[0:04]In questa lezione parleremo del campo dei numeri complessi. L'introduzione dei numeri complessi è dovuta al fatto che nel campo dei numeri reali R ci sono delle equazioni che non hanno soluzione. L'esempio più classico è l'equazione x^2 + 1 = 0. il che vorrebbe dire x^2 = -1, ma naturalmente se x è un numero reale x^2 deve essere maggiore o uguale di 0 e non può essere uguale a -1. Allora, quello che si fa è introdurre formalmente un simbolo, che viene indicato tipicamente con la lettera I. Questo I è detto l'unità immaginaria. E questo simbolo ha la proprietà che i^2 = -1, quindi risulta essere una soluzione dell'equazione x^2 = -1. Oh naturalmente questo oggetto, questo simbolo I non è un numero reale. Una volta introdotto questo simbolo, poi si considerano delle espressioni del tipo a + i * b, dove a e b sono due numeri reali. Allora questa a è detta la parte reale, mentre b, che è il numero reale che moltiplica questo simbolo i, è detto la parte immaginaria. L'insieme di tutte le espressioni del tipo a + ib è precisamente l'insieme dei numeri complessi. Quindi un numero complesso z = a + ib corrisponde a una coppia di numeri reali (a,b).
[2:08]Questo significa che potete immaginare l'insieme C dei numeri complessi come un insieme di coppie di numeri reali, che indicheremo con R^2. Quindi vedete la corrispondenza è quella che al numero complesso z scritto nella forma a + ib associa la coppia di numeri reali a e b. Con questi numeri complessi si possono fare le operazioni, la somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione, che si fanno anche con i numeri reali. Ora nel caso dell'addizione e sottrazione le cose sono molto molto semplici. Consideriamo il caso della somma di due numeri complessi. Prendiamo z1 che sarà della forma a1 + i b1 e un altro numero z2 scritto nella forma a2 + i b2. Quando li sommiamo succede semplicemente che le parti reali a1 e a2 si sommano fra di loro. E poi formalmente raccogliendo a fattor comune questo simbolo I, troviamo che anche le parti immaginarie b1 e b2 si sommano fra di loro. In altre parole, in termini di coppie di numeri reali a1 b1 e a2 b2, la somma si fa semplicemente componente per componente. Quindi la la prima componente a1 si somma con la prima componente a2, eccolo qui, e la seconda componente b1 si somma con la seconda componente b2. Eccolo qui. La stessa cosa avviene per la differenza di due numeri complessi. Nel caso del prodotto di due numeri complessi le cose sono un po' più complicate perché quando voi moltiplicate (a1 + i b1) * (a2 + i b2) e cominciate a sviluppare questo prodotto, trovate a1 * a2, poi trovate questo a1 che moltiplica i b2, quindi i a1 b2. Poi i b1 che moltiplica a2, eccolo qui. E poi però trovate anche i b1 che moltiplica i b2. A questo punto trovate i * i che vi dà i^2.
[4:36]Però ricordiamo la proprietà fondamentale di questo simbolo I e cioè i^2 è uguale a -1. i^2 è uguale a -1 e quindi ogni volta che noi nei nostri calcoli troviamo i^2 lo sostituiamo con -1. Il che vuol dire che questo termine i^2 b1 b2 ritorna reale, ma acquisisce il segno meno. E quindi troviamo come parte reale a1 a2, eccolo qui, e - b1 b2. E come parte immaginaria troviamo a1 b2, eccolo qui, e a2 b1. Eccolo qui. E quindi, diciamo, se pensate in termini di coppie di numeri reali, allora la la formula che definisce il prodotto è un po' complicata ed è questa che sto riquadrando adesso.
[5:41]Nel caso del quoziente di due numeri complessi z1 / z2, troviamo un'espressione del tipo (a1 + i b1) / (a2 + i b2) che non è molto standard, perché, dicevamo, i numeri complessi sono scritti nella forma parte reale + i per la parte immaginaria, non diviso un altro numero complesso con la i a denominatore. Bisogna cercare di sistemare le cose. Allora per fortuna questa osservazione ci permette di risolvere il problema, perché notate che quando voi fate il prodotto della somma di due numeri a + b per la loro differenza, trovate a^2 - b^2. Questo è uno dei prodotti notevoli che si studiano a scuola. Il, diciamo la differenza di due quadrati si decompone nel prodotto della somma a + b per la loro differenza, mentre alla scuola superiore avevamo visto che la somma di due quadrati a^2 + b^2 non si può decomporre. Usando i numeri complessi invece anche la somma di due quadrati si decompone, perché in questo caso, se voi provate a fare il prodotto (a + i b) * (a - i b), come adesso vedremo, e scoprite che trovate esattamente a^2 + b^2, cioè questo prodotto diventa reale, non c'è più la i. Allora possiamo sfruttare questa osservazione per sistemare un po' il calcolo del quoziente. Perché vedete, a questo punto, quello che basta fare è moltiplicare questa frazione per un'altra frazione dove compare a^2, scusate, dove compare a2 - i b2 / a2 - i b2. Quindi sto moltiplicando numeratore e denominatore per la stessa quantità. Ora a numeratore viene questo prodotto, però nel denominatore troviamo a2 * a2, a2^2.
[8:05]Poi c'è anche i b2 * -i b2. Ora i * -i fa -i^2, ma i^2 è uguale a -1, quindi troviamo -(-1), che diventa + e rimane poi +b^2, b2^2. Ok, che è quello che avevo scritto qui sopra. Le parti immaginarie si cancellano, perché troviamo a2 * -i b2, quindi -i a2 b2. Ma poi i b2 * a2, quindi +i b2 * a2, e questi due termini, questo e questo si cancellano. E quindi a denominatore rimane un numero reale che è la somma dei quadrati a2^2 + b2^2. Quindi alla fine il quoziente di due numeri complessi si riesce a scrivere in questo modo: avete intanto una frazione che è un numero reale 1 / (a2^2 + b2^2), poi questa è la parte reale e poi c'è i e quest'altra è la parte immaginaria. Quindi, come vedete, è possibile fare in modo abbastanza semplice le solite quattro operazioni, la somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione anche con i numeri complessi. Il vantaggio, dicevo, del passare dal campo dei numeri reali a quello dei numeri complessi è che adesso noi possiamo risolvere delle equazioni che nel campo dei numeri reali non hanno soluzione. Facciamo un esempio molto semplice. Se io considero questa equazione 2x^2 - x + 2 = 0, dalla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, trovo che la le soluzioni, diciamo, x, le ipotetiche soluzioni x, si scrivono nella forma 1 più o meno la radice quadrata di 1 - 16 / 4. Il problema è che 1 - 16 mi dà un numero negativo e quindi trovo la radice quadrata di -15, che non esiste nel campo dei numeri reali. Ora, passando invece al campo dei numeri complessi, il gioco è fatto, perché -15 diventa semplicemente -1 * 15. La radice quadrata di -1 è questo simbolo che abbiamo chiamato i, e quindi ci rimane i per la radice di 15. Quindi alla fine le due soluzioni nel campo dei numeri complessi sono x, diciamo, 1 e 2, le due soluzioni, 1/4 più o meno i * radice di 15 fratto 4.
[10:50]E questo vale per le equazioni di secondo grado, ma poi, come vedremo, vale in generale per equazioni di grado qualunque. In particolare, vi faccio notare che le due soluzioni trovate hanno esattamente la stessa parte reale, e precisamente 1/4, ma la parte immaginaria cambia segno. Cioè, in una delle due soluzioni la parte immaginaria è +radice di 15 / 4 e nell'altra è -radice di 15 / 4. Ora, come adesso vedremo, questo non è un caso, è un un fenomeno del tutto generale. Però, per poter spiegare bene il perché di questa di questa cosa, conviene introdurre la seguente definizione. Ed è la definizione del complesso coniugato di un numero. Allora, se consideriamo un numero complesso z scritto nella forma a + i b, noi definiamo il suo numero coniugato, il suo complesso coniugato, semplicemente cambiando di segno alla parte immaginaria. Quindi, se z è a + i b, il suo coniugato che si indica con una barra sopra la la lettera che dà il nome al numero, quindi z barra, sarà a - i b. Oh, tra l'altro notate che la uguaglianza che abbiamo scritto prima, ed è precisamente questa qui, ora la possiamo scrivere nella forma z, che è a + i b, per z coniugato, che è a - i b.
[12:53]Che ho riscritto, ho riscritto qua sotto. Oh, naturalmente a^2 + b^2 è un numero reale, visto che è una somma di quadrati della parte reale a e della parte immaginaria b. Tra l'altro, non solo un numero reale, ma un numero reale maggiore o uguale di 0, essendo una somma di quadrati. Ad ogni modo, vediamo adesso quali sono le proprietà di questa operazione di coniugazione, cioè del prendere il coniugato di un numero complesso. Intanto, per quanto riguarda l'addizione, o eventualmente anche la sottrazione, che è la stessa cosa essenzialmente, si verifica immediatamente che considerare prima la somma di due numeri complessi z1 + z2 e successivamente mettere la barra sopra, cioè prendere il complesso coniugato del risultato di questa addizione, è esattamente la stessa cosa che prendere prima il complesso coniugato di z1 e il complesso coniugato di z2 e successivamente fare la loro somma. E lo stesso vale per la sottrazione. Un'analoga proprietà vale anche per il prodotto, anche se adesso è un po' meno ovvia questa uguaglianza, quindi magari proviamo a fare una verifica dettagliata. Allora, cominciamo dal prodotto z1 * z2 e poi complesso coniugato. Allora, questo vuol dire che devo prima considerare il prodotto z1 * z2 e questo l'abbiamo visto poco fa. È scritto qui sopra. Eccolo qui. Questo è il prodotto z1 * z2. Dopo aver fatto il prodotto devo prendere il complesso coniugato, vuol dire semplicemente che al posto di questo al posto di questo più io ci vado a mettere meno.
[15:11]E quindi trovo che il complesso coniugato del prodotto z1 * z2 sarà (a1 a2 - b1 b2) e poi sarà scritto -i (a1 b2 + a2 b1). Che è esattamente quello che ho scritto qui sotto. Ora invece, quello che faccio è prima prendere il coniugato di z1, quindi scrivere a1 - i b1, poi prendere il coniugato di z2, e quindi scrivere a2 - i b2, e successivamente fare i loro prodotto. E qui se fate il calcolo, eh, trovate esattamente la stessa cosa. Trovate (a1 a2 - b1 b2) e qui compare - (a1 per i b2, quindi -i a1 b2) e poi c'è -i b1 * a2, quindi -i b1 * a2. E questa parte è esattamente uguale a quella che è scritta qui sotto, il che mi conferma la validità di questa formula qui. La stessa cosa vale per il quoziente di due numeri complessi, questo però ve lo lascio verificare come esercizio. Cioè se voi fate prima il quoziente z1 / z2 e poi prendete il complesso coniugato, oppure se fate prima z1 coniugato, z2 coniugato e il quoziente lo fate dopo, quindi fate il quoziente dei coniugati, trovate esattamente la stessa cosa. Come ultima cosa, vi faccio notare che può anche capitare che il complesso coniugato z barra rimanga uguale a z. Però questo capita se e solo se z è un numero reale, perché naturalmente dire che z coniugato, cioè a - i b, sia uguale a z, quindi ad a + i b, vuol dire che -b deve essere uguale a +b, e l'unica possibilità è che b sia 0, cioè che la parte immaginaria sia 0 e che quindi z sia un numero reale.
[17:32]Tra l'altro, dalle due uguaglianze z = a + i b e z coniugato = a - i b, si possono anche ricavare delle formule per trovare la parte reale a e la parte immaginaria b. Ad esempio, se io prendo queste due uguaglianze e le sommo membro a membro, dalla parte sinistra dell'uguale trovo z + z barra, e dalla parte destra trovo a + a che fa 2a, perché il +i b si cancella col -i b. Quindi alla fine trovo 2a = z + z coniugato. Ora basta dividere per 2 e scopro che a è uguale a z + z coniugato / 2. E in modo analogo posso ricavare che b è uguale a z - z coniugato / 2i. Per per ricavare b, basterà fare non la somma di questa prima riga più la seconda riga, ma bisognerà fare la differenza della prima riga meno la seconda riga.
[18:43]Ora finalmente, adesso che abbiamo studiato le proprietà di questa operazione di coniugazione, siamo in grado di dimostrare che se io ho un polinomio di grado qualunque a coefficienti reali, quindi un polinomio p(x) di grado n a coefficienti a0, a1, eccetera, che sono dei numeri reali, e se un certo numero complesso alfa è una soluzione dell'equazione p(x) = 0, cioè vuol dire che se io al posto della x sostituisco alfa e calcolo il valore del polinomio p nel numero complesso alfa, trovo 0, allora anche alfa coniugato, alfa barra è una soluzione della equazione p(x) = 0.
[19:40]Che è quello che abbiamo visto prima, nel caso della equazione di secondo grado, dove le due soluzioni erano proprio due numeri complessi coniugati. Uno era 1/4 + i * radice di 15/4 e l'altro era 1/4 - i * radice di 15/4. Allora, perché questo è vero? Beh, immaginiamo che p(alfa) sia 0. Quindi che se io prendo questo polinomio p(x) e al posto di x scrivo alfa, e quindi trovo a0 + a1 * alfa, poi ci sarà a2 * alfa^2, a3 * alfa^3 e così via, fino ad an * alfa^n, questo è esattamente uguale a 0. Allora, quello che posso fare è prendere il complesso coniugato di ambo i membri, il che vuol dire mettere una barra qui sopra e mettere una barra qui sopra lo 0. Ma naturalmente 0 è un numero reale e quindi il complesso coniugato di 0 rimane 0, quindi, diciamo, dalla parte destra dell'uguale rimane 0. Dalla parte sinistra trovo il complesso coniugato di tutta questa somma. Però abbiamo appena dimostrato che il complesso coniugato di una somma di numeri complessi è semplicemente la somma dei vari complessi coniugati. E allora qui possiamo scrivere il complesso coniugato di a0 più il complesso coniugato del prodotto a1 * alfa e così via fino alla fine. Ma ora abbiamo il complesso coniugato di prodotti. Ma anche qui abbiamo visto che il complesso coniugato del prodotto di numeri complessi è il prodotto dei singoli numeri coniugati. E allora possiamo scrivere a0 coniugato, poi a1 barra per alfa barra e così via, fino alla fine an barra per alfa barra elevato alla n. Per finire, ricordiamo che i coefficienti a0, a1, eccetera, sono dei numeri reali. E quindi il loro complesso coniugato non cambia, rimane uguale, cioè il complesso coniugato di a0 rimane a0, perché a0 è reale. Il complesso coniugato di a1 rimane a1, perché a1 è reale, e così via. Ma allora, quello che troviamo qui è semplicemente il polinomio p(x), da cui siamo partiti, dove al posto della x abbiamo sostituito alfa barra, il complesso coniugato di alfa. Quindi se adesso seguite la catena di uguaglianze, abbiamo che questo polinomio è uguale a questo, che è uguale a questo, che è uguale a questo, che alla fine è uguale a 0, ok?
[22:42]E quindi abbiamo scoperto che se p(alfa) è uguale a 0, allora, dopo tutto questo ragionamento, anche p(alfa barra) è uguale a 0. E quindi le soluzioni dell'equazione p(x) = 0 a coefficienti reali vanno, per così dire, a coppie di due numeri complessi coniugati, cioè se alfa è una soluzione, anche alfa barra è una soluzione, vanno sempre a coppie. Oh, tra l'altro, il fatto che le soluzioni vadano a coppie di numeri complessi coniugati vuol dire che se, per caso, la vostra equazione p(x) = 0 ha un numero dispari di soluzioni, l'unica possibilità è che due di questi numeri complessi coniugati in realtà siano uno solo. Faccio un esempio. Se io prendo un'equazione di terzo grado, che deve avere quindi tre soluzioni, due soluzioni potrebbero essere complesse coniugate del tipo a + i b e a - i b. Però la terza soluzione non può essere non reale, perché se fosse una soluzione non reale, ci sarebbe anche la sua complessa coniugata, e quindi alla fine avrei due coppie, cioè avrei quattro soluzioni, ma un'equazione di terzo grado non può avere quattro soluzioni, ne deve avere tre. E allora vuol dire che se due soluzioni sono complesse coniugate, la terza deve essere uguale alla sua complessa coniugata, e quindi deve essere un numero reale. E questo vale non solo per le equazioni di terzo grado, ma vale per tutte le equazioni, tutti i polinomi di grado dispari. Quindi la conclusione è che se io ho un'equazione del tipo un certo polinomio uguale a 0 e quel polinomio ha grado dispari, almeno una delle soluzioni deve necessariamente essere un numero reale. Polinomi di grado pari no. Polinomi di grado pari, l'abbiamo visto prima, un polinomio di grado 2, quindi un'equazione di secondo grado può benissimo avere due soluzioni complesse coniugate, cioè può benissimo non avere alcuna soluzione reale. Oh, per finire, citiamo questo teorema che va sotto il nome di teorema fondamentale dell'algebra. Che è estremamente importante, perché ci dice essenzialmente che una volta che noi abbiamo introdotto il campo dei numeri complessi, non c'è bisogno di inventare degli ulteriori numeri, di insiemi di numeri ancora più grandi del campo dei numeri complessi per risolvere le equazioni. Perché nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni algebriche hanno soluzioni, non solo l'equazione x^2 + 1 = 0, ma tutte le equazioni di secondo grado, ma anche quelle di terzo grado, di quarto grado e così via. Precisamente, allora, questo teorema fondamentale dell'algebra dice la cosa seguente. Se noi consideriamo un polinomio di grado qualunque, diciamo di grado n maggiore o uguale di 1, con dei coefficienti che sono dei numeri complessi qualunque anche loro, allora nel campo dei numeri complessi, questo polinomio p(z) si può sempre scomporre in fattori, cioè si può sempre decomporre in una scrittura di questo tipo. a con n, che è il coefficiente del termine di grado di grado n, di grado massimo, per z - z1, z - z2, z - z3 e così via fino a z - zn. Con determinati numeri complessi z1, z2 fino a zn. Ok, quindi questo vuol dire che se voi considerate una equazione di grado n di questo tipo, p(z) = 0,
[27:21]Allora, da questo termine z - z1 = 0, troviamo che una soluzione è z = z1. Da qui z - z2 = 0, troviamo che una soluzione è z = z2, eccetera, fino ad arrivare a z - zn, e quindi arriviamo fino a trovare z = zn. Quindi ricapitolando, una equazione di grado n di questo tipo nel campo dei numeri complessi ha esattamente n soluzioni. Oh, attenzione, il fatto che abbia esattamente n soluzioni non vuol dire che le soluzioni debbano necessariamente essere tutte distinte. Perché già nel caso delle equazioni di secondo grado, voi sapete che se, per caso, il discriminante dell'equazione di secondo grado, cioè la quantità che trovate sotto la radice quadrata, quando risolvete le equazioni di secondo grado, ok, se quella quantità è uguale a 0, allora le due soluzioni del tipo -b più o meno radice quadrata del discriminante fratto 2a, le due soluzioni coincidono.
[28:42]Perché la radice quadrata diventa 0 e le due soluzioni diventano -b più o meno 0 fratto e così via. Quindi, ripeto, nel campo dei numeri complessi, un polinomio di grado n si annulla esattamente in n valori, z1, z2 fino a zn. Però non è detto che questi valori, che queste soluzioni, che questi zeri del polinomio siano tutti distinti. Potrebbero esserci degli zeri coincidenti. Ora, il fatto che nel campo dei numeri complessi tutti i polinomi di grado n, di qualunque grado, si decompongono in fattori di primo grado, del tipo z - z1 * z - z2 eccetera, si dice in modo abbreviato con la seguente frase. Si dice che il campo dei numeri complessi è un campo algebricamente chiuso. Questa è esattamente la definizione di campo algebricamente chiuso.
