[0:00]Limit nedir? Limit nedir sorusuna cevap verebilmek için öncelikle hangi limit sorusunu sormalıyız? Limit çünkü ikiye ayrılır. Limit sayıya giden limit ve sonsuza giden limit olmak üzere ikiye ayrılmaktadır. Bu nedenle limit nedir sorusuna direkt bir cevap verilemez, önce hangi limit olduğunu bizim karşı tarafa sormamız gerekir. Limit sayıya giden limitler ve sonsuza giden limitler olmak üzere ikiye ayrılır. Bu ikisinin amacı da birbirinden farklıdır. İşlemlerinin yapılış biçimi de birbirinden farklıdır. O yüzden sayıya giden limite limit nedir sorusuna başka bir cevap verirken, sonsuza giden limitlerde limit nedir sorusuna farklı bir cevap veririz. Sayıya giden limitler derken neyi kastediyoruz? Limit x 3 gibi bir değere giderken burada bir fx var. Fx dediğimiz burada fonksiyon. Herhangi bir fonksiyon olabilir oradaki fx. Yani mesela limit x 5'e giderken 3x-2 gibi. Bu limit ne anlama gelmektedir, neyi hedeflemektedir? Sonsuza giden limite geldiğimizde ise limit x artı sonsuz burada herhangi bir fonksiyon var. Eksi sonsuz eksi sonsuza giderken fx. Buradaki limitin amacı başka, buradaki limitin amacı başkadır. Bu nedenle limit nedir sorusuna tek bir cevap veremeyiz. Sayıya giden limitler için limit şudur, sonsuza giden limitler için limit şudur gibi bir cevap vermek gerekir.
[2:27]Şimdi sayıya giden limit nedir, neyi amaçlar? Sayıya giden limitlerin amacı fonksiyonun limitin aradığı noktada kopup kopmadığının belirlenmesini amaçlar.
[3:26]Yani sayıya giden limitler limit x 3'e giderken fx dediğimizde eğer ki buna bir cevap veriyorsak 5 gibi, bunun anlamı fonksiyon 3 noktasında kopmamıştır. Ve gittiği değerde 5'tir gibi bir cevap verilir. Yani sayıya giden limitlerin amacı fonksiyonun kopup kopmadığıdır. Kopmayla neyi kastediyoruz, bir grafik üzerinde inceleyelim. Şu an sadece nedir sorularına cevap vermenin peşindeyiz. Bir sonraki videomuzda sayıya giden limitleri ayrı şekilde, sonsuza giden limitleri ayrı bir şekilde iki konu anlatım videosuyla inceleyeceğiz. Şimdi buraya geldiğimizde şurasının içi boş olsun, şurası da şöyle olsun. Şurası 4'le eşleşsin, şurası 3'le eşleşsin, şuradaki değerimiz de -4 olsun. Bu fonksiyona baktığımızda bu fonksiyonun tam olarak geldiğimizde -4 noktasında koptuğunu görmekteyiz. Kopmak dediğimiz burada kalemi kaldırıp başka bir yere koyup oradan devam etmemiz gerekiyor. Fonksiyon bildiğimiz parçalanmıştır. Burada fonksiyonun limiti yoktur. Çünkü fonksiyon burada kopmuştur. Bu fonksiyon için bize deseler ki limit x -4 noktasında fx nedir? Bize de grafiği verseler hemen deriz ki limiti yoktur. Limit yoktur'un anlamı fonksiyon o noktada koptu demektir. Yani bize bir limit yazıp bunun karşısına limiti yoktur dediklerinde bizim kafamızda canlanması gereken şey burada bir fonksiyon var, o fonksiyon o noktada kopmuş demektir. Limit, sayıya giden limitin temeldeki amacı budur, fonksiyonun kopup kopmadığını belirlemek. Herhangi başka bir noktada limiti kontrol ettiğimizde kopmadığını göreceğiz. Ve bu nedenle oralarda limit vardır ve onun eşlendiği y değeri kaçsa onu söyleriz. Bir fonksiyon için bize limit x 5'e giderken fx = 2 dediler. Biz burada anlamalıyız ki bu fx fonksiyonu 5 noktasında kopmadı. Yani bunun grafiğinde x'in 5 olan noktasında bu fonksiyonun grafiği kopmadı. Neyle eşleşti peki y değeri olarak? 2 ile eşleşti. Sağdan nasıl geliyor bilmiyoruz ama soldan nasıl geliyor bilmiyoruz ama sonuçta geldiklerinde y'nin 2 olduğu değere geliyorlar. Bunun içinin dolu olup olmadığını limitle anlayamayız. Limit sadece sağdan ve soldan yaklaşıldığında buradaki değer ettiğini söyler bize. Kopmamıştır. Şu kopma değildir. İçi boş olarak gelme. Fakat şu direkt bir kopmadır. Bu kopma değildir.
[7:05]Limit bize bu noktanın içinin dolu olup olmadığıyla ilgilenmez. Sağdan geldiğinde, soldan geldiğinde aynı y değeriyle eşleşiyorsa bizim için o limit kopmamıştır, o fonksiyon kopmamıştır. Fonksiyonda kopmanın karşılığı tamamen parçalanmadır. Burada ise kopmuştur. Peki limit bu kopup kopmamayı nasıl belirler? Burada sağdan ve soldan yaklaşımla.
[7:37]Bunu sayıya giden limitler konusunu anlatırken i'den i'ye inceleyeceğiz. Kopmanın gerçekleşip gerçekleşmediğini nasıl belirleyeceğimizi konuyu anlatırken inceleyeceğiz. Ama bizim temeldeki hedefimiz bize grafik verildiğinde kopup kopmamayı belirlemek değil. Grafik verildiğinde zaten bakıyoruz burada kopmuş. Limitin hedefi bu değildir. Limtin hedefi bize şöyle bir fonksiyon yazıldığında limit x 3'e giderken 1/x-3 mesela. Nedir diye soruluyor. Bize sorulan şey şu. Bu fonksiyon 3 noktasında koptu mu, kopmadı mı? Koptuysa limit yoktur cevabı vereceğiz. Kopmadıysa bir sayı cevabı, bir sonuç vereceğiz. Kopmadıysa bu değerde sağdan ve soldan yaklaşınca anlamında demektir.
[8:33]Uzatmayalım. Buradaki sayıya giden limitlerin amacı fonksiyonun o noktada kopup kopmadığını belirlemektir.
[8:48]Şimdi sonsuza gidenlerin amacı ne? Ona bakacağız. Sonsuza giden limitlerin amacı fonksiyonun artı sonsuz ve eksi sonsuza giderken davranışını belirlemektir.
[9:27]Davranış ne demektir burada? Artı sonsuz, eksi sonsuza giderken bir fonksiyonun davranışı bir sayıya mı yaklaşıyor? İşte şimdi davranış görelim biraz. Bir fonksiyon çizelim. Şöyle de bir kesikli çizgi çizelim. Şöyle. Fonksiyon sonsuza doğru giderken şuna yaklaşsın. Bu fx fonksiyonumuz olsun.
[9:59]Şimdi bu fx fonksiyonunun artı sonsuza giderken sorduğu şey x değerleri bu x eksenimizdir. Artı sonsuza doğru giderken bunun eşleştiği değerler ne yapıyor? Sorduğu şey budur sadece sonsuza giden limitin. Burada göreceğimiz üzere x değerleri artı sonsuza giderken bu fonksiyonun y değerleri de 2 değerine yaklaşıyor. Ama kesikli çizgi olduğundan dolayı 2 değeri asla etmeyecek. 2. Bunun anlamı bizim fx fonksiyonu x değerleri sonsuza giderken y değerleri 2'ye yaklaşıyor demektir. Aynı fonksiyon için eksi sonsuza giderken fx x değerlerimiz eksi sonsuza giderken y değerlerimize baktığımızda y değerlerimiz de bu fonksiyonun grafiği böyle serbest bırakıldığına göre eksi sonsuza gitmektedir. Bize grafik verilmeden şu bilgiler verildiğinde biz bu fonksiyonun uç noktalarının nasıl bir hareket içinde olduğunu anlarız. Bir limit x artı sonsuza giderken fx 4 olsun. Limit x eksi sonsuza giderken fx -2 olsun. Biz şimdi anlarız ki o zaman sadece bu bilgilerin verildiği bir fonksiyonu düşünelim. Bu fx fonksiyonu x değerleri sonsuza giderken y değerleri 4'e yaklaşıyor. Yani x değerleri sonsuza giderken y değerleri 4'e yaklaşıyor. Bu 4 değeri diyelim şuna. 4'e yaklaşıyor. Bu aşağıdan mı yaklaşıyor, yukarıdan mı yaklaşıyor tam olarak anlayamayız ama biz aşağıdan yaklaştığını varsayalım şimdilik. Eksi sonsuza giderken ise -2 değerine yaklaşıyor. Bu aralarda ne yaptığını anlayamayız. Aralarda ne yaptığını ama sonsuza doğru giderken yaklaştığı şeyin -2 değeri olduğunu anlarız. Arada ne yaptığıyla uğraşmıyor. Arada koptu mu, kopmadı mı? Bu da hiçbirisi önemli değildir sonsuza giden limitli. Sonsuza giden limitteki amaç fonksiyonun x değerleri sonsuza giderken y değerlerinin ne yaptığı. Bu bilgiler fonksiyon grafiği çizme hedefimize giderken bize yardımcı olacak olan bilgilerdir. Limit arkasından türev işleyeceğiz, türev uygulamaları işleyeceğiz ve sonrasında önümüze gelen her fonksiyonun grafiğini çizebileceğiz. İşte bu limit burada ilk adımı attırıyor bize. Bir fonksiyonun sonsuza giderken, x değerleri sonsuza giderken y değerlerinin ne yaptığı bilgisi bir grafiği çizerken bize çok fayda sağlayacak bilgidir.
[14:14]Bu fikir dışında da kullanılmış mıdır limit? Evet, kullanılmıştır. Ama temel çıkış noktası grafik çizerken bize yardımcı olma fikridir. Bu videomuzu burada noktalıyoruz.
