[0:08]Bine ați venit. În clipul de astăzi vom discuta despre semnul funcției de gradul al doilea. Considerăm funcția F definită pe R cu valori în R unde f de x = ax 2 + bx + c cu ABC numere reale și a diferit de 0. În cazul în care delta este un număr pozitiv, există două rădăcini reale x1 x2 cu x1 diferit de x2 și haideți să facem tabelul de semn. Avem cele două rădăcini și în dreptul lor vom avea 0. Și acum, între rădăcini avem semnul contrar lui A, iar în afara rădăcinilor semnului A. Reținem așadar, în cazul în care avem două rădăcini reale distincte, între rădăcini avem semnul contrar lui A, iar în afara rădăcinilor semnului A. În cazul în care delta este egal cu 0, există cele două rădăcini reale, însă ele sunt egale. Asta înseamnă că în tabel vom avea cele două rădăcini și un singur 0. Și acum haideți să ne gândim la următoarea situație. Practic nu mai avem zona dintre rădăcini, pentru că cele două rădăcini sunt egale. Asta înseamnă că avem un singur 0, iar în rest în tabel peste tot avem semnul lui A. Iar în cazul în care delta este negativ, nu există rădăcini reale. Asta înseamnă că nu mai avem nici măcar acest 0 în tabel, de aceea peste tot vom rămâne cu semnul lui A. Cu alte cuvinte în cazul în care ne dorim să avem un semn constant. Întotdeauna delta trebuie să fie mai mic decât 0 și în acel caz vom avea peste tot semnul lui A și haideți să rezolvăm împreună câteva exerciții. Studiați semnul funcțiilor. F definită per cu valori în R unde f(x) = x 2 + 1. Primul pas egalăm funcția cu 0. Asta înseamnă că vom avea x 2 1 = 0. Este o ecuație de gradul al doilea incompletă. Asta înseamnă că putem să rezolvăm și fără delta. Îl mutăm pe 1 cu adunare în partea dreaptă și atunci obținem că x ^ 2 = 1, de unde obținem că x va fi = + 1 și acum haideți să vedem tabelul. Observăm că avem două rădăcini reale distincte și le vom trece în tabel. Avem x și f de x. Cele două rădăcini în ordine crescătoare, bineînțeles 1 și 1, iar în dreptul lor vom avea 0. Și acum reluăm între rădăcini. Avem semnul contrar lui A. În acest caz observăm că A ul este 1 și este pozitiv. Asta înseamnă că între rădăcini avem minus și în afara rădăcinilor vom avea plus. Ceea ce înseamnă că funcția noastră este negativă în această zonă și este pozitivă în celelalte intervale. Și acum haideți să interpretăm tabelul. Vom avea pentru x din intervalul infinit, și aici e infinit. Pentru x în intervalul minus infinit 1 și x în intervalul 1 infinit. Ar fi trebuit să spun sau. Reiau. Pentru x din intervalul minus infinit 1 sau în intervalul 1 infinit, noi știm că funcția este pozitivă, iar în cazul în care x aparține intervalului 1 1, funcția este negativă și în felul acesta am studiat semnul funcției. Mergem mai departe la punctul B, la fel procedăm. Egalăm cu 0. Asta înseamnă că x 2 + x = 0 din nou avem o ecuație incompletă. Și observăm că am putea să l dăm în factor comun pe x. Din x 2 dacă l am scos în factor comun pe x rămân cu x, iar din x evident rămân cu 1 și acum un produs este 0 dacă unul dintre factori este 0. Asta înseamnă că pe de o parte x = 0, pe de altă parte paranteza x + 1 = 0. Îl mutăm pe 1 cu scădere, asta înseamnă că x = 1, de unde obținem că x este 1 și haideți să vedem tabelul.
[5:05]Și vom avea x și f(x) rădăcinile în ordine crescătoare 0 1, în dreptul lor vom avea 0. Și acum reluăm. Între rădăcini avem semnul contrar lui A, iar în afara rădăcinilor semnului A. Observăm că A ul în acest caz este 1, asta înseamnă că e negativ, de aceea între rădăcini vom avea plus și în afara rădăcinilor avem minus. Ceea ce înseamnă că pentru x din intervalele minus infinit 0 reunit cu 1 infinit, funcția f(x) este negativă, iar pentru x din intervalul 0 1, observăm că funcția f(x) este pozitivă. Nu i așa că e ușor. Haideți să mergem la punctul C, dar ce spuneți, încercați să rezolvați voi singuri și mi spuneți în comentarii care e răspunsul sau cum ați procedat. Haideți să rezolvăm împreună punctul D. Primul pas egalăm cu 0. Haideți să scoatem coeficienții, avem A este 3, B este 2 și C ul este 1. Asta înseamnă că delta va fi b ^ 2 4ac, adică delta este 2 ^ 2 4 * 3 * 1 și atunci delta este 4 12, și atunci delta este un număr negativ.
[8:44]Observăm că delta este 8. Haideți să vedem tabelul. Nu avem două rădăcini. Nu avem rădăcini reale, de fapt. Ceea ce înseamnă că în acest tabel drăguț nu avem rădăcini.
[9:00]Nu avem ce să trecem din punctul acesta de vedere și atunci ce am putea să spunem? Că peste tot în tabel vom avea semnul lui A. În acest caz peste tot în tabel vom avea plus. Ceea ce înseamnă că pentru orice x număr real, funcția f(x) este strict pozitivă. Haideți să mergem mai departe la al doilea exercițiu care va avea mai multe subpuncte. Și avem punctul A. De fapt, să citim întâi enunțul, rezolvați în R inecuațiile: x ^ 2 2x mai mic = 0. Dacă avem de rezolvat o astfel de inecuație, primul pas este să scoatem ecuația atașată sau altfel spus egală cu 0. După care trebuie să rezolvăm această ecuație. Având în vedere că este o ecuație incompletă, am putea să dăm factor comun x și atunci observăm că din x ^ 2 rămânem cu x, iar din 2x rămânem cu 2. Și acum un produs este 0 dacă unul dintre factori este 0, ceea ce înseamnă pe de o parte că primul factor e 0, pe de altă parte al doilea factor ar putea să fie 0, ceea ce înseamnă că avem prima rădăcină x1 = 0 și a doua rădăcină x2 = 2 și haideți să vedem tabelul. Avem cele două rădăcini reale diferite. Avem x și aici nu mai scriem f(x), ci scriem efectiv inecuația x ^ 2 2x. Cele două rădăcini sunt 0 și 2, în dreptul lor avem 0 și acum între rădăcini avem semnul contrar lui A. În acest caz A ul este pozitiv, de aceea între rădăcini avem minus, iar în afara rădăcinilor vom avea plus. Ceea ce înseamnă că haideți să ne uităm. Noi ne dorim ceva mai mic egal decât 0. Unde am obținut în tabel semnul acesta?
[11:05]Ceva mai mic egal decât 0. Observăm că în această zonă, ceea ce înseamnă că x trebuie să aparțină intervalului 0, 2 și acum haideți să stabilim ce fel de interval este. Noi nu ne dorim doar ceva negativ, ne dorim ceva mai mic egal decât 0. Asta înseamnă că am putea să avem și egalitatea cu 0. Din acest motiv, intervalul este închis în ambele capete. Spre exemplu, dacă am fi avut strict mai mic decât 0, atunci x aparține intervalului deschis 0 2. Mergem mai departe la punctul B. Avem x ^ 2 6x + 5 mai mic = 0. Primul pas, scoatem ecuația atașată. Și observăm că de data aceasta nu avem o ecuație incompletă, scoatem coeficienții. A este 1, b este 6, c ul este 5 și aflăm delta, care are formula b ^ 2 4ac. Ceea ce înseamnă 6 ^ 2 4 * 1 * 5. Și atunci delta va fi 36 20. Delta = 16. Este un număr pozitiv, asta înseamnă că vom avea două rădăcini reale distincte. Și aflăm prima rădăcină. b + √Δ / 2a. Asta înseamnă că x1 este egal cu b, adică 6. 6 + √16 = 4 / 2. Și atunci 6 + 4 va fi 10, iar 10 / 2 este 5. Iar pentru a doua a doua rădăcină x2, vom avea 6 4 / 2. 6 4 = 2, iar 2 / 2 va fi 1 și haideți să facem tabelul. Să studiem semnul. Și avem x, iar dedesubt x ^ 2 6x + 5. Cele două rădăcini 1 și 5, în dreptul lor 0. Și acum între rădăcini avem semnul contrar lui A. Adică minus, iar în afara rădăcinilor vom avea plus. Noi ne dorim ceva mai mic egal decât 0. Suntem în această zonă în tabel, asta înseamnă că x aparține intervalului închis 1, 5. Mergem la punctul C, dar ce spuneți, încercați să rezolvați voi singuri și mi spuneți în comentarii care e răspunsul sau cum ați procedat. Haideți să rezolvăm împreună punctul D. Primul pas egalăm cu 0. x 2 + 2x + 1 = 0. Haideți să scoatem coeficienții. Avem a = 1, b = 2 și c ul este 1 și aflăm delta, care are formula b ^ 2 4ac. Asta înseamnă că avem 2 ^ 2 4 * 1 * 1. Asta înseamnă că delta este 4 4 = 0. E 0. Ceea ce înseamnă că avem o singură rădăcină reală. x1,2 = b / 2a. Asta înseamnă că x1,2 va fi 2 / 2 * 1, adică 1. Și haideți să facem tabelul. Avem x și f(x). Rădăcina este 1, în dreptul ei avem 0. Și acum între rădăcini, de fapt nu există zonă între rădăcini. Avem semnul lui A, adică plus. Noi ne doream ceva mai mic egal decât 0. Unde avem egalitate cu 0? Avem egalitate cu 0 în punctul 1. Asta înseamnă că x aparține mulțimii care conține doar elementul 1. Mergem mai departe la punctul H. Avem x ^ 4 2x ^ 3 + x 2 mai = 0. Observăm că nu mai avem ceva de gradul al doilea. Din contră, avem ceva de gradul 4. Așa că vă propun să luăm dedesubt să încercăm să descompunem pentru că nu știm să rezolvăm astfel de inecuații. Observăm că în primii doi am putea să l dăm în factor comun pe x ^ 3. Și atunci am avea din x ^ 4 rămânem doar cu un x și din 2x ^ 3 rămânem cu 2. Și observăm noul factor comun care se formează x 2 / x ^ 3 + 1, nu vă grăbiți pentru că nu am terminat. Trebuie să l descompunem și pe x ^ 3 + 1 folosindu ne de formula de calcul a ^ 3 + b ^ 3, și avem a + b / a ^ 2 - ab + b ^ 2. În acest caz vom avea acest x 2 / x + 1 / x ^ 2 x + 1. Și atunci dacă ne uităm, noi avem de fapt de rezolvat o clipă această inecuație x 2 / x + 1 / x 2 x + 1 > 0. Și ce credeți că vom avea de făcut? Un tabel, bineînțeles. Le egalăm pe fiecare în parte cu 0 și atunci vom avea un tabel foarte frumos. Și avem x 2 = 0, ceea ce înseamnă că obținem rădăcina 2. x + 1 = 0 cu rădăcina 1. x ^ 2 x + 1 = 0. Calculăm delta, și avem 1 totul la 2 4 * 1 * 1. Asta înseamnă că delta este 1 4, adică 3. Din fericire e negativ. Nu există rădăcini, ceea ce înseamnă că peste tot avem semnul lui A. În cazul acesta, observăm că x ^ 2 x + 1 e mereu pozitiv. Aul fiind pozitiv. Și atunci, el nu ne încurcă. În tabel, am putea nici să nu l luăm în calcul pentru că semnul va fi dat de primii doi factori. Dar dacă vreți să facem un tabel complet, haideți să vedem cum ar arăta. Am avea așa, numărătorul, de fapt nu numărătorul, primul factor, al doilea factor, al treilea factor și apoi întregul produs pe ultima linie. Ceea ce înseamnă că vom avea x mai întâi, apoi x 2, apoi x + 1. Apoi x 2 x + 1. Și apoi întregul produs pe care îl voi nota cu p. Mergem din start la partea de gradul al doilea pentru că știm că peste tot vom avea plus. Acum, rădăcina primului factor este 2, în dreptul ei avem 0. Având în vedere că factorul este o funcție de gradul întâi, înaintea rădăcinii avem semnul contrar lui A, după rădăcină avem semnul lui A. Apoi, următoarea rădăcină pentru factorul x + 1 e 1. În dreptul ei avem 0. Înaintea rădăcini, semn contrar lui A, după rădăcină semnul lui A. Acum, e clar că produsul e 0 dacă unul dintre factori e 0 și haideți să studiem semnul înaintea primului 0. Observăm că avem minus, ori minus, ori plus. Minus ori minus, evident, este plus. Mergem mai departe între cele două zerouri. Avem minus pe plus, adică minus. Și la ultimul vom obține ceva pozitiv. Noi ne doream ceva mai mare egal decât 0. Asta înseamnă că vom avea următoarele intervale. X aparține, pe de o parte, intervalului minus infinit 1 închis în 1, reunit cu intervalul de la 2 până la infinit. Și sper că mai sunteți aici pentru că mai avem de rezolvat doar punctul I, care arată foarte bine. Am învățat deja ce trebuie să facem. Dăm totul într o parte. Avem x ^ 4 / x ^ 2 x 1 x ^ 2 x 1 mai mic egal decât 0. Și aș pune într o paranteză x ^ 2 x 1. Mai mic egal decât 0. Pentru a amplifica cu x ^ 2 x 1. Avem numitorul comun x ^ 2 x 1. Îl avem pe x ^ 4. Și observăm că am obține acum x ^ 2 x 1 totul la a doua. Haideți să vedem ce am putea să facem la numărător. Există două variante. Să desfacem acea paranteză sau mă gândesc să facem cu diferență de pătrate. Avem x ^ 4, care este de fapt x ^ 2 totul la a doua. Poate ar fi mai ușor. Poate calculele sunt mai ușoare. Haideți să vedem ce obținem. Avem o dată x ^ 2 x ^ 2 x 1 într o paranteză pe lângă x ^ 2 + x 1 totul mai mic egal decât 0. Ceea ce înseamnă că vom obține numitorul x ^ 2 x 1. În prima paranteză când desfacem avem x ^ 2 x ^ 2 + x + 1. Apoi în a doua paranteză am putea să facem calculul. Avem x ^ 2 + x ^ 2 = 2x ^ 2 x 1. Totul supra x ^ 2 x 1 mai mic egal decât 0. Ce credeți că urmează? Un tabel, bineînțeles. Vom avea din nou un tabel destul de mare. Haideți să mut în partea de sus ce am scris. Pentru fiecare paranteză, fiecare factor sau numitorul respectiv. Și avem o dată x + 1 = 0, ceea ce înseamnă că x este 1. 2x ^ 2 x 1 = 0. Delta va fi 1 ^ 2 4 * 2 * 1. Asta înseamnă că delta este 1 + 8, adică e delta e 9. √ delta va fi 3. Și acum avem rădăcinile, x1,2. b înseamnă 1. 1 + sau 3 supra 2a, 2 * 2 = 4. Și atunci prima rădăcină e 1 + 3 e 4 / 4 = 1 și 1 3 = 2 / 4 = 1/2. Acum, haideți să egalăm și numitorul cu 0. Din nou delta. Avem 1 ^ 2 4 * 1 * 1. Presimt că o să obținem ceva cu radical. Asta înseamnă că avem 1 + 4 și avem 5. Asta este. Și atunci cele două rădăcini vor fi b înseamnă 1 1 + sau 5 / 2a. Haideți să vedem acum acel tabel foarte drăguț. Îl voi face în zona aceasta și avem nevoie de numitor, dar am nevoie de spațiu. Și apoi în zona rămasă va fi toată fracția. Și avem așa. X, x + 1, 2x ^ 2 x 1, x ^ 2 x 1 și toată fracția. Scriu FR de la fracție. Și apoi, haideți să vedem ce obținem. Prima rădăcină. A a lui x + 1 era 1. O și șterg pentru că mă încurcă. În dreptul ei avem 0. Înaintea rădăcini, semn contrar lui A. După rădăcină, semnul lui A. Apoi rădăcinile lui 2x ^ 2 x 1. erau 1 și 1 / 2, dacă îmi amintesc eu bine. În dreptul lor vom avea 0. Între rădăcini avem semnul contrar lui A, în afara rădăcinilor avem semnul lui A. Acum, pentru numitor rădăcinile rădăcinile erau 1 + √5 / 2. Și trebuie să vedem unde le plasăm în acest tabel. √5 se află între √4 și √9, adică între 2 și 3. Dacă adunăm 1, atunci haideți să vedem ce se întâmplă cu prima rădăcină. Vom avea 1 + √5, care se află între 3 și 4.
[24:28]Când împărțim la 2, obținem 1,5, 1 + √5 / 2 și 2. Asta înseamnă că rădăcina 1 + √5 clar este după 1, este mai mare decât 1.
[24:45]O voi scrie în această zonă. Acum, să vedem ce se întâmplă cu a doua rădăcină. Dacă √5 este între 2 și 3, înseamnă că √5 este între 3 și 2. Dacă adunăm 1, obținem 2, mai mic decât 1 √5, mai mic decât 1. Împărțind la 2, obținem 1, mai mic decât rădăcina respectivă, 0,5 sau 1/2. Și atunci observăm că această rădăcină este între cele două. Cred că voi muta acel 0 o clipă pentru a avea mai mult loc. Cred că era 1 și 0 și atunci rădăcina este între cele două. Și acum numitorul avea cele două rădăcini. Între rădăcini avem semnul contrar lui A, în afara rădăcinilor semnul lui A. Acum, când la numărător avem 0, adică aici, aici și aici, fracția este 0. Haideți să studiem semnul înaintea primului 0. Și aș avea așa: minus, plus, plus. Rămâne minus. Apoi mergem în această zonă și observăm că avem plus, plus, minus. Rămâne minus. Apoi avem minus, minus, plus. Apoi avem plus, plus, plus și cu minus înseamnă minus. Și pe ultima rubrică avem plus. Noi ne doream ceva mai mic egal decât 0. Asta înseamnă că x aparține mai întâi intervalului de la minus infinit la 1, închis în 1, pentru că avem ceva mai mic egal decât 0, reunit cu. O parte negativă este și între aceste două numere, adică între atenție, interval deschis, 1 √5 / 2 și 1 / 2, închis în 2 pentru că putem, închis în 1 / 2 pentru că putem să avem acel 0. Și apoi mai avem ceva negativ în zona aceasta. Și acum vom avea reunit cu intervalul de la 1 la 1 + 5 + 1 + √5 / 2, deschis în partea din dreapta, pentru că acolo numitorul ar fi zero. Sper că a fost util clipul de astăzi și vă doresc mult spor la învățat în continuare.
