[0:08]Qué tal, amigos? Espero que estén muy bien. Bienvenidos al curso de derivadas. Y ahora hablaremos del concepto de derivada. Para empezar a hablar del concepto de derivada, primero debemos comprender muy bien el concepto de velocidad promedio y de velocidad instantánea. Que algo de eso es de lo que habla la derivada, ¿no? Entonces, primero que todo vamos a tratar de comprender el concepto de velocidad promedio. Entonces, para eso vamos a ver aquí una competencia entre estos dos carros. Estos dos carros están compitiendo a ver cuál llega primero aquí a la meta que, pues, aquí lo observamos que sería 100 m de recorrido. Entonces, los dos carros van a empezar a acelerar, obviamente el cronómetro va a empezar a contar. Como lo vemos, el auto azul está acogiéndole ventaja al auto rojo y en el último segundo, en el segundo número cinco, se observa que el automóvil azul llegó a los 100 m en esos cinco segundos, mientras que el auto rojo, que venía un poco más despacio, recorrió solamente 80 m. Entonces, vamos a hacer a mirar cuál fue la velocidad promedio del auto azul y la velocidad promedio del auto rojo. Para esto vamos a pasar aquí a este gráfico, en el que está el gráfico de espacio contra tiempo. Sí, aquí está el tiempo que duraron, sí, que fueron los dos duraron 5 segundos y el espacio que recorrieron. ¿Por qué es un gráfico de posición contra tiempo? Pues porque la velocidad es el espacio que recorremos en la unidad de tiempo, o en la cantidad de tiempo que duramos recorriendo ese espacio. Por ejemplo, para el automóvil rojo, que el gráfico sería obviamente la línea roja, observamos que duró 5 segundos para llegar a una distancia de 80 m. Entonces, si queremos encontrar la velocidad promedio durante todo el recorrido del automóvil rojo, pues veríamos que recorrió cuánto espacio? 80 m. En cuánto tiempo? En 5 segundos. 80 / 5 da 16 metros por segundo o metros sobre segundo. Mientras que el automóvil azul ya no recorrió 80 m, recorrió 100 m en los mismos 5 segundos. Por eso la velocidad es de 20 m/s. Si observamos algo clave que tenemos que comprender es que entre más velocidad, más inclinada va a estar la línea. Miren que la línea roja, la del carro rojo, que fue el menos veloz, tiene una inclinación un poco menor a la inclinación que tiene la recta o el gráfico de la velocidad del carro azul. Pero si observamos bien, y pauso un momentico, podemos observar que en el primer segundo el automóvil azul todavía no había recorrido 20 m. O sea, si la velocidad hubiera sido siempre la misma, pues en los primeros 20 m había durado 1 segundo, otro segundo, otro segundo, otro segundo y otro para un total de 5 segundos. Pero todos sabemos, obviamente, cuando arrancan los carros, pues llevan una velocidad de cero, van aumentando, digámoslo así, 5 m/s, 10 m/s, sí. O sea, van aumentando su velocidad porque por algo se llama acelerar, ¿no? Están acelerando hasta que, pues, llegan a su máxima velocidad cuando llegan aquí a los 100 m, que sería el final de la carrera, ¿no? Entonces, si hacemos un gráfico un poco mejor de la velocidad, por ejemplo, o del espacio contra el tiempo recorrido por el carro azul, podemos observar que el gráfico más correcto sería este gráfico, ¿sí? Esta parte de atrás no la tengamos en cuenta, ¿sí? Porque aquí, digámoslo así, que llevaba poquita velocidad, va aumentando, aumentando, aumentando y cada vez que a medida que pasa el tiempo aumenta la velocidad. Entonces, el gráfico más correcto de la velocidad sería este gráfico, ¿sí? El gráfico de posición contra tiempo. Hasta el momento hablamos de velocidad promedio, ¿sí? La velocidad promedio del auto azul fue 20 m/s. Pero qué tal si alguien me dijera, sí, pero yo quiero saber cuál es la velocidad que el auto rojo llevaba o el auto azul llevaba cuando llevaba 3 segundos. Obviamente la velocidad no va a ser de 20 m/s. Para esto es para lo que se utiliza el concepto de derivada. Entonces, vamos a aclarar un poco más ese concepto observando este gráfico. Como ya les decía, la derivada me permite encontrar la velocidad en un punto específico, sí, de esta función. Esto se puede llamar una función. Por ejemplo, si yo quisiera hallar la velocidad exacta en el punto dos, ya sabemos la velocidad promedio, ¿no? La velocidad promedio, ya tracé con rojo, pero pues, esta es la velocidad del carro azul. Recordemos que la velocidad promedio en todos estos 5 segundos era de 20 m/s, ¿no? Pero supongamos que yo quiero hallar la velocidad exacta que llevaba cuando había recorrido 2 segundos. Entonces, lo que voy a hacer es lo siguiente: este punto lo voy a llamar el punto X Y. Si ustedes no alcanzan a ver bien aquí, los invito a que coloquen el video en alta definición para que lo puedan ver un poco mejor. Entonces, este punto se llama el punto X Y, y pues, obviamente, querríamos decir que en este caso la X valdría 2, o sea, serían 2 segundos, y la Y sería más o menos que, unos 18 m. Sí, pero recuerden que es porque yo escogí este punto, porque hubiera podido escoger este punto, entonces la X ya sería 2,8 segundos, más o menos, y la Y sería más o menos 32 m. Entonces, por eso le coloqué X Y, porque este punto, o sea, yo voy a calcular en este caso la velocidad en 2 segundos, pero igual podría ser en 3 o en 4 o en 5 segundos, ¿listos? Entonces, la coordenada X, pues, sería la X, y la coordenada Y sería la Y. Pero recordemos que la Y también se puede llamar F de X. ¿Por qué? Pues porque esta es la imagen de la X, ¿sí? Entonces, la imagen de la X es F de X. Ahora, obviamente, obtendría una velocidad más exacta si en lugar de calcular la velocidad promedio entre 0 y 5, calculara la velocidad entre este punto y 5. Entonces, la velocidad ya sería esta, ¿sí? Ya sería la velocidad calculada entre el segundo 2 y el segundo 5, porque utilicé esos dos puntos. Pero como esto lo queremos hacer para cualquier segundo en el que hayamos escogido los puntos, por ejemplo, yo hubiera podido colocar este punto aquí o aquí o aquí, ¿sí? Entonces, vamos a hacer lo siguiente, vamos a mirar las coordenadas de este punto, pero vuelvo a decirles, este punto puede estar aquí o aquí, ¿no? Las coordenadas de este punto en este caso serían 5,100, ¿sí? 5 segundos y 100 m, pero las vamos a calcular dependiendo del tiempo transcurrido entre este punto y este punto. Entonces, vamos a marcar aquí el tiempo. Entonces, al tiempo que ha transcurrido desde el segundo 2 hasta el segundo 5, lo voy a llamar H. Sí, que a eso es a lo que se le llama el incremento en el tiempo, o sea, el tiempo que pasó entre este punto y este punto. En algunos libros ese incremento lo nombran así como les escribo acá, lo nombran con un triangulito y la X, que quiere decir también incremento de X.
[7:18]A mí me gusta utilizar más la H, pues porque es más fácil comprender otra letra que pues ese triángulo con la X. Entonces, si este punto se llama X, ¿sí?, el tiempo transcurrido aquí es X, ¿cuál sería el tiempo aquí? Pues simplemente sería a esta X sumarle la H, y ese sería el tiempo acá. Entonces, el tiempo acá sería X más H, y por lo tanto, la imagen de X más H sería, pues, F de X más H. Sí, vuelvo a decirles que estoy colocando esto porque el punto podría ser aquí o aquí, ¿sí? Entonces, miren que este punto sería esta X, que serían los 2 segundos, más el incremento, que sería, pues, la H. Lo mismo aquí, esta sería la imagen de X más H. Entonces, mirando hasta el momento, si quisiéramos hallar la velocidad desde este punto hasta este punto, tendremos lo siguiente. Aquí primero que todo, el tiempo transcurrido entre este punto y este punto, ¿cuál es? Yo lo nombré H. Entonces, el tiempo sería H, y el espacio recorrido, ¿cuál sería? El espacio recorrido sería, pues, el espacio que recorrió desde aquí, desde casi los 20 m, hasta los 100 m. Que, ¿de dónde resulta esta distancia? Obviamente, vuelvo a decirles, porque esto puede cambiar, ¿sí? Aquí ya el espacio recorrido sería menos, pero, ¿cómo podríamos encontrar el espacio? Pues sería simplemente a todo este espacio, que sería F de X más H, le quitamos este, que sería F de X, y nos queda que el espacio desde aquí hasta aquí es F de X más H menos F de X. Entonces, aquí en lugar de espacio, pues colocaríamos F de X más H, menos F de X. Pero si queremos encontrar la velocidad exacta en este punto, pues aquí ya va un poco más exacta que cuando la habíamos calculado desde 0 hasta 5, ¿no? La idea sería ir acercando este punto cada vez más, más y más, hasta que este punto llegue aquí. Y obviamente, pues, ya la velocidad calculada sería la velocidad exacta en este punto, que miren que resulta siendo la recta tangente. Entonces, como la idea es que esta distancia H, o sea, corramos este punto hasta que el tiempo transcurrido entre este punto y este punto tienda a cero, entonces nos quedaría que la velocidad exactamente en un punto sería el límite cuando el incremento es 0. O sea, miren que aquí el incremento, pues, es más o menos medio segundo, la idea es que el incremento tienda a 0, ¿sí? Entonces, el límite cuando el incremento tiende a 0, recuerden nuevamente que en algunos libros no lo escriben como H, sino como Delta X, de F de X más H, menos F de X, sobre H. Entonces, para concluir, recordemos que la derivada es la que me permite encontrar la velocidad en un punto exacto, o también podemos decir, la derivada es la que me permite encontrar la recta tangente a una función dada. Bueno, amigos, espero que les haya gustado la clase. Recuerden que pueden ver el curso completo de derivadas disponible en mi canal o en el link que está en la descripción del video o en la tarjeta que les dejo aquí en la parte superior. Los invito a que se suscriban, comenten, compartan y le den like al video y no siendo más, bye, bye.
