[0:00]Hola y bienvenidos a otro video de Mate Fácil. En este video vamos a hablar acerca de las operaciones con conjuntos y vamos a ver también el tema de diagramas de Venn. Vamos a ver cosas como las siguientes, la diferencia asimétrica de dos conjuntos, la unión de dos conjuntos. Vamos a ver las definiciones formales y varios ejemplos para que todo esto quede bastante claro. También voy a darles una lista de propiedades para cada una de las operaciones y por supuesto el diagrama de Venn también para cada una de esas operaciones. Vamos a ver por ejemplo, diagrama de Venn para la unión, así como para la intersección, diferencia, diferencia simétrica, etcétera. Entonces, específicamente los temas que veremos en este video son la unión y la intersección con sus diagramas de Venn, la diferencia y diferencia simétrica, también el complemento, el conjunto potencia y el producto cartesiano. Entonces, vamos a empezar directamente con el tema de unión e intersección. Y para entender bien estas operaciones, vamos a empezar con un ejemplo. Tenemos aquí dos conjuntos, el conjunto A con los elementos 1 2 3 4 y el B que tiene como elementos 2 4 6 y 8. Bueno, pues la unión consistirá en reunir en un solo conjunto todos los elementos de A y B. La unión se representa de esta manera, A U B. Esta U que aparece aquí es la que representa la operación de unión entre dos conjuntos, y aquí estamos colocando cuáles conjuntos son los que se van a unir. Entonces, lo que vamos a hacer es en un solo conjunto escribir todos los elementos que tenga el conjunto A, que son 1 2 3 4. Y luego le vamos a añadir los elementos que tiene el conjunto B. Vean que el conjunto B tiene como elemento al número 2, el cual ya escribimos, así que no hace falta volverlo a escribir, porque estaríamos repitiendo un mismo elemento, lo cual no hace ninguna diferencia. Entonces, no es necesario repetir los elementos. Estrictamente hablando, si repitiéramos y volviéramos a escribir el 2, no sería incorrecto, pero estaríamos siendo redundantes. En un conjunto, solamente nos interesa saber los diferentes elementos que pertenecen a él. No es necesario repetirlos varias veces. Entonces, el 2 y el 4 que ya están escritos, no hace falta volverlos a escribir, y solamente añadiríamos el 6 y el 8. Y entonces, todos estos elementos conforman la unión de A y B. La definición exacta de la unión es esta de acá: la unión A unión B consiste de todos los elementos X en el universo del discurso. Esta U que aparece aquí no es la misma U de acá, esta de acá es la operación, esta de acá se refiere al conjunto universo, sí. El conjunto universo es un conjunto más grande que contiene dentro todos los elementos de A y todos los elementos de B y puede contener más elementos. Por ejemplo, en este caso para estos dos conjuntos, un conjunto universo podría ser el conjunto de todos los números enteros. Otro conjunto universo podría ser el conjunto de todos los números reales. Incluso puede ser un conjunto pequeño como, por ejemplo, el conjunto de los números que van del 1 al 10, los números naturales del 1 al 10. Ese también sería un posible conjunto universo. Bueno, pues entonces, serán todos los elementos de ese conjunto universo que cumplan esto de acá, que estos elementos X pertenecen a A o pertenecen a B. Este símbolo de aquí, recordemos que es el conectivo lógico que representa la disyunción. Recuerden que esto significa que este de acá debe ser verdadero, o este de acá debe ser verdadero, o también ambos pueden ser verdaderos al mismo tiempo. Por ejemplo, en este caso, el 1 pertenece a A, mientras que el 2 pertenece a A, pero también pertenece a B. Bueno, pues también va a estar en la unión porque es suficiente con que cumpla una de las dos, o puede cumplir ambas. Entonces, esa es la definición precisa de la unión. Ahora veamos cómo es el diagrama de Venn para esta unión. En el diagrama de Venn, nosotros primero dibujamos el conjunto que representa nuestro universo. A veces se omite este conjunto, o a veces se incluye. Yo lo voy a incluir aquí. Entonces, luego, dentro de este conjunto, van a estar nuestros conjuntos A y B, los cuales generalmente representamos mediante círculos, así como pueden ver aquí. Entonces, todo esto de aquí representará el conjunto A y todo este de acá representa el conjunto B. Entonces, la unión la vamos a sombrear y representará todo lo que está dentro de estos dos conjuntos, todo lo de A y todo lo de B. Toda esta región de aquí en gris representa la unión de los dos conjuntos. Y para entenderlo mucho mejor, bueno, pues podemos escribir los elementos de cada conjunto dentro de su respectivo círculo. Esto no es totalmente necesario en los diagramas de Venn, pero podemos hacerlo cuando es sencillo, como en este caso. Por ejemplo, el conjunto A tiene como elementos 1 2 3 y 4. Entonces, los dibujamos aquí, 1 2 3 y 4. Para el B, tenemos 2 4 6 y 8, 2 4 6 y 8. Observen que el 2 y el 4 deben quedar aquí en medio, que es la región común a la A y a la B, porque pertenecen a los dos al mismo tiempo. Bueno, pues eso es con respecto a la unión. Ahora, para el caso de la intersección, lo que hacemos es colocar en un solo conjunto los elementos que coinciden en ambos A y B. En este caso, la intersección se representa con este símbolo. Vean que es como el símbolo de la unión, pero volteado hacia abajo, eso representa la intersección. Entonces, nos fijamos qué elementos coinciden en el conjunto A y en el conjunto B. Vean que el 2 está en ambos conjuntos y el 4 también está en ambos conjuntos. Esos son los los elementos que coinciden. Por lo tanto, en la intersección, vamos a escribir solamente estos elementos, el 2 y el 4, que son los únicos elementos que coinciden. La definición formal es esta de acá: la intersección de A con B consiste de los elementos en el conjunto universo tales que X está en A y también X está en B. Vean que aquí el conectivo lógico ahora es la conjunción, o sea, que significa y. Y eso significa que se deben cumplir las las dos condiciones al mismo tiempo. Si una de ellas falla, entonces ya la conjunción es falsa. Por ejemplo, en este caso, el 2 pertenece tanto a la A como a la B, pero vean que el 1, el 1 solamente pertenecería a la A y no pertenecería a la B, por lo que esto de aquí no se cumple para el 1 y por eso el 1 no está en la intersección. Bueno, pues vamos a ver ahora el diagrama de Venn para esta intersección. Dibujamos, como antes, primero un rectángulo grande que representará nuestro conjunto universo. Dentro de este rectángulo, dibujamos dos círculos que representan al conjunto A y al B. Y en este caso, la intersección se refiere a la región que hay en común entre estos dos círculos, la región de aquí en medio. Esta región es la intersección. Podemos verlo más fácil si colocamos otra vez los números que pertenecen a los conjuntos y en este caso vemos aquí claramente que la intersección se forma con el 2 y el 4, que son los elementos que están a la vez en A y en B. Bueno, pues vamos a ver una lista de propiedades para la unión e intersección. Son un montón de propiedades, eh, para empezar, tenemos que A unión A es igual al propio conjunto A. O sea, si un conjunto lo unimos con el mismo, obtenemos el mismo conjunto. Si unimos el conjunto A con el conjunto vacío, también se obtiene solamente el conjunto A. Luego también la unión es una operación conmutativa, es decir, A unión B es lo mismo que hacer B. La unión también es una operación asociativa, podemos hacer primero A unión B y luego el resultado hacerlo unión C, o podemos primero hacer A unión con el resultado de B unión C. Eso es cuando tenemos tres conjuntos y esto nos permite que cuando tengamos una unión de varios conjuntos, no sea necesario especificar con paréntesis cuál unión hay que hacer primero, porque da lo mismo, sí. Luego para la intersección tenemos propiedades similares. A intersección A es igual al propio conjunto A, mientras que A intersección con el conjunto vacío nos da como resultado el vacío. Luego tenemos que la intersección también es conmutativa y también es asociativa. Además, la unión y la intersección se relacionan con esta propiedad y esta de acá, que son las leyes distributivas. Es parecido a cuando el producto distribuye a la suma en un polinomio. Bueno, pues aquí es algo similar. Imagínense que la U es como el producto y que la intersección es como la suma, entonces tenemos A por B más A por C, aquí está. Y lo mismo acá abajo, solamente cambiando estos símbolos, sí. Entonces, la unión distribuye a la intersección y la intersección distribuye a la unión. Luego tenemos también estas dos propiedades que relacionan a la unión y la intersección, que en realidad son muy sencillas y se pueden ver fácilmente con diagramas de Venn. Yo les recomendaría que ustedes lo hicieran con diagramas de Venn para que vean que es muy evidente, sí. Luego, tenemos que cualquier conjunto A es un subconjunto de la unión de A con cualquier otro conjunto y lo mismo ocurre con la B. O sea, la A es la es subconjunto de A unión B y la B también es subconjunto de A unión B. Mientras que para el caso de la intersección, la intersección de dos conjuntos es subconjunto de cualquiera de los dos conjuntos iniciales, tanto del A como del B. Ahora, para que A unión B sea igual al conjunto A, esto solamente se va a cumplir si el conjunto B es un subconjunto del conjunto A, sí. Para el caso de la intersección, tenemos lo siguiente, que la intersección de dos conjuntos va a ser igual al conjunto A, solo si A es un subconjunto de B. Y para el caso de que A sea un subconjunto de B, si unimos con un tercer conjunto, digamos C, se mantiene la contención, es decir, A unión C, también es subconjunto de B unión C. Y lo mismo tenemos para el caso de la intersección, se conserva la contención. Bueno, y luego tenemos que si A es un subconjunto de C y también B es un subconjunto de C, bueno, pues la unión también va a ser un subconjunto de C. Algo análogo para la intersección sería que si C es un subconjunto de A y C es un subconjunto de B, entonces C será un subconjunto de A intersección B. Bueno, estas son algunas propiedades, hay algunas propiedades más, pero yo diría que estas son las más importantes, tanto para la unión como para la intersección, y, por supuesto, todas estas propiedades se deben demostrar, sí. Todas ellas se demuestran a partir de la definición que dimos hace un momento para la unión y para la intersección. Las demostraciones no las voy a hacer en este video porque si no se alargaría bastante, pero bueno, pues las puedo dejar para otro video más adelante. Déjenme en los comentarios si les interesaría ver cómo se realizan las demostraciones de estas propiedades, y si veo que este video recibe varios comentarios solicitando las demostraciones, con mucho gusto prepararé otro video donde mostraré las demostraciones de todas estas propiedades o al menos de las más importantes. Bueno, pues ahora pasemos a la diferencia y diferencia simétrica. De nuevo, tomemos los dos conjuntos del inicio, conjunto A y conjunto B. Y la diferencia en este caso va a consistir en los elementos que están en A, pero no en B. O sea, nos fijamos cuáles elementos están aquí, pero de estos elementos los que no estén también acá y con eso formamos un conjunto. Ese conjunto va a ser la diferencia. La diferencia tiene dos posibles notaciones, dependiendo del autor que consulten o del profesor que les esté dando esta clase. A veces se usa la diagonal en este sentido, vean que es en el sentido opuesto a la a la otra diagonal que suele representar una división. En este caso va así o también con el menos como lo hacemos en el caso de la resta de números, sí. Bueno, pues cualquiera de estos dos símbolos representa la diferencia de dos conjuntos. Y bueno, pues en este caso, entonces, empezaríamos con el conjunto A. De aquí vamos a quitar los elementos que veamos que también están en B. Por ejemplo, el 2, vemos que está en B, entonces el 2 lo quitamos. Vemos que el 4 también está en B, así que el 4 también lo quitamos. El 1 y el 3 no se quitaron porque estos no están en B. Entonces, la diferencia va a consistir justamente de los elementos que nos quedaron, el 1 y el 3. Esa es la diferencia. Vean que no es lo mismo hacer la diferencia A menos B que hacer la diferencia B menos A. Porque en el caso de la diferencia B menos A, tendríamos que quitar del conjunto B los elementos que también estén en el conjunto A. Es decir, en este caso tendríamos que quitar el 2 y el 4 del conjunto B y quedarnos con los demás, que son el 6 y el 8. Bueno, pues este es el conjunto B menos A y podemos ver que es diferente del A menos B. Entonces, hay que tener cuidado con el orden en el que se realiza la resta de conjuntos. Bueno, pues la definición formal es esta de acá: A menos B consiste de los X en el universo tales que X esté en el conjunto A, pero X no esté en el conjunto B. Vean que aquí otra vez tenemos una conjunción, se deben cumplir estas dos condiciones al mismo tiempo. Bueno, y el diagrama de Venn en este caso, bueno, pues será diferente para A menos B o para B menos A. Vamos a ver ambos diagramas. Bueno, pues empezamos con nuestro rectángulo que representa al conjunto universo. Dentro dibujamos los dos círculos que son el conjunto A y el B. Y si hacemos la diferencia A menos B, bueno, pues a todo el círculo que está en A, le quitamos el pedacito que también esté en B y entonces nos quedamos con esta parte de acá, esta parte sombreada. Bueno, pues esto representa la resta A menos B. Es como a todo el círculo completo A haberle quitado este pedazo de acá, que es el que coincide también con el conjunto B. Para la otra diferencia que es B menos A, bueno, pues estaríamos tomando el conjunto B y quitándole este pedacito de aquí y entonces nos quedamos con esta parte de acá. Esta parte de acá representaría B menos A. Bueno, pues ahora para la diferencia simétrica, consideremos igual que antes estos dos conjuntos. Y en el caso de la diferencia simétrica, lo que vamos a hacer es quitar los elementos que hay en común en ambos conjuntos y reunir los restantes, vean que es diferente a la diferencia que vimos hace un momento. Vamos a ver cuál es la diferencia exactamente. La diferencia simétrica se representa con un triangulito así, es la diferencia simétrica. Y entonces, lo primero que hay que hacer es quitar los elementos comunes que, como ya hemos visto, son el 2 y el 4. Entonces, nos fijamos cuáles quedaron. Quedaron para la A el 1 y el 3 y para el B el 6 y el 8. Bueno, pues todos esos elementos los reunimos en un solo conjunto, 1 3 6 y 8. Y esta es la diferencia simétrica. Entonces, vean la diferencia entre esto y la diferencia que vimos antes, ¿no? En el caso de A menos B, nos estaríamos quedando solo con los elementos de A. En el caso de B menos A, nos estaríamos quedando solo con los elementos aquí de B. Y en el caso de la diferencia simétrica, estaríamos tomando tanto los que hay en A y hay en B, pero que no estén en común en ambos. La definición formal es esta de acá: la diferencia simétrica de A con B se calcula haciendo la unión de A con B y quitándole la intersección. Esta es una definición. Otra definición que es equivalente es hacer A menos B y luego eso unirlo con B menos A. Estas dos definiciones son equivalentes, aunque claro, eso hay que demostrarlo. Hay que demostrar que esta operación nos da como resultado el mismo conjunto que esta operación. Bueno, y el diagrama de Venn para la diferencia simétrica es el siguiente. Primero, dibujamos aquí el rectángulo que es el universo, ahora sí es indispensable dibujarlo, y adentro colocamos el círculo que representa el conjunto A. Entonces, el complemento de A será todo lo que esté afuera de este círculo, pero adentro del universo. Es decir, toda esta parte en gris que está aquí, eso representa el complemento. Bueno, y algunas propiedades para la diferencia y la diferencia simétrica son las siguientes. Si hacemos la resta A menos A, bueno, eso nos da como resultado el conjunto vacío. Mientras que si hacemos A menos el vacío, eso nos da A. Ahora, si hacemos A menos B unión B menos A, esto es lo mismo que A unión B menos A intersección B. Es la propiedad que les mencioné hace un momento, que precisamente nos permite definir la diferencia simétrica de cualquiera de estas dos maneras. Luego tenemos que si hacemos la resta A menos B y luego hacemos esto con la intersección con B, bueno, pues eso nos da como resultado el conjunto vacío. Esto se puede ver fácilmente a partir del diagrama de Venn. Y la diferencia de A menos B siempre será un subconjunto de A. A menos B será exactamente igual al conjunto A, solamente cuando la intersección A con B sea igual al conjunto vacío. Y A menos B es igual al vacío, si y solo si A es un subconjunto de B. Además también tenemos dos leyes muy importantes y que se usan mucho en matemáticas y que es muy importante que se las aprendan, que son las leyes de De Morgan. Que nos dice que si hacemos la diferencia A menos la unión de dos conjuntos, esto es lo mismo que hacer A menos B intersección A menos C. Vean cómo aquí teníamos una unión y luego acá cambia por una intersección. Y también si cambiamos aquí por una intersección y acá por una unión, tenemos la otra ley de de Morgan. A menos B intersección C es lo mismo que A menos B unión con A menos C. Bueno, y para el caso de la diferencia simétrica, tenemos que A diferencia simétrica con A es el vacío, y que A diferencia simétrica con el vacío es A. La diferencia simétrica es conmutativa y es asociativa. Vean que estas dos propiedades no las cumple como tal la diferencia de conjuntos, pero sí las cumple la diferencia simétrica. Además, la diferencia simétrica se comporta bien también con la intersección. De hecho, la intersección distribuye a la diferencia simétrica. Si tenemos A intersección diferencia simétrica de B con C, bueno, pues eso es A intersección B, diferencia simétrica de A intersección C. Entonces, esa propiedad también está interesante. Todas estas propiedades se pueden demostrar a partir de las definiciones que les di hace un momento. Entonces, de nuevo, estas no las voy a hacer en este video, pero si quieren ver las demostraciones de estas propiedades, puedo hacerlas en otro video. Déjenme en los comentarios si les interesaría ver esas demostraciones. Bueno, pues pasemos ahora al complemento de un conjunto. Tomemos como ejemplo de nuevo los conjuntos A y B. Y para el caso del complemento, es importantísimo indicar cuál es el conjunto universo. Porque precisamente el complemento depende del universo, sí. No va a ser el mismo complemento si tomamos el universo, por ejemplo, como todos los números naturales, que si tomamos como universo solamente los números que van desde el 1 hasta el 10. Son complementos diferentes. En un momento va a quedar claro esto. Entonces, para este ejemplo, vamos a suponer que el conjunto universo son los números naturales desde el 1 hasta el 10, todos estos elementos. El complemento consiste en un conjunto formado por los elementos del universo que no están en A, esto en el caso del complemento de A, sí. El complemento se representa con una C pequeña aquí arriba, aunque hay otras notaciones, dependiendo del autor, a veces también se le pone una línea horizontal o una coma. Bueno, aunque esas notaciones no me gusta a mí mucho usarlas porque luego se usan más adelante en matemáticas más avanzadas. Entonces, me parece mejor usarlo así directamente con una C aquí que, además, deja muy claro que se trata del complemento. Bueno, pues en el caso del conjunto A, el complemento consiste de todos los elementos que no están en A, pero que están en el universo que estemos tomando en en consideración. En este caso, entonces, de aquí del universo, bueno, pues quitaríamos el 1 2 3 y 4 y nos quedamos con los demás, 5 6 7 8 9 y 10. Ahí está. Para el caso del complemento de B, bueno, pues quitaríamos 2 4 6 y 8 de acá y nos quedamos con los demás, que son estos de aquí. Entonces, la definición formal del complemento son las X del universo tales que X no está en el propio conjunto A. Otra definición, que es equivalente, es que el complemento de A consiste en hacer la diferencia U menos A. Sí, esto con lo que vimos hace un momento de diferencia, pueden ver ustedes que es equivalente. Y el diagrama de Venn para el complemento de A es muy sencillo. Empezamos dibujando, ahora sí, el rectángulo que es el universo, ahora sí es indispensable dibujarlo, y adentro colocamos el círculo que representa el conjunto A. Entonces, el complemento de A será todo lo que esté afuera de este círculo, pero adentro del universo. Es decir, toda esta parte en gris que está aquí, eso representa el complemento. Bueno, pues ahora una lista de propiedades para el complemento. El complemento del universo es el conjunto vacío, y el complemento del vacío es el conjunto universo. Además, el complemento del complemento de un conjunto es el propio conjunto. Y si hacemos la unión de un conjunto con su complemento, eso nos da como resultado al conjunto universo completo, sí. Mientras que la intersección de un conjunto con su complemento es igual al vacío. Estas dos propiedades se ven también muy fácil a partir de los diagramas de Venn. Y la resta de dos conjuntos, A menos B, también se puede expresar como A intersección el complemento de B. Además, A es un subconjunto de B, si y solamente si el complemento de B es un subconjunto del complemento de A. Vean que se cambia el orden de la contención si tomamos los complementos. Y las leyes de De Morgan quedan expresadas de una forma muy bonita si usamos la notación de complemento. Porque simplemente estaríamos diciendo que el complemento de A unión B es lo mismo que la intersección de los complementos, mientras que el complemento de la intersección es la unión de los complementos. Entonces, queda bastante bonita las fórmulas allí, y pues son las mismas fórmulas que vimos antes con la anotación de diferencia de conjuntos, solamente que usando complementos.
[22:48]Bueno, ahora veamos qué es el conjunto potencia. Y vamos a hacerlo con este ejemplo, el conjunto A que hemos estado utilizando. El conjunto potencia consta de todos los subconjuntos de A. Entonces, bueno, una definición más formal. Un elemento X va a pertenecer al conjunto potencia de A, sí y solamente sí esta X es un subconjunto de A, sí. O sea, es lo mismo esto que esto de acá. Entonces, para poder escribir nuestro conjunto potencia, primero vamos a listar todos los posibles subconjuntos del conjunto A. Y aquí yo recomiendo hacerlo por el número de elementos, es decir, de los subconjuntos de A, cuántos tienen cero elementos. Bueno, pues cero elementos quiere decir que no tiene ningún elemento, y sabemos que solo hay un conjunto que cumple esto, que es el conjunto vacío. Luego, cuántos hay que contengan exactamente un elemento. Bueno, pues está el conjunto que solo tiene al 1, el conjunto que solo tiene al 2, que solo tiene al 3 y el que solo tiene al 4. Luego, los conjuntos que tienen dos elementos. Bueno, pues el que tiene 1 2, 1 3, 1 4, 2 3, 2 4 y 3 4. Estos son todos los posibles conjuntos que solo tienen dos elementos. Luego, los que tienen tres elementos. Bueno, pues son estos de acá. Para el caso de los que tienen tres elementos, podemos pensarlo como, bueno, pues el conjunto que no tiene al 4, luego el que no tiene al 3, el que no tiene al 2 y el que no tiene al 1. Y finalmente el conjunto que tiene cuatro elementos, bueno, pues es el conjunto completo. No hay un conjunto que tenga cinco elementos, porque el propio conjunto original tiene cuatro. Entonces, con esto ya hemos terminado de listar todos los subconjuntos del conjunto A, sí. Además, aquí un detalle, el número de subconjuntos de un conjunto finito es igual a 2 elevado a N, donde N es el número de elementos del conjunto original. En este caso, el conjunto original tiene cuatro elementos, así que debe haber 2 elevado a 4 subconjuntos, es decir, 16 subconjuntos. Y aquí ustedes pueden contar que son 16. 1 2, luego aquí hay 4 y 4 son 8, ahí van 10 y acá son otros 6, entonces son 16. Bueno, pues entonces el conjunto potencia de A es un conjunto que contiene a todos estos como elementos. O sea, tiene al vacío, tiene el conjunto que solo tiene al 1, y así, sí. Todos estos de aquí, simplemente los colocamos así, listados allí con sus comillas, con sus comas, perdón, y luego los encerramos entre llaves. Y de esa manera ya tenemos ahí el conjunto potencia. Bueno, ahora vamos a ver el producto cartesiano. Y para eso vamos a tomar como ejemplo los conjuntos originales A y B, los que hemos estado utilizando. Y la definición formal en este caso para el producto cartesiano es que A producto cartesiano con B es igual al conjunto formado por las parejas ordenadas X coma Y, tales que X está en A y Y está en B. Sí, entonces hay que escribir todas esas posibles parejas ordenadas. Vean que, como estamos haciendo A cruz B, bueno, pues el el primer elemento debe ser del conjunto A. Es decir, que el primer elemento puede ser cualquiera de estos cuatro, y el segundo elemento debe ser de B. Sí, entonces, una forma de listar todos los pares ordenados es primero escribir todos los que tengan como primer elemento al uno. Entonces, está el 1 2, 1 4, 1 6 y 1 8. Vean que el primer elemento es el 1, y el segundo elemento es cada uno de los de B. Sí, entonces, tenemos cuatro elementos cuyo primer elemento es el 1. Luego, los que tengan como primer elemento al 2. Y el segundo elemento es cualquiera de estos cuatro. Entonces, tenemos 2 2, 2 4, 2 6 y 2 8. Luego, que el primer elemento sea el 3. Bueno, pues de nuevo aquí ponemos el primer elemento 3, y el segundo elemento es cada uno de estos cuatro. Y finalmente que el primer elemento sea el 4, y el segundo sea cada uno de estos de acá. En total, entonces, tenemos 16 parejas ordenadas. Entonces, estos 16 elementos los reunimos en un solo conjunto, y ese conjunto es el producto cartesiano de A con B. Pueden ustedes ver que no es lo mismo hacer el producto cartesiano de A con B que hacer el de B con A, o sea, poner B cruz A sería diferente, porque ahí los primeros elementos ya no van a ser 1 2 3 y 4, sino que van a ser 2 4 6 y 8. Y no es lo mismo, por ejemplo, 1, 6 que 6, 1. Por eso se les llama pares ordenados porque el orden importa. Bueno, y algunas propiedades, tanto del producto cartesiano como del conjunto potencia, son las siguientes. El conjunto potencia de cualquier conjunto A siempre es distinto del vacío, sí, esto para cualquier conjunto A. O sea, nunca van a encontrar un conjunto cuya cuyo conjunto potencia sea igual al vacío. Además también el conjunto potencia es distinto del propio conjunto original A para cualquier conjunto A. Luego, si hacemos el producto cartesiano de A con el vacío, eso es el vacío, tanto si lo hacemos por la derecha como si lo hacemos por la izquierda. Y lo que les mencionaba que el producto cartesiano en general no es conmutativo. Sí, puede haber ejemplos de conjuntos en los que sí coincidan, de hecho cuando A es igual a B, ahí van a coincidir. Pero en general no lo son. A cruz B no es lo mismo que B cruz A. Tampoco es asociativa, así que también hay que tener cuidado con el orden en el que realizamos el producto cartesiano. Y el producto cartesiano se comporta bien con la unión, la la distribuye. Entonces, A cruz B unión C, bueno, pues es lo mismo que A cruz B unión A cruz C. Y lo mismo por la izquierda, si aquí está la unión, bueno, pues va a ser A cruz C unión B cruz C. Es necesario listar ambas porque, como hemos dicho acá arriba, no es conmutativa, entonces aquí solamente se estaría cumpliendo para el segundo elemento del producto cartesiano, mientras que aquí se cumpliría para el primero. Luego, para la intersección es lo mismo. También se comporta bien, y de hecho también para la diferencia se comporta bien el producto cartesiano.
[30:04]Finalmente hay otra propiedad interesante y es que si tenemos cuatro conjuntos que no sean vacíos y que cumplan que A cruz B sea igual a C cruz D, entonces se puede concluir que A es igual a C y que B es igual a D. Estas son entonces algunas de las propiedades del conjunto potencia y del producto cartesiano. Y de nuevo, todas estas se pueden demostrar a partir de la definición que hemos dado. Déjenme en los comentarios si les gustaría ver en otro video cómo se realizan las demostraciones de estas propiedades. Además también vamos a ver varios ejemplos de todas estas operaciones, intersecciones, diferencias, producto cartesiano y potencia. Vamos a resolver estos 20 ejercicios del libro de Álgebra Superior de Carmen Gómez. Recuerden que estoy resolviendo los demás ejercicios también de este libro. Así que si aún no han visto esos videos, les dejaré en la descripción el enlace a la lista de reproducción y ahí podrán consultar los demás videos, además de este de aquí, donde voy a resolver todas estas operaciones con estos conjuntos y todo va a quedar bastante más claro. Así que los invito a que vean el enlace en la descripción y ahí pueden acceder a esa lista de reproducción. Antes de terminar, agradezco infinitamente a todos los miembros del canal que con su gran apoyo hacen posible que siga subiendo nuevos videos y más cursos. De esta manera, ustedes me ayudan a contrarrestar un poquito los efectos del algoritmo de YouTube que no siempre beneficia a los canales educativos. De verdad, muchas gracias por todo su apoyo.
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