[0:14]En este video veremos el principio fundamental del conteo. Este principio nos dice lo siguiente: Si una cierta tarea puede realizarse de m maneras diferentes y para cada una de esas formas, una segunda tarea puede realizarse de n maneras distintas, entonces las dos tareas juntas pueden realizarse (en ese orden) de m por n formas diferentes. A continuación veremos cómo aplicar este principio para resolver algunos problemas particulares. El primer problema es el siguiente: ¿Cuántas palabras de tres letras pueden formarse si se dispone de un alfabeto con dos letras: a y b? Una primera manera de cómo resolver este problema sería construyendo lo que se conoce como un diagrama de árbol. En la letra inicial tenemos dos posibles opciones: o es a o es b. Una vez escogida la letra inicial, la segunda letra puede ser escogida de dos maneras diferentes, es decir, aquí puede ser A o puede ser B. Análogamente para B, aquí puede ser A o puede ser B. Finalmente, la tercera letra puede ser escogida nuevamente de dos maneras diferentes. Entonces, aquí podemos colocar A o B, A o B y también acá, es A o B y aquí también A o B. Ahora que ya tenemos construido este diagrama de árbol, podemos obtener las distintas palabras de tres letras que se pueden formar con las dos letras A y B. Aquí tenemos la palabra A A A.
[2:08]Aquí A A B. A B A.
[2:17]A B B. Aquí es B A A. B A B. B B A. Y B B B. Finalmente contamos el número de palabras que tenemos aquí y ese número será la respuesta a esta pregunta, que en este caso es 8.
[3:03]Otra manera de cómo resolver este problema sería considerando tres casillas, donde cada casilla va a ser ocupada por una letra. Observemos que en esta primera casilla tenemos dos opciones para elegir la primera letra, que puede ser A o B. Luego, en esta segunda casilla, nuevamente tenemos dos opciones, y en la tercera casilla sucede lo mismo, tenemos dos opciones. Entonces, por el principio fundamental del conteo tenemos 2 * 2 * 2 maneras de formar una palabra de tres letras, que es justamente 8. En el segundo ejercicio nos preguntan: ¿Cuántas banderas bicolores se pueden formar si se dispone de cuatro lienzos de tela de colores distintos y un asta? (Nota: banderas como rojo-rojo no son permisibles, por otro lado, es importante el color que queda junto al asta, de esta manera banderas como rojo-azul y azul-rojo se consideran diferentes). Para resolver este problema, lo primero que podemos hacer es considerar una bandera bicolor. Podemos llamar a esta parte la región A y a esta parte la región B. El problema nos dice que disponemos de cuatro lienzos de tela de colores distintos. Entonces, para colorear a la región A, tenemos cuatro maneras diferentes de colorearla. Luego, una vez que ya coloreamos la región A de un color, ese color ya no puede ser usado para colorear la región B. Entonces, para colorear esta región, disponemos únicamente ya de tres colores distintos. Entonces, por el principio fundamental del conteo, tenemos 4 * 3 maneras distintas de colorear esta bandera. Y 4 * 3 = 12. Entonces, tenemos 12 maneras distintas de formar banderas bicolores con estos cuatro lienzos de tela. En el tercer ejercicio nos preguntan: ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar con 40 alumnos, si cada comité está formado por un presidente, un secretario, un tesorero y dos vocales? Para poder resolver este problema, notemos que el presidente puede ser elegido entre los 40 alumnos. Entonces, aquí tenemos 40 maneras de elegir al presidente. Luego, una vez elegido el presidente, nos quedan 39 alumnos restantes. Entonces, el secretario puede ser elegido de 39 maneras diferentes. Luego, el tesorero puede ser elegido de 38 maneras distintas. Luego, el vocal 1 de 37 maneras diferentes, y finalmente el vocal 2 de 36 maneras. Entonces, por el principio fundamental del conteo, tenemos 40 * 39 * 38 * 37 * 36 maneras distintas de elegir un comité con las características que nos piden.
