[0:03]Buenas tardes, el día de hoy vamos a tocar la teoría de coordenadas normales y tangenciales. Eh, pues bien, ¿qué analizan las coordenadas normales y tangenciales? Analizan los requerimientos que debe seguir un móvil para pasar de una trayectoria si rectilínea a una trayectoria curvilínea o simplemente analizar cómo es que se debe comportar un móvil para describir una trayectoria curvilínea. La principal diferencia respecto al sistema de ejes polares que teníamos antes es que para analizar por un sistema de ejes polares, nosotros necesitábamos definir un centro de giro, un radio de giro y además necesitábamos definir cuánto era la velocidad angular y aceleración angular. Respecto del centro en el caso de sistemas normales y tangenciales, no necesitamos definir cuánto es una aceleración angular o una velocidad angular. Lo primero que nosotros necesitamos definir es un sistema tangencial y un sistema normal. Para que el móvil tenga una un desplazamiento, se define la velocidad, y esta velocidad siempre se va a encontrar en el eje tangencial a la curvatura. La velocidad por su parte se va a definir como la variación de la superficie respecto del tiempo, y esta siempre se va a encontrar en el eje tangencial. A todo esto, también nosotros necesitamos determinar una aceleración tangencial y una aceleración normal, una aceleración tangencial tangente a la curvatura y una aceleración normal que apunte hacia el centro de la circunferencia que describe ese punto. La aceleración en el eje tangencial va a ser la derivada de la velocidad respecto del tiempo. en el eje tangencial, a la cual se le va a tener que sumar la aceleración en el eje normal. Y la aceleración en el eje normal necesaria para que este móvil describa esta trayectoria curvilínea va a ser igual a la fracción que se define como el la velocidad al cuadrado dividido entre el radio de la curvatura en ese punto. Ese se define como rho, y todo esto va a estar en el eje normal. Sé que estos temas términos son nuevos, pero simplemente nacen a partir de esta expresión, de la expresión de polares. Tenemos un video de la teoría de coordenadas polares que les recomendaría ver para poder entender este un poquito mejor. Simplemente podríamos definir esto, pero ahora lo que vamos a hacer va a ser demostrar cada una de esas expresiones. Nosotros tenemos que ese radio para este punto siempre va a ser único, y este no va a cambiar. Entonces, eso significa que todas las expresiones de coordenadas polares que dependan de una variación de radio, simplemente se van a anular. R punto, R dos puntos y R va a ser igual a cero, puesto que no cambia, el radio nunca cambia. Por otro lado, nosotros tendríamos que el equivalente a nuestro eje tangencial va a ser igual al eretita, al eje perpendicular al radio. Y el equivalente a nuestro eje normal va a ser igual a menos E de radio, porque recuerden que nuestro eje de radio se medía desde el centro de la circunferencia hacia afuera. Por otro lado, nuestro eje normal se va a medir desde el punto hacia el centro de la circunferencia. Por lo tanto, nosotros podríamos definir que nuestro eje normal va a ser igual a menos el eje del radio. Entonces, como en el eje de radio, la velocidad no se se define como una variación de radio, no habría velocidad en esta dirección. Y eso se comprueba porque la velocidad en un sistema de normales y tangenciales, únicamente se va a encontrar en el eje tangencial. Por otro lado, tendríamos que esa velocidad va a tener que ser igual al radio multiplicado por la velocidad angular respecto al punto del centro de la curvatura. Pero como nosotros no vamos a utilizar tanto velocidades angulares como aceleraciones angulares ni variaciones respecto del radio, simplemente expresamos que la velocidad es la variación de la superficie respecto al tiempo en el eje tangencial. Lo siguiente que deberíamos analizar es la aceleración normal. La aceleración normal va a ser la misma que la aceleración que se va a detectar en el eje de radio, pero con un signo negativo. Entonces, sería menos la aceleración de radio. Y recuerden que la aceleración de radio, en dirección de radio, era radio dos puntos, o sea, la aceleración en dirección de radio, menos R multiplicado por Tita dos puntos.
[4:58]Recordemos que aquí arriba nosotros habíamos definido que la velocidad iba a ser igual al radio multiplicado por tita punto. radio por tita punto iba a ser simplemente la velocidad, pero nosotros no queremos expresarlo en función de R y tita punto. Pero también podríamos decir que tita punto, que tita punto es igual a la fracción de la velocidad dividida entre radio. Y lo que nosotros vamos a hacer va a ser reemplazar estas dos expresiones en la expresión que tenemos aquí. Entonces, tendríamos que la aceleración en la dirección normal va a ser igual a R por tita punto, era igual a la velocidad. Todo esto multiplicado por la velocidad por tita punto, que era igual a la velocidad dividida entre radio, la velocidad dividida entre radio. Entonces, tendríamos que toda esta expresión va a ser igual a la velocidad al cuadrado, todo esto dividido entre el radio, pero como es un radio de curvatura y no es un radio definido, la nomenclatura va a cambiar a ro. Esta es una forma de demostrar de que un análisis por coordenadas normales es lo mismo que un análisis por coordenadas polares. Pero simplemente, en el cual no vamos a depender de tanto velocidades angulares como aceleraciones angulares. Lo importante de coordenadas normales y tangenciales es que no solamente nos permite analizar cuando el móvil intente describir una trayectoria circular, sino también cuando describa trayectoria curvilíneas, como tenemos aquí el siguiente ejemplo. Nos encontramos que este móvil A desea describir esta trayectoria curvilínea, que podría ser generada por una elipse, una parábola o una función senoidal. En este caso, voy a elegir que esta curva se genera por una función senoidal. Lo primero que debo hacer es definir un sistema de referencia, nuestro sistema de referencia que se va a determinar como un sistema X y un sistema Y. Lo siguiente que se debe hacer es determinar la curvatura que deseamos que el móvil siga. La curvatura que deseamos que el móvil siga, lo vamos a determinar como una función de Y respecto de X. En este caso, voy a elegir una función senoidal, recuerden que puede ser una parábola o una elipse, o cualquier función curvilínea, incluso una exponencial. Entonces, podría decir que la curvatura la puedo definir como el valor de A multiplicado por el seno del valor de B multiplicado por X más un valor de C. Imaginemos que esta función nos da esta función senoidal a la cual queremos definir. Si nosotros intentamos analizarla por un sistema de coordenadas polares, tendríamos que definir primero un centro de curvatura. Imaginemos que esa es la trayectoria y vamos a comenzar a definir centros de curvatura. Cuando nos encontramos aquí, el centro de esta curvatura se va a encontrar aproximadamente por aquí. Cuando estemos aquí, el centro de curvatura se va a encontrar más o menos por aquí. Cuando estemos por aquí, igual, y cuando estemos en el punto tangente, obviamente se nos va a determinar perpendicular a la curvatura. Esto qué nos quiere decir, que si lo intentamos analizar por el sistema de coordenadas polares, deberíamos hacer deberíamos reemplazar todas estas ecuaciones en cada uno de los puntos, puesto que tienen un centro diferente y también un radio diferente. Eso implicaría que para analizar toda esta curva, nosotros deberíamos hacer infinitos, infinitas expresiones por coordenadas polares. De todo eso se alivia las expresiones por coordenadas normales y tangenciales. Nosotros sabemos que la velocidad se define como una variación de la superficie respecto al tiempo, y esa va siempre va a ser tangente. Entonces, este móvil, cuando avance por esta curvatura, va a tener que describir una velocidad, y esa va a ser la velocidad en el eje tangente. Lo curioso viene en el si en la aceleración normal. Nosotros tenemos que la aceleración va a ser la variación de la velocidad respecto al tiempo en el eje tangencial, pero la aceleración en el sistema normal se va a definir como la velocidad, que es esta, elevado al cuadrado entre radio. Cómo determinamos el radio de la curvatura? Pues simplemente recurrimos a una fórmula determinada por análisis matemático dos, donde nos dice que el radio de una curvatura en cualquier punto va a ser igual a la derivada en ese punto de la función que describe la curvatura, la derivada primera elevada al cuadrado más uno, todo esto elevado a la dos tercios, dividido entre la derivada segunda en ese punto de la función. Entonces, si nosotros conocemos la velocidad que va a tener este este móvil en ese punto para que se cumpla esa trayectoria, simplemente podríamos definir que la aceleración debería ser la variación de la velocidad respecto al tiempo más la velocidad al cuadrado dividido entre radio, y el radio determinado con esta fórmula. En conclusión, un sistema de coordenadas normales y tangenciales lo va a utilizar cuando ustedes no tengan un centro definido. Y cuando tengan una trayectoria determinada por una función de Y respecto de X, la cual puedan derivar para poder encontrar todas estas expresiones. Aquí en el canal tenemos muchos videos explicando cómo aplicar estas fórmulas. Y eso sería todo por esta explicación. No olviden dar like, suscribirse, pasarse por nuestra página de Facebook. Eso sería todo por esta misión. Muchas gracias.
