[0:08]Hola, amigos, espero que estén muy bien. Bienvenidos al curso de límites. Y ahora veremos una pequeña introducción al concepto de límite de una función. Y en este caso, pues vamos a hablar de la definición de límite que pues la definición no es muy sencilla de de comprender si no es en un gráfico o numéricamente. Entonces, voy a dar la explicación de qué es el límite de una función de forma gráfica y luego vamos a ver de forma numérica. Entonces, ¿qué es el límite de una función? El límite de una función f(x) recordemos que las funciones todas se pueden graficar, ¿sí? Hay algunas funciones que al graficarlas da una línea recta, otras como en este caso dan una parábola, y otras dan diferentes tipos de curvas. Pero todas las funciones se pueden graficar. Entonces, el límite de una función f(x), f(x) simplemente es un nombre que se le da a la función. Yo podría ponerle cualquier nombre, pero generalmente se les dice f(x). En el punto x sub 0, entonces, se va a escoger cualquier punto del eje x. Es el valor que se acercan, al que se acercan las imágenes, o sea las y, ya lo voy a explicar aquí. Cuando los valores, o sea las x, se acercan al valor x sub 0. Entonces, vamos a verlo con el gráfico, pues para entenderlo un poquito mejor. Si, por ejemplo, yo quisiera hallar el límite de esta función, esta función es la que se va a llamar f(x) en este caso, ¿sí? O sea, este dibujito se llama f(x). Si yo quiero encontrar el límite de esa función cuando la x se acerca al número 1, por ejemplo.
[1:50]Lo que tengo que mirar, bueno, aquí coloco aquí de la función f(x). Entonces, si yo quiero encontrar el límite cuando la x se acerca a 1, miren que siempre se dice la palabra acercar, ¿sí? Entonces, lo que tenemos que buscar es el valor de la imagen, o sea de la y. Entonces, en este caso, miren que en este gráfico hay un huequito, ¿sí?, que entre comillas no se sabe cuál es el valor. Por ejemplo, si yo dijera el límite cuando la x tiende a 0, ¿sí? Entonces, aquí vemos que la gráfica cuando la x es el número 0, tiene una altura, o sea, un valor en la letra y. Pero en este caso, si vamos a buscar el límite cuando la x tiende a 1, vemos que la gráfica no se sabe, vuelvo a decirles entre comillas, por dónde pasa, ¿sí? Voy a dejar aquí un huequito, un circulito, marcando que hay un huequito en esa gráfica. Entonces, ¿qué es lo que tenemos que hacer? Pues, obviamente, pues aquí en el dibujo ya se ve como muy claramente. Como les decía, entonces lo que tenemos es que acercarnos en el punto x sub 0, ¿sí? Dice aquí, en el punto x sub 0 es el valor al que se acercan las imágenes, o sea las y, cuando los valores se acercan a x. O sea, si nosotros miramos el valor de la x aquí, ¿sí? O sea, de la imagen de x que la imagen quiere decir la misma altura. La imagen de la x aquí, voy a dar un valor aproximado, digámoslo así que es el número 2,8. ¿Sí? La imagen de 1,5 es 2,8. Pero si yo me acerco al valor al que me interesa, que es el valor 1, entre más me acerque, pues más me acerco al valor de la imagen. Va aquí, como les digo en el dibujo, ya se ve claramente que si yo miro la imagen del número 1, sería, aparentemente, el número 2. Entonces, a pesar de que esta función tenga un huequito ahí que no se vea, pero si nosotros miramos por el lado de la izquierda cada vez se va acercando más, o sea, por ejemplo, la imagen aquí en el número 0,5. La imagen en este punto sería 1,5. Pero si yo me voy acercando cada vez más al número 1, por ejemplo, si yo me acerco aquí, digamos que es más o menos el 0,9, y yo miro la imagen del 0,9, o sea, la altura de la gráfica, es más o menos aproximadamente 1,9. O sea, entre más me acerque yo al número 1, que es el número que me interesa, más me voy a acercar a una respuesta aproximada. Entonces, el límite no es más, sino el valor que toma la x, ¿sí?, en los valores muy cercanos. Ya al final termina diciéndose que, pues, la forma más fácil de acercarlo o de saber el límite es reemplazar la x y ya. Pero bueno, entonces lo que nos preguntan es la altura de la gráfica, entonces en este caso, si yo quisiera dar la respuesta, bueno, ya no me cabe aquí, pero en este caso la respuesta sería, ¿cuál es la altura de la gráfica cuando los números se acercan al 1? La respuesta sería el número 2. Vamos a verlo con más gráficos. El segundo dibujo, ya les escribí aquí la función, en este caso esta función se llama x + 1, ¿sí? Si graficamos la función f(x) = x + 1, tenemos este gráfico. Entonces, por ejemplo, supongamos que quiero hallar el límite cuando la x, esto se le da así, no, límite cuando la x tiende, o sea, se acerca, por ejemplo, al número 2, ¿sí?, de esta función. ¿Qué es lo que se mira en el dibujo? En el dibujo, lo que tenemos que mirar es en el número 2, cuando la x va en el número 2, ¿cuál es la altura de la gráfica o cuál es la imagen de esa gráfica? Si hacemos aquí unos punticos de apoyo, vemos que cuando la x se va acercando al 2 por la derecha o por la izquierda. Por ejemplo, aquí, en este caso, ¿cuánto vale, cuál es la altura de la gráfica? La altura de la gráfica sería más o menos -2. Va subiendo la gráfica y se va acercando cada vez más al 3. Ahora aquí por la derecha, si nosotros partimos el gráfico en 2, como en este caso me interesa el número 2, parto yo el gráfico en 2. A la izquierda del 2 y a la derecha del 2.
[6:16]Entonces, a la izquierda del 2, ¿qué es lo que pasa con esta gráfica? Que va subiendo cada vez más acercándose al número 3. Eso es a la izquierda, y a la derecha si lo observamos, ¿qué es lo que va sucediendo? Que si lo miramos más, entre más lejos del 2 hacia más cerquita hasta llegar al 2, vemos que la gráfica, digámoslo así, de derecha a izquierda va bajando, bajando, bajando, acercándose a cuál número, cada vez más al número 3. O sea, si hiciéramos esta pregunta, el límite cuando la x tiende a 2 de x + 1, en este caso la respuesta sería 3. Que la respuesta siempre va a ser la imagen de este número.
[7:00]Ahorita vamos a trabajar con otras funciones o con otros dibujitos y, como les digo, numéricamente, entonces, los invito a que se esperen hasta el final, así les haya parecido fácil hasta el momento. Espero, es más, que les haya parecido fácil hasta el momento, ¿sí? Porque la idea es que les quede bien claro el concepto para empezar a ver los siguientes videos del curso. Por ejemplo, si yo les hago un cambio aquí, y trabajando con la misma función, ya no les voy a preguntar el límite cuando la x tiende a 2, sino, por ejemplo, ¿cuál sería el límite cuando la x tiende a 3? Entonces, de una vez voy a hacerles un ejercicio, piénsenlo un momentico, ustedes me van a decir la respuesta, en este caso, el límite cuando la x tiende a 3 de esta función, la respuesta sería 4. ¿Sí? Porque si miramos en el número 3, porque ese es el número de la x que nos interesa, miramos la altura de la gráfica y vemos que la altura es 4 unidades. Última pregunta, con esta misma función, ¿qué pasa si ya no les preguntara cuando atiende a 3, sino, por ejemplo, cuando tiende al número 0, ¿sí? Entonces, ¿qué estoy preguntando, cuál es la altura de esta gráfica cuando la x está en el número 0 o se acerca a 0?
[8:08]En este caso, la respuesta sería 1. Vamos a ver otro tipo de gráficas, que es muy clásico en los límites. Que son las ecuaciones definidas a trazos, como en este caso, eh, aquí observamos que hay un huequito, que entre comillas, vuelvo a decirles, no se sabe cuál sería la respuesta. Aquí les tengo la pregunta, ¿cuál es el límite, esta es la función f(x)? Voy a decir que se llama f(x), no nos importa en este caso qué tipo de función es, si x al cuadrado o cuadrática o cúbica, no nos importa eso. Lo importante es el concepto. La pregunta es, ¿cuál es el límite de esta función cuando la x se acerca a 3? En este caso, vemos que en el 3 exactamente no se ve cuál es la altura, pero se ve que por la izquierda, se acerca a un punto, y por la derecha también se acerca a ese mismo punto. Entonces, aquí observamos que la imagen del número 3, o sea, la altura de esa gráfica es el número 2. O sea, si preguntamos, ¿cuál es el límite cuando x se acerca a 3 de esa función? La respuesta sería 2. Y por último, vamos a ver otro caso típico de las funciones definidas a trozos, que es este caso cuando en el punto que queremos, límite cuando x tiende a 3, o sea, aquí en este punto, cuando las dos no se acercan al mismo punto. Si nosotros observamos en este punto, en el 3, exactamente, las dos no se interceptan, una va por un lado y la otra va por otro lado. En este caso, tenemos que hablar de cuando se acerca por la izquierda y cuando se acerca por la derecha, voy a escribirlo aquí rápidamente. Límite cuando x se acerca a 3 por la izquierda, así se escribe, de esa función y límite cuando la x se acerca a 3 por la derecha, de esa función, ¿sí? Aquí observamos que la letra o la función se acerca por la izquierda, o sea, por este lado, se acerca a cuál número, o sea, si no miráramos esta parte de la derecha, diríamos que la respuesta es, ah, pues, al número 3, se acerca y la altura sería 2. Eso sería por la izquierda. Pero si miramos solamente por la derecha, ya tendríamos que ver, ah, no, en este caso, por la derecha ya no la altura no se acerca a que vaya a ser el número 2, sino sería el número 1. Entonces, esto es otra partecita de los límites que se dice que cuando una función, o sea, que el límite cuando la función por un lado se acerca a 1 y por el otro lado se acerca a otro número, no existe. Entonces, este límite, en este caso, no existe, ¿sí? Porque tienen que acercarse las dos, como en el ejercicio anterior, ¿sí? en el que la línea estaba aquí. Deberían acercarse los dos al mismo punto, como que, digámoslo así, se van acercando y casi que se quieren tocar, pero si una va para un lado y la otra va para otro lado, entonces, en este caso, el límite en el número 3 no existe. Si preguntáramos el límite en el número 4, sí existe, ¿sí? Porque aquí vemos que, a pesar de que aquí va hasta aquí, pero en este caso al 4 sí por este lado se acerca acá y por este lado también se acerca acá, o al 6. Aquí a la izquierda se acerca a este punto y a la derecha también, pero entonces cuando es en un punto y se acerca por un lado para uno, para un valor y por otro lado a otro valor, en ese caso el límite no existe. Vamos a hablar por último de la forma numérica, que es otra partecita que hay que tener muy clara. Y es esta partecita, generalmente, lo primero que vamos a ver, o sea, los videos siguientes van a ser el límite en un punto que es una forma muy sencilla. Cuando a uno le dicen, el límite cuando la x se acerca a 2 de esta función, lo único lo que uno generalmente hace numéricamente es simplemente reemplazar la x con este número. Entonces, voy a escribir la respuesta aquí al frente, ¿sí? Si aquí yo reemplazo la x con el número 2, pues esto me quedaría 2 + 1 y la respuesta sería 3. O sea, ya tenemos una respuesta de ese límite fácilmente.
[12:16]Pero van a, vamos a ver también en el curso casos como este, en el que si reemplazamos, bueno, eso ya lo vamos a ver más claramente en los ejemplos más adelante, pero quiero tener el concepto. Si llego a reemplazar aquí con el número 2, me quedaría 2 al cuadrado 4, por 2 8, menos, eh, aquí sería 4 por 2, que eso es 8, sobre 2 menos 2, que eso es 0. Esto me queda 8 menos 8, 0 sobre 0, entonces, eh, aquí diríamos entre comillas, que el límite no existe. Pero como el límite no debe ser específicamente en ese punto, sino cuando se acerca, lo que se hace generalmente es una tabla de valores como esta, que generalmente la hacemos cuando vamos a hacer la gráfica de una función. En este caso la función que vamos a graficar es esta, ¿sí? No la vamos a graficar, pero vamos a hallar los valores. Entonces, ya vimos que cuando reemplazamos la x con el número 2, el valor no se sabe, ¿sí? Porque nos dio 0 sobre 0. ¿Qué es lo que se hace? Acercarnos por la izquierda y por la derecha al número 2. Números cercanos al 2 por la izquierda, o sea, menores a 2. Por ejemplo, el 1, pero si yo me quiero acercar más al 2, un número más cercano que el 1, por ejemplo, el 1,5, y si me quiero acercar más, por ejemplo, el 1,9, y si me quiero acercar mucho más, por ejemplo, el número 1,99. Ahora por la derecha, un número cercano al 2, por ejemplo, el número 3, pero si me acerco más al 2, sería el 2,5 o el 2,1 o el 2,01. No me voy a detener a explicarles con cada numerito, pero si llegamos a reemplazar con el número 1 aquí, entonces vamos a ver qué nos va a dar, y voy a reemplazar todos los números. Por ejemplo, si reemplazamos el número 1, me da 2, si reemplazamos el 1,5, me da 3, el 1,9, me da 3,8, y el 1,99, me da 3,98. Acá, si reemplazo con 3, da 6, con 2,5 da 5, con 2,1 da 4,2, y con 2,01 da 4,02. ¿Qué estamos observando? Que cada que, entre más me acerque por ambos lados al número 2, si miramos, si miramos solo hasta aquí, miremos que estamos diciendo 2, 3, 3,8, 3,98. ¿A cuál número se está acercando? Lo mismo por acá, 6, 5, 4,2, 4,02. Si observamos por la izquierda y por la derecha, se va acercando en los dos lados al número 4. Ya vamos a ver, como les digo, en los siguientes videos del curso, cómo hacer para saber que la respuesta sí era 4. Aquí en la tabla debemos verlo que es porque se iba acercando cada vez al número 4, a medida que yo me hacía esto con números cercanos al 2. Bueno, amigos, espero que les haya gustado la clase. En esta clase no les voy a dejar una práctica porque no veo de pronto con qué puedan practicar, pero en los siguientes videos sí. Entonces, espero que les haya gustado, recuerden que pueden ver el curso completo de límites disponible en mi canal, o en el link que está en la descripción del video, o en la tarjeta que les dejo aquí en la parte superior. Los invito a que se suscriban, comenten, compartan y le den like al video, y no siendo más, bye bye.
