[0:00]Вітаю вас. От ми і починаємо вивчати шкільну математику і сьогодні поговоримо про похідну. Взагалі, похідна - це одна із найулюбленіших моїх тем, оскільки саме в цій темі за допомогою простих елементарних формул можна розв'язувати ось такі страшенні приклади. Ну але до цього ми повернемося в наступному уроці, а сьогодні лише вам розповім про те, що таке похідна, навіщо вона потрібна та звідки береться формула знаходження похідної. Отож, поїхали.
[0:31]Значить, по класиці розпочнемо з формули для знаходження похідної. Похідна - це границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямої до нуля. Якщо ви зрозуміли написане, то можете сміливо вимикати це відео та йти займатися своїми справами. Якщо ні, то давайте розбиратися. Значить, це визначення, яке я тільки-но проговорив, можна сказати дещо іншими словами. Похідна функції в точці x0 - це швидкість зміни цієї функції в точці x0. Я сподіваюся, що стало трішки простіше, а для кращого розуміння розглянемо конкретний приклад.
[1:23]Значить, що тут нарисовано? Знизу ми бачимо координатну пряму, яку будемо вважати за дорогу, і на нульовій позиції стоїть деякий автомобіль, нехай це буде Жигуль. А зверху у нас нарисована система координат SТ, у якій зображена траєкторія руху цього Жигуля. Якщо хтось не дуже розуміє, що тут нарисовано, то дивіться: при Т дорівнює 1 Жигуль перебуває на позиції 20, тобто тут. При Т дорівнює 3, він перебуває на позиції 50, тобто вже ось тут. Що мається на увазі? За допомогою цієї траєкторії ми можемо відслідковувати, на якій координаті перебував наш Жигуль у певний момент часу. І що нас просять зробити? Нас просять знайти швидкість нашого Жигуля через 3 секунди після початку руху, тобто в ось цій точці. Ви можете зараз сказати: чувак, ми прийшли сюди дивитися відео про похідну, а ти нам втираєш про якусь швидкість. Не спішіть, любі друзі, ми дійдемо і до похідної. Отож, як ми можемо вирішити це завдання? Ну, завжди потрібно відштовхуватися від найпростішого, а найпростіше, що ми знаємо про швидкість - це формула її знаходження. З 7 класу ми приблизно знаємо, що V - це дельта S поділити на дельта Т. Усі важливі формули я буду записувати в рамочках. Як ми можемо це застосувати на нашому рисунку, на нашій системі координат? Ми можемо взяти який-небудь інтервал, взяти з нього дані і підставити їх, власне, у формулу. Пропоную так і зробити. Нехай ми зараз розглянемо проміжок від 1 до 5 секунди. І на цьому проміжку ми визначаємо все, що необхідно нам для підстановки в нашу формулу, тобто дельта S та дельта Т. Дельта, для тих, хто забув, або не знав, я нагадаю, що дельта - це різниця, різниця кінцевого та початкових показників. Так, дельта S у даному випадку чому дорівнює? При Т дорівнює 1 Жигуль перебуває на позиції 20.
[3:35]А при Т дорівнює 5 він перебував на позиції 70. Отож, дельта S дорівнює чому? 70 - 20 - це 50. Тому так і записуємо: V1 дорівнює дельта S: 70 - 20 - 50. Дельта Т у нас дорівнює різниця в часі, різниця між показниками часу: 5 - 1 - це 4. Тоді швидкість дорівнює 12,5.
[4:04]Одиниць вимірювання я вказувати не буду. Але, я думаю, що ви розумієте, що на деяких ділянках Жигуль рухався швидше, а на деяких повільніше і тому рух був нерівномірним. І ми не можемо з упевненістю сказати, що при Т дорівнює 3 у нього була така швидкість. Що ми можемо зробити для збільшення точності наших обчислень? Ми можемо взяти і цей проміжок зменшити, тоді у нас точність буде однозначно вищою. Робимо це.
[4:32]Розглядаємо проміжок від 2 до 4 секунди і на цьому проміжку визначаємо дані, які нам потрібні для формули. Дельта S. При Т дорівнює 2, він перебував на позиції 40. При Т дорівнює 4, він перебував на позиції 60. 60 - 40 - це 20. Дельта Т: 4 - 2 - 2. Тоді швидкість 10. Як ви бачите, швидкості наші відрізняються, це пов'язано з тим, що ми розглядали різні проміжки. Для того, аби ще збільшити нашу точність, ми можемо знову зменшити цей проміжок. Пропоную це ще раз зробити і ми зараз розглянемо проміжок від 2,5 до 3,5, хай буде, секунд. Тоді V3.
[5:20]Дельта Т буде 1, тому що 3,5 - 2,5 - буде 1. Шукаємо зараз дельта S. При 2,5 Жигуль перебував приблизно на позиції 45. При 3,5 він перебував приблизно на позиції, хай буде, 55. Тоді 55 - 45 - буде 10. Так вийшло, що в нас V2 і V3 співпали, але це випадковість. Моя ідея полягала в чому? Моя ідея полягала в тому, щоб донести до вас, що найбільша точність, точніше в тому, що точність буде збільшуватися по мірі того, як ми будемо зменшувати наш проміжок, який ми розглядаємо. У нас спочатку дельта Т було 4 секунди, потім стало 2 секунди, тепер 1. І це потрібно, і це зменшення потрібно було робити до тих пір, поки це взагалі можливо. Тобто, ми зменшуємо, зменшуємо, зменшуємо і в кінці кінців ми дійдемо до того, що дельта Т стане настільки нескінченно малою величиною, що її можна, фактично, прирівняти до нуля. Тобто, 0,0000. Тут ще безкінечна кількість разів написані нулі і тут в кінці одиничка. І ось дельта Т - різниця між показниками часу настільки мізерна мала, що нею фактично можна нехтувати.
[7:23]А тепер увага. А тепер критично важливий момент, оскільки потрібно зрозуміти, навіщо ми стільки часу, стільки уваги приділили швидкості. Я нагадаю вам, що похідна - це швидкість зміни функції. А в нашому випадку функцією є координата. Тобто швидкість зміни координати - це швидкість руху нашого Жигуля. Тобто в даному випадку швидкість руху Жигуля та похідна - це одне і те саме. Тому ми можемо зараз взяти тут витерти і написати S' від Т.
[8:00]Тобто, ми знайшли формулу для знаходження швидкості нашого Жигуля в якій-небудь точці. І це, так так вийшло, що це дорівнює похідній цієї функції. Я сподіваюся, що стало зрозуміло, і тому ми можемо зараз написати наступну формулу. S' від Т дорівнює границя відношення приросту S до приросту Т за умови, що приріст Т прямої до нуля.
[8:34]Ще раз. Похідна - це швидкість зміни функції, а в нашому випадку функціює координата. А швидкість зміни координати - це швидкість руху Жигуля, тобто швидкість руху Жигуля та похідна в даному випадку - це одне і те саме. Та формула для їх знаходження одна і та сама. А тепер я візьму і зроблю невеликий фокус. Я напишу замість Т - X, а замість S напишу F від X. В принципі, нічого не змінилося, в такому вигляді ми набагато частіше бачимо системи координат. І що я повинен зараз зробити? Я повинен підлаштувати нашу формулу під нові позначення. Тому я пишу наступним чином: S' від Т було S', стало F' від X, дорівнює границя відношення дельта F від X до дельта X за умови, що дельта X прямує до нуля.
[9:42]Це вже дуже схоже на те, що ми бачили на початку нашого уроку, дуже схоже на цю формулу. І я хочу вам сказати, що ця формула і ця - це абсолютно одне і те саме. Просто тут чисельник, точніше тут чисельник трішки відозмінений, він розписаний. Тому що дельта F від X можна записати у вигляді ось такого виразу. От і все. Протягом цього уроку ми з вами поступово методом логічних міркувань перейшли від базової фізичної формули, яку знали ще спочатку сьомого класу, до формули знаходження похідної, яку я записав на початку уроку. В школах навряд чи хто-небудь взагалі пояснює похідну на прикладі всяких автомобілів, траєкторій руху і так далі. Але це я зробив з тією метою, щоб якнайкраще показати, що таке похідна та звідки береться формула її знаходження. Отож, підсумуємо, що таке похідна? Похідна - це швидкість зміни функції. Навіщо вивчати похідну? Похідна тісно пов'язана з багатьма розділами математики, якщо ви в похідній не розберетесь, то і в цих розділах розібратись не зможете. Адже без похідної ви не зможете ні складати рівнянь дотичних до графіка функції, ні з'ясовувати, де графік функції зростає, де спадає, де опуклий вгору, де вниз, і так далі, і так далі. Тобто, похідна - це одне з таких фундаментальних понять математики і в ньому розібратися обов'язково потрібно. І третє питання, яке у нас стояло на повістці дня: звідки береться формула знаходження похідної? Ось тут наглядний алгоритм, де ми крок за кроком поступово методом логічних міркувань дійшли від формули сьомого класу до формули 10-го класу. В наступному уроці ми з вами навчимося знаходити похідні від різних функцій. Ну, а тепер я кажу вам до побачення. Вчіть математику, не хворійте, будьте здорові та всього найкращого.
