ അപ്പോ നമുക്ക് നോക്കാം.
[24:54]ഫസ്റ്റ് റൈറ്റ് ഐഡിയൽ എന്ന് പറഞ്ഞാൽ എന്താണ്? വാട്ട് ഈസ് റൈറ്റ് ഐഡിയൽ? എ സബ്സെറ്റ് എ ഓഫ് ആർ ഈസ് എ റൈറ്റ് ഐഡിയൽ ഇഫ് എ അണ്ടർ അഡിഷൻ അണ്ടർ അഡിഷനിൽ എ എന്തായിരിക്കണം? സബ് ഗ്രൂപ്പ് ആയിരിക്കണം. ഇസ് എ സബ് ഗ്രൂപ്പ് ഓഫ് ആർ പ്ലസ് ആൻഡ് ഫോർ എവരി ആർ ബിലോങ്സ് ടു ആർ, എ ആർ ബിലോങ്സ് ടു ഐ ആയിരിക്കണം. ഓക്കേ വർ എ ബിലോങ്സ് ടു എ.
[25:40]ഓക്കേ അതായത് എന്താണ്? ഒരു റിംഗ് ഉണ്ട് ആറ് ഉണ്ട്. ഓക്കേ അതിന്റെ ഒരു സബ്സെറ്റ് എ ഉണ്ട്. ഈ എ എന്ന് പറയുന്നത് ഈ ആറ് ഈ റിംഗ് ആറിന്റെ ഐഡിയൽ ആണെന്ന് പറയുന്ന റൈറ്റ് ഐഡിയൽ ആണെന്ന് പറയണമെന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഇവിടെന്ന് ഞാൻ ഒരു ആറും ഇവിടെന്നുള്ള ഞാൻ ഒരു എ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ ഇതിൽ എ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഇത് രണ്ടും കൂടെ ഓപ്പറേറ്റ് ചെയ്ത് ഓപ്പറേറ്റ് ചെയ്ത് കിട്ടുന്ന എ ആർ. ഓക്കേ അതായത് റൈറ്റ് സൈഡിൽ ആറ് വെച്ചിട്ട് മൾട്ടിപ്ലൈ ചെയ്യുക.
[25:59]ഓക്കേ അപ്പൊ ആ കിട്ടുന്ന എ ആർ എന്ന് പറയുന്നത് എവിടെ ഉണ്ടായിരിക്കണം? ഈ എയിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം. വിച്ച് മീൻസ് അതെന്താണ്? ഒരു അബ്സോർപ്ഷനാണ് അവിടെ നടക്കുന്നത്. അല്ലേ? ഈ പുറത്തുള്ള എല്ലാ എലമെന്റ്സിനെയും ഈ എ വെച്ചിട്ട് ഇവിടെയുള്ള എലമെന്റ്സ് എയിലുള്ള എലമെന്റ്സ് വെച്ചിട്ട് ഓപ്പറേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ എല്ലാ ഈ എയിലേക്ക് തന്നെ വലിച്ചെടുക്കുന്നുപോലെ. ഓക്കേ അത് അബ്സോർപ്ഷനാണ് ഇവിടെ നടക്കുന്നത്. ഓക്കേ അപ്പൊ അതാണ് ഈ ഐഡിയലിന്റെ ഒരു പ്രത്യേകത. ഓക്കേ അപ്പൊ നമ്മളോട് ഇവിടെ ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയൽ ആണോ റൈറ്റ് ഐഡിയൽ ആണോ എന്ന് നമുക്ക് ഫസ്റ്റ് ചെക്ക് ചെയ്യാം. ഓക്കേ.
[26:47]ഇനിയിപ്പോ ഇതാണ് റൈറ്റ് ഐഡിയലിന്റെ ഡെഫിനിഷൻ. ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയൽ ആണെങ്കിൽ എന്താണ് വ്യത്യാസം? ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയൽ ആണെങ്കിൽ ഈ പറഞ്ഞ കാര്യങ്ങളൊക്കെ സെയിമാണ്. ആൻഡ് ഇവിടെ മാത്രമാണ് വ്യത്യാസം വരുന്നത്. എന്തായിരിക്കും? എ ആർ ബിലോങ്സ് ടു ഐക്ക് പകരം എന്തായിരിക്കും വരാ? ആറ് ഐ അല്ല ഇവിടെ എ അല്ലേ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്. എ ആർ ബിലോങ്സ് ടു എ ആയിരിക്കും. ഓക്കേ അപ്പൊ നമുക്ക് ഇവിടെ ഐ ചെക്ക് ചെയ്യാൻ തന്നിരിക്കുന്ന ഐ എന്ന് പറയുന്ന ഈ ഒരു കളക്ഷനാണ്. അപ്പൊ നമുക്ക് ഫസ്റ്റ് ഇത് ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയൽ ആണോന്ന് നോക്കാം. ഓക്കേ ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയൽ ആണോന്ന് നോക്കാൻ വേണ്ടിയിട്ട് ഞാൻ എനിക്ക് എന്ത് ചെയ്യണം? റിംഗിനെ അതായത് റിംഗിലെ ഒരു ജനറൽ എലമെന്റ് എടുത്ത് ലെഫ്റ്റിൽ മൾട്ടിപ്ലൈ ചെയ്യണം. എനിക്ക് ഞാൻ ജനറൽ ആയിട്ട് ഒരു എലമെന്റ് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ സം എ1, ബി1, സി1, ഡി1 ഇങ്ങനെ എടുത്തു. എ സീറോ, ബി സീറോ. ഓക്കേ ഇത് രണ്ടും കൂടെ ഞാൻ ഓപ്പറേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ എനിക്ക് എന്ത് കിട്ടണം?
[27:50]ഇവിടെത്തെ എലമെന്റ് ഈ ഒരു ഫോർമുലയുടെ എലമെന്റ് കിട്ടുകയാണെങ്കിൽ എന്തായിരിക്കും? ഈ തന്നിരിക്കുന്ന ഈ ഐ എന്ന് പറയുന്നത് എന്തായിരിക്കും? ഐഡിയൽ ആയിരിക്കും. ഇല്ലാന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഐ മീൻ ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയൽ ആയിരിക്കും. ഇല്ലാന്നുണ്ടെങ്കിൽ ആയിരിക്കില്ല. ഓക്കേ അപ്പൊ നമുക്ക് നോക്കാം. എന്താണ്? ഇത് ഫസ്റ്റ് ഓപ്പറേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ എ 1, എ പ്ലസ് ബി 1, ബി അല്ലേ? എ 1, എ പ്ലസ് ബി 1, ബി. സീറോ വരും. സി 1, എ പ്ലസ് ഡി 1, ബി. അടുത്ത ഓപ്പറേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ എന്ത് വരും? സീറോ വരും. നോക്കുക.
[28:09]ഇവിടെ നമുക്ക് ഐയിലത്തെ ഒരു എലമെന്റിന്റെ ഫോം തന്നെയല്ലേ കിട്ടിയത്? ഈ ഈ രണ്ട് എൻട്രീസ് ഇന്റീജേഴ്സ് ആയിരിക്കണം അല്ലേ? ഈ എൻട്രീസ് ഇന്റീജേഴ്സ് ആയിരിക്കോ? ആയിരിക്കും. കാരണം എന്താണ്? നമ്മുടെ റിംഗ് എന്ന് പറയുന്നത് എന്താണ്? എം 2 ഓഫ് സെഡ് ആണല്ലേ? അതായത് അവിടെത്തെ എൻട്രീസ് എന്ന് പറയുന്നത് ഇന്റീജേഴ്സ് ആണ്. അതായത് ഇവിടെ ഞാൻ എടുത്തിരിക്കുന്ന എല്ലാം ഇന്റീജേഴ്സ് ആണ്. ഇത് രണ്ടും ഇന്റീജേഴ്സ് ആണ്. ഇത് രണ്ടും ഇന്റീജേഴ്സ് ആഡ് ചെയ്തു കഴിഞ്ഞാലും ആ ഇന്റീജേഴ്സ് ആഡ് ചെയ്തു കഴിഞ്ഞാലും റിസൾട്ടിംഗ് ആയിട്ട് കിട്ടുന്നത് ഇന്റീജർ തന്നെ ആയിരിക്കും. സോ ഈ രണ്ട് എലമെന്റ്സും എവിടെയാണ്? ബിലോങ്സ് ടു സെഡ് തന്നെയാണ്. ഓക്കേ സോ ഇതെന്ന് പറയുന്നത് എവിടെയുണ്ട്? ദിസ് ബിലോങ്സ് ടു ഐ. വിച്ച് മീൻസ് ഐ എന്ന് പറയുന്നത് എന്താണ്? ഐ ഈസ് എ ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയൽ. ഇസ് എ ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയൽ. ഇനി റൈറ്റ് ഐഡിയൽ ആണോ എന്ന് ചെക്ക് ചെയ്യാൻ വേണ്ടിയിട്ട് നമുക്ക് തിരിച്ച് നോക്കണം അല്ലേ? അതായത് ഒരു ജനറൽ ആയിട്ടുള്ള ഒരു റിംഗിലെ എലമെന്റ് എടുത്തിട്ട് മൾട്ടിപ്ലൈ ചെയ്തു നോക്കണം. എ 1, ബി 1, സി 1, ഡി 1. ഓക്കേ ഞാൻ ഇത് മൊത്തത്തിൽ മൾട്ടിപ്ലൈ ചെയ്യുന്നില്ല.
[29:00]എനിക്ക് ഈ ഒരു രണ്ട് എൻട്രീസ് സീറോ വരുന്നുണ്ടോ എന്ന് നോക്കിയാൽ മതി. ഏതെങ്കിലും ഒരു എൻട്രി സീറോ വരുന്നില്ല എന്നുണ്ടെങ്കിൽ എനിക്ക് അപ്പൊ തന്നെ പറയാം. ഇത് ഐഡിയ റൈറ്റ് ഐഡിയൽ ആണോ അല്ലയോ എന്നൊക്കെ. ഓക്കേ സോ ഞാൻ ഇത് മൾട്ടിപ്ലൈ ചെയ്യുമ്പോൾ എനിക്ക് എന്ത് വരുന്നു? എ, ബി 1. എ, ബി 1 പ്ലസ് സീറോ, ഡി 1. അതായത് എ, ബി 1 ആണ് ഇവിടെ കിട്ടിയത്. ഓക്കേ ഇവിടെ എ യോ, ബി 1 ഓ സീറോ ആവാത്ത ആകാത്ത ഞാൻ എ യും ബി 1ഉം ആണ് എടുക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഈ എ ബി 1 എന്ന് പറയുന്നത് എന്താവില്ല? സീറോ ആവില്ല.
[29:26]സോ ഇത് എന്ന് പറയുന്നത് എവിടെ വരില്ല? ഐയിൽ വരില്ല. വിച്ച് ഇംപ്ലൈസ് ഐ ഈസ് നോട്ട് എ റൈറ്റ് ഐഡിയൽ. ഐ എന്ന് പറയുന്നത് എന്തല്ല? റൈറ്റ് ഐഡിയലല്ല പക്ഷേ ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയലാണ്. ഓക്കേ രണ്ടും ആണെങ്കിൽ നമുക്ക് ഐഡിയൽ ആണെന്ന് പറയാൻ പറ്റുകയുള്ളൂ. ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയലും റൈറ്റ് ഐഡിയലും ആണെങ്കിൽ ആണ് നമുക്ക് ഐഡിയൽ ആണെന്ന് പറയാൻ പറ്റുകയുള്ളൂ. സോ ഇവിടെ ഏതാണ് ഓപ്ഷൻ വരാ? ഐ ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയലാണ് പക്ഷേ റൈറ്റ് ഐഡിയലല്ല. ഐ ലെഫ്റ്റ് ഐഡിയലാണ് റൈറ്റ് ഐഡിയലല്ല. ഓപ്ഷൻ ബി ആണ് റൈറ്റ് ആൻസർ. ഓക്കേ ഓപ്ഷൻ ബി. ഓക്കേ താങ്ക് യൂ.
