[0:00]Ciao, come stai? Oggi ti mostro la soluzione del paradosso dei gemelli. E insieme scopriremo perché la soluzione proposta da Einstein al paradosso dei gemelli era errata. Perché non è un paradosso, una contraddizione, mentre in realtà i due gemelli fanno previsioni identiche e sono d'accordo sul fatto che al ritorno il gemello in viaggio sarà invecchiato meno, cioè sarà più giovane dell'altro gemello. E infine scopriremo come si può risolvere il paradosso dei gemelli usando semplicemente la relatività ristretta e perché non c'è bisogno di invocare la relatività generale. Ho aggiunto questa trattazione completa del paradosso di gemelli che mi piace tantissimo nella seconda nuova edizione del mio libro Capire il tempo e lo spazio. Ora su Amazon trovate esclusivamente questa nuova edizione con le nuove parti aggiunte. Ho deciso di creare una seconda edizione perché nella prima lezione del libro avevo adottato la soluzione di Einstein al paradosso dei gemelli. Quindi mi scuso per l'imprecisione e per farmi perdonare regalo a tutti un PDF con esattamente le nuove pagine della seconda edizione del libro. Trovi il link al PDF nella descrizione del video. Per chi ha già comprato il libro nella prima edizione, non vi preoccupate. Il PDF che potete scaricare gratuitamente contiene esattamente le pagine che ho aggiunto nella seconda edizione. Inoltre, ho creato anche tre nuovi video che ho aggiunto al corso di relatività ristretta in cui parliamo della soluzione dettagliata del paradosso dei gemelli e delle trasformazioni di Lorentz, per spazio, tempo e velocità in un esempio concreto. Partiamo allora con il paradosso dei gemelli. Iniziamo enunciando il paradosso. Immaginiamo due gemelli, li chiameremo Primo e Secondo. Secondo decide di partire per un viaggio in treno. Si tratta di un treno molto speciale che viaggia su binari perfettamente dritti e lisci, senza curve né sobbalzi e, trattandosi di un esperimento mentale, immaginiamo che questo binario si allunghi anni luce. Un anno luce è la distanza percorsa dalla luce in un anno ed equivale a circa 9.460 miliardi di chilometri, quindi immaginiamoci questo binario lunghissimo, dritto, perfettamente liscio, senza sobbalzi. I due gemelli decidono di effettuare un esperimento. Alla stazione di partenza sincronizzano gli orologi. Secondo parte con il treno e raggiunge la stazione successiva che si trova a 3 anni luce. Il treno viaggia a una velocità costante in linea retta pari al 60% della velocità della luce. Una volta arrivato alla stazione di arrivo, a 3 anni luce di distanza dalla stazione di partenza, secondo il punto di vista di Primo che rimane alla stazione di partenza, Secondo salta su un altro treno di ritorno alla stazione di partenza. Anche il secondo treno viaggia a velocità costante a una velocità pari al 60% della velocità della luce. Al suo ritorno alla stazione di partenza, i due gemelli si rincontrano e constatano che mentre Primo è invecchiato 10 anni, Secondo è invecchiato solo 8 anni, cioè 2 anni più giovane. Il paradosso risiede nel fatto che dal punto di vista di Primo, che rimane alla stazione di partenza, il tempo di Secondo, il tempo dell'orologio da polso di Secondo che viaggia sul treno, scorre più lentamente rispetto al tempo di Primo, al tempo dell'orologio della stazione di partenza, proprio per l'effetto relativistico di dilatazione dei tempi, perché Secondo si muove rispetto a Primo. Ma dal punto di vista di Secondo, il treno è fermo ed è il binario a muoversi al 60% della velocità della luce in direzione opposta. E quindi, dal punto di vista di Secondo che sta sul treno, è l'orologio di Primo e quello della stazione di partenza che scorrono più lentamente rispetto al suo orologio da polso. Quindi, i due punti di vista dei due gemelli sembrano contraddittori. Ma, come vedremo, non c'è nessuna contraddizione. Il paradosso, la contraddizione nasce dal fatto che si sono ignorati due effetti importantissimi di relatività ristretta, come vedremo ora. La realtà è una sola e i due gemelli devono fare previsioni identiche e queste previsioni devono concordare con i dati sperimentali una volta effettuato l'esperimento. Quindi risolvere un paradosso significa mostrare che non vi sono contraddizioni, che non vi sono contraddizioni nelle due previsioni fatte dai due gemelli. L'apparente paradosso origina dall'apparente simmetria tra i due gemelli, ovvero sembrerebbe che i due gemelli sperimentino la stessa esperienza. Ognuno vede l'altro gemello muoversi ad alta velocità e quindi ognuno osserva l'effetto relativistico di dilatazione dei tempi, cioè ognuno vede il tempo dell'altro gemello scorrere più lentamente rispetto al proprio. Ma in realtà la situazione non è affatto simmetrica. Se ci pensi, il gemello che parte per il viaggio salta sul treno, il treno accelera fino al 60% della velocità della luce. Durante la fase di accelerazione, il gemello Secondo si sentirà schiacciato verso il sedile, come quando in macchina siamo seduti in macchina e il guidatore accelera improvvisamente, ci sentiamo schiacciati all'indietro. È una forza fittizia dovuta all'accelerazione del mezzo su cui ci troviamo. Una volta arrivato alla stazione di arrivo, a 3 anni luce dalla stazione di partenza, il treno dovrà decelerare, frenare per consentire a Secondo di scendere dal treno. Durante la frenata, Secondo si sentirà spinto in avanti, come quando in auto si frena di colpo e ci si sente spinti in avanti e la cintura di sicurezza ci ferma. Cioè, Secondo sperimenta le cosiddette forze fittizie dovute all'accelerazione del treno su cui si trova. Mentre Primo, che si trova fermo alla stazione di partenza, non sperimenta queste forze fittizie, quindi capiamo subito che la situazione non è simmetrica. I due gemelli non fanno la stessa esperienza. Einstein basò proprio la sua soluzione al paradosso dei gemelli su queste accelerazioni che sperimenta Secondo, il gemello sul treno. Perché? Perché, come egli dimostrò nel 1907 con il principio di equivalenza, un moto accelerato è equivalente alla presenza di un campo gravitazionale e questo a sua volta porta a un fenomeno di dilatazione dei tempi. Ovvero, se un osservatore si trova in presenza di un campo gravitazionale e un altro osservatore si trova lontano da questo campo gravitazionale e osserva il tempo del primo osservatore, l'osservatore lontano in una zona di spazio-tempo dove il campo è più debole, osserverà il tempo dell'osservatore che si trova in un campo gravitazionale più intenso scorrere più lentamente del proprio. E quindi Einstein disse: alla fine dell'esperimento il gemello in viaggio, Secondo, sarà più giovane, perché avrà sperimentato delle fasi di accelerazione e decelerazione che sono equivalenti a un campo gravitazionale che implicano quindi una dilatazione dei tempi. Quindi dal punto di vista di Primo, il tempo di Secondo durante quelle fasi di accelerazione e decelerazione andrà più piano. Però questa soluzione si dimostrò errata. Perché, come dimostriamo oggi, si può risolvere il paradosso dei gemelli anche senza coinvolgere le accelerazioni. Si può risolvere il paradosso dei gemelli senza invocare il principio di equivalenza e la relatività generale, ma solo con la relatività ristretta. Nell'esempio che utilizzeremo oggi, considereremo accelerazioni istantanee, cosa vuol dire? Secondo sale sul treno e istantaneamente il treno si porta al 60% della velocità della luce e viaggia per tutto il tragitto a quella velocità costante in linea retta. Arrivato alla stazione di arrivo, Secondo salta su un treno in direzione opposta, sempre al 60% della velocità della luce per fare il ritorno alla stazione di partenza. Quindi i tempi di accelerazione e decelerazione sono mandati a zero. Ti dirai, ma allora che cosa distingue un gemello dall'altro? Cosa rende questa situazione asimmetrica? Proprio il fatto che Secondo, durante il viaggio, non permane sempre nello stesso sistema di riferimento. Mentre Primo, che si trova fermo alla stazione di partenza, rimane sempre fermo nello stesso sistema di riferimento solidale con la stazione di partenza, dall'inizio del viaggio fino al ritorno del gemello. Secondo cambia sistema di riferimento una volta arrivato alla stazione di arrivo. Cioè questo è ciò che rende asimmetrica la situazione tra i due gemelli. L'enunciato del paradosso dei gemelli porta a una contraddizione, sembra portare a una contraddizione proprio perché cita solo uno dei tre effetti principali della relatività ristretta, cioè la dilatazione dei tempi.
[9:00]Ricordiamo cos'è la dilatazione dei tempi. Se un osservatore osserva un altro osservatore muoversi rispetto a lui o a lei, questo primo osservatore vedrà il tempo dell'osservatore in moto scorrere più lentamente rispetto al proprio. Questo è quello che si chiama la dilatazione dei tempi. Ma ci sono altri due effetti importantissimi di relatività ristretta che oggi terremo in conto e che ci porterà alla soluzione del paradosso: la contrazione delle lunghezze e la non unicità della simultaneità. Prendiamo il solito osservatore che osserva un oggetto in movimento. Se l'osservatore misura la lunghezza di quell'oggetto, la lunghezza di quell'oggetto risulterà inferiore alla lunghezza che aveva l'oggetto quando l'oggetto era fermo rispetto all'osservatore, cioè un oggetto in moto rispetto a un dato osservatore apparirà più corto, si contrae. Contrazione delle lunghezze. L'altro effetto della relatività ristretta è quello della non unicità della simultaneità, ovvero se prendiamo due eventi che dal punto di vista di un altro osservatore sono simultanei, cioè avvengono allo stesso tempo, per altri osservatori, questi eventi possono essere non simultanei, cioè uno può avvenire prima dell'altro. La simultaneità non è univoca, non tutti sono d'accordo su quali eventi sono simultanei, sono avvengono allo stesso momento. Ora affronteremo la situazione di due gemelli dal punto di vista di Primo che si trova alla stazione di partenza e dal punto di vista di Secondo in viaggio sul treno e utilizzando tutti e tre gli effetti della relatività ristretta, dimostreremo che fanno previsioni identiche e che sono d'accordo sul fatto che alla fine del viaggio Secondo sarà più giovane di due anni di Primo. Cominciamo con il punto di vista di Primo, il gemello che rimane alla stazione di partenza. Qui userò i diagrammi di Minkowski e alcune formule di relatività ristretta. Se non ti piacciono i diagrammi e le formule, puoi ignorarli semplicemente e seguire il discorso che faremo e non ti perderai nulla. Cominciamo quindi con il gemello che rimane alla stazione di partenza, Primo. All'inizio del viaggio, Primo sincronizza tutti i suoi orologi. Il suo sistema di riferimento, infatti, è composto da assi cartesiani che gli consentono di misurare la posizione degli oggetti e da una batteria di orologi tutti sincronizzati tra loro e distribuiti nello spazio. Per esempio, Primo posiziona un orologio in ogni stazione del treno e sincronizza all'inizio tutti questi orologi, cioè segnano tutti la stessa ora. Tutti questi orologi sono fermi rispetto a Primo che è fermo rispetto alla stazione di partenza. Possiamo rappresentare il sistema di riferimento di Primo con questo diagramma di Minkowski, dove sull'asse orizzontale c'è la distanza della stazione di partenza. La stazione di partenza si trova all'origine e a 3 anni luce di distanza si trova la stazione, la prima stazione, quella che chiamiamo la stazione di arrivo, a cui arriverà l'altro gemello prima di fare il ritorno. Sull'asse verticale abbiamo il tempo. La distanza è misurata in anni luce, abbiamo detto. È interessante disegnare su questo diagramma come vede Primo, da questo da questo sistema di riferimento, oggetti che si muovono e cominciamo dalla luce che è l'oggetto più veloce che Primo può osservare. Un raggio di luce seguirà una traiettoria a 45° in questo diagramma, perché? Perché in un anno di tempo, un raggio di luce percorrerà un anno luce, è proprio la definizione di anno luce. In due anni di tempo, due anni luce, quindi taglierà a 45° questo diagramma. E Primo, quando osserva il gemello in moto al 60% della velocità della luce, come lo rappresenta in questo diagramma? Sicuramente, Primo viaggia più lentamente della luce, quindi è una linea che si trova al di sopra della linea di un raggio di luce. In questo caso, il gemello Secondo si muove a 60% della velocità della luce, cioè 3/5 della velocità della luce, quindi questa linea ha una pendenza di 5/3. Dal suo punto di vista, Primo vedrà il sistema di riferimento del gemello in viaggio stringersi intorno alla direzione di un raggio di luce che comunque taglia a metà i due assi. Bene, ora Secondo parte in viaggio con il treno al 60% della velocità della luce verso la stazione di arrivo. Prima di tutto, Primo prevede che ci impiegherà 5 anni per raggiungere la stazione di arrivo, proprio perché si muove a 3/5 della velocità della luce.
[13:36]In secondo luogo, siccome Secondo si muove rispetto a lui, il gemello alla stazione di partenza prevede che il tempo del gemello in viaggio scorrerà più lentamente rispetto al proprio. Di quanto scorrerà più lentamente? Lo può calcolare grazie al fattore di Lorentz che fornisce il seguente risultato: Dal punto di vista di Primo, il tempo sul treno scorrerà un 20% più lentamente del proprio. E quindi, Primo prevede che all'arrivo alla stazione, il tempo segnato dall'orologio da polso del gemello non segnerà 5 anni, ma segnerà 4 anni, cioè l'80% dei suoi 5 anni. Quindi, Primo prevede che sarà passato meno tempo sul treno rispetto al tempo segnato alla stazione. Questo si può vedere benissimo nei diagrammi di Minkowski, grazie a queste linee tratteggiate orizzontali. Sono linee che collegano eventi nel sistema di riferimento di Primo, tutti allo stesso tempo T. Per ogni anno che passa alla stazione di partenza, dal punto di vista di Primo, sono passati solo 0,8 anni sul treno. Queste linee sono proprio linee che collegano eventi simultanei che avvengono appunto allo stesso tempo T. Bene, passiamo al punto di vista di Secondo, il gemello in viaggio verso la stazione di arrivo. Dal suo punto di vista, sarà il tempo dell'orologio della stazione di partenza scorrere più lentamente del tempo segnato dal suo orologio da polso sul treno. E questo si può vedere anche nei diagrammi di Minkowski. Infatti, dal punto di vista di Secondo, gli eventi simultanei sono collegati da queste linee oblique tratteggiate. Oblique perché sono parallele all'asse delle distanze di Secondo. Come puoi vedere in questo grafico, per ogni anno passato secondo l'orologio di Secondo sul treno, dal suo punto di vista, saranno passati solo 0,8 anni per l'orologio alla stazione. È la situazione esattamente simmetrica rispetto a quella che abbiamo visto precedentemente dal punto di vista di Primo. Cioè, ognuno dice per ogni anno passato secondo il mio orologio saranno passati solo 0,8 anni per l'altro gemello. Situazione simmetrica. Ma ora utilizziamo gli altri due effetti della relatività ristretta e risolviamo il paradosso. Secondo raggiunge la stazione di arrivo. Al suo arrivo vedrà che l'orologio della stazione segnerà 5 anni, mentre il suo orologio da polso segnerà solo 4 anni. Ma Secondo aveva già previsto che sarebbe stato così, proprio come l'aveva previsto Primo alla stazione di partenza. Perché? Calcoliamolo insieme a Secondo. Prima di tutto, dal punto di vista di Secondo che è sul treno, è il binario a muoversi al 60% della velocità della luce in direzione opposta. E quindi, dal punto di vista di Secondo, il binario si contrae.
[16:38]Si contrae di un fattore dato proprio dal fattore di Lorentz. Quindi, invece di 3 anni luce, dal punto di vista di Secondo, il binario sarà lungo l'80% di 3 anni luce, ovvero 2,4 anni luce. Quindi, Secondo è subito in grado di spiegare perché il suo orologio segna 4 anni e non 5, perché ci vogliono 4 anni per percorrere 2,4 anni luce al 60% della velocità della luce. E ora vediamo come Secondo preveda che l'orologio alla stazione, invece, segnerà 5 anni. Qui entra in gioco il concetto di non unicità della simultaneità. Cosa vuol dire? Che dal punto di vista di Primo, che si trova fermo alla stazione di partenza, tutti gli orologi delle stazioni sono sincronizzati tra loro. Questi orologi sono fermi rispetto a Primo che è fermo rispetto a una di queste stazioni. Tutti questi orologi dal punto di vista di Primo segnano la stessa ora ad ogni momento. Ma dal punto di vista di Secondo, che si muove rispetto alle stazioni, questi orologi non sono affatto sincronizzati tra loro. In particolare, se tracciamo la linea obliqua tratteggiata che parte dall'inizio dall'evento di inizio del viaggio, il tempo dell'orologio della stazione di partenza segna 0, T = 0, è simultaneo all'evento l'orologio della stazione di arrivo segna già 1,8 anni.
[18:11]Cioè, dal punto di vista di Secondo, i due orologi non sono sincronizzati e l'orologio della stazione di arrivo è partito prima dell'orologio della stazione di partenza. Inoltre, durante il viaggio, Secondo osserva il tempo degli orologi della stazione rallentare rispetto al proprio. Di quanto rallentano? Sempre di questo 20% che abbiamo calcolato prima. E quindi, invece di dei suoi 4 anni segnati dal suo orologio da polso, dal punto di vista di Secondo saranno passati solo 3,2 anni per gli orologi alla stazione. Ma, essendo l'orologio alla stazione in avanti già di 1,8 anni, alla fine del viaggio, alla stazione di arrivo, Secondo prevede che il tempo segnato dall'orologio sarà di 1,8 + 3,2 = 5 anni. Esattamente come aveva previsto l'altro gemello fermo alla stazione di partenza. Fanno previsioni identiche, sono d'accordo. Una volta arrivato alla stazione di arrivo, Secondo salta su un treno in direzione opposta, sempre al 60% della velocità della luce rispetto al binario e raggiunge, quindi, il gemello alla stazione di partenza. All'arrivo, quando si ritrovano, l'orologio alla stazione di partenza segnerà 10 anni, mentre l'orologio da polso di Secondo segnerà solo 8 anni, cioè Secondo sarà invecchiato 2 anni in meno rispetto al suo gemello. In conclusione, abbiamo risolto il paradosso dei gemelli, dimostrando che i due gemelli effettuano previsioni identiche e che sono d'accordo sul fatto che alla fine del viaggio il gemello che è partito con il treno ed è poi ritornato sarà più giovane di quello che è rimasto alla stazione di partenza.
[20:03]L'abbiamo dimostrato utilizzando i tre principali effetti di relatività ristretta: la dilatazione dei tempi, la contrazione delle lunghezze e la non unicità della simultaneità. Nella vita reale non ci sono non avvengono queste accelerazioni istantanee, ma il treno accelera gradualmente e poi per arrivare alla stazione di di arrivo, frena e consente al gemello di scendere, di salire su un altro treno che può riaccelerare verso la stazione di partenza. Anche così, i risultati che abbiamo trovato non cambiano. Cambiano numericamente, perché il tragitto è leggermente diverso, ma non cambiano qualitativamente. Non è necessario, quindi, utilizzare le accelerazioni e la relatività e invocare la relatività generale, come fece Einstein, per risolvere questo paradosso. E se il gemello, invece di ritornare indietro, semplicemente rallentasse per fermarsi alla stazione di arrivo o alla stazione successiva, verificherebbero che il gemello in viaggio è più giovane del gemello che è rimasto alla stazione di partenza? Ti lascio la soluzione di questo quesito nel PDF che trovi gratuitamente nel link in descrizione e nella nuova edizione del mio libro Capire il tempo e lo spazio, che trovi già su Amazon. Non mi resta che augurarti una bella settimana e ci vediamo nel prossimo video con tanta nuova fisica. Ciao!
