[0:03]Első tétel: Halmazok, halmazműveletek, ponthalmazok síkban és térben. Feleletemben beszélni fogok a halmazokkal kapcsolatos jelölésekről, fogalmakról, a részhalmaz fogalmáról, az n elemű halmaz részhalmazainak számáról, halmazműveletekről, nevezetes ponthalmazokról, a kúpszeletekről, valamint a látószögkörről, és a végén az alkalmazásokról. A halmaz, valamint a halmaz eleme, alapfogalom, nem definiáljuk azokat. A halmaz jelölésére nagybetűt használunk, például A, B, C, satöbbi. A halmazok megadása többféleképpen történhet. Az első, az elemei felsorolásával, például A = {1, 2, 3, 4} elemekből álló halmaz. Itt megemlítjük a következő jelölést: az 1 eleme az A halmaznak. A 7 nem eleme az A halmaznak. Második megadási mód lehet az egyértelmű utasítás megfogalmazása, például, B halmaz legyen egyenlő az első 10 prím szám halmazával. Ez egyértelműen meghatározott, el tudjuk dönteni, hogy egy objektum eleme-e ennek a halmaznak vagy sem. A harmadik megadási mód a matematikai szimbólumok használata, például, a C halmaz legyen olyan egész számok halmaza, amelyek abszolút értéke nem nagyobb 5-nél. És megadhatjuk a halmazokat Venn diagramm segítségével is. Erre jó példa az alábbi. A D halmaz legyen az A, B, C elemek halmaza. Két halmaz egyenlő, ha pontosan ugyanazokat az elemeket tartalmazzák, vagyis A halmaz egyenlő a B halmazzal, ha valahányszor x eleme A-nak, mindannyiszor x eleme B-nek, és fordítva, valahányszor y eleme a B-nek, mindannyiszor y eleme az A halmaznak is. Az olyan halmazt, aminek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jelölése, vagy két kapcsos zárójel és közöttük semmi, vagy egy nulla áthúzva. Most rátérnék a részhalmaz fogalmára. A részhalmaza a B-nek, ha A minden eleme eleme a B-nek is, azaz ha x eleme A-nak, akkor x eleme B-nek is. Itt meg kell említenünk a valódi részhalmaz fogalmát. Egy halmaz, mondjuk A, valódi részhalmaza a B-nek, ha A részhalmaza a B-nek, és A nem egyenlő a B-vel. A részhalmaz fontos tulajdonságai: az üres halmaz bármely halmaznak részhalmaza, bármely halmaz részhalmaza önmagának. Ha A részhalmaza a B-nek, és B részhalmaza a C-nek, akkor A részhalmaza a C-nek. Itt most kitérnék arra a tételre, amit bizonyítani szeretnék. Ez pedig az n elemű halmaz részhalmazainak száma kettő az n-edikén. Nézzünk erre egy kombinatorikai bizonyítást. Ha az A halmaz üres halmaz, akkor az elemeinek a száma nulla. A részhalmazainak a száma egy, önmaga, és kettő a nulladikon is egy. Tehát üres halmaz esetén igaz az állítás. Most tegyük fel, hogy az A halmaz nem üres halmaz, tehát legalább egy eleme van. Legyen az A halmaz A = {a1, a2, a3, ..., an-1, an} elemekkel rendelkező n elemű halmaz. És most alkalmazzuk azt a módszert, ami a kombinatorikában nagyon hasznos feladat megoldási módszer, azaz készítsünk egy megfelelő modellt a részhalmaz kiválasztására. Erre nagyon jó lehetőséget nyújt egy megfelelő kódolás. Ez a kódolás legyen az, hogyha egy elemet kiválasztunk egy részhalmazba, akkor az alá írjunk egyet, ha nem választjuk ki, akkor írjunk nullát. Így a következő megfeleltetés hozható létre. Például, ha az a1-nek egyes kód, az a2-nek nulla, az a3-nak egyes, az összes többi elemnek nulla kód felel meg, akkor ez a következő részhalmaz kiválasztásával egyenértékű: {a1, a3} két elemű halmaz. Ha mindegyik elemnek a nulla kódot feleltetjük meg, akkor ez a kódolás az üres halmazt adja meg. Ha mindegyiknek az egyes kódot, akkor pedig az A halmazt kapjuk. Ha az a1, a3, a5 részhalmazt szeretnénk kiválasztani, akkor az a1, a3, a5 elemeknek az egyes kódot, a többinek a nullát választjuk meg. Így minden egyes 0-1 számokból álló n tagú kódnak az A halmaz pontosan egy részhalmaza felel meg,
[5:03]és a különböző kódoknak különböző részhalmazok, valamint minden egyes részhalmaznak pontosan egy ilyen kód felel meg, a különböző részhalmazoknak különböző kódok. Ezzel az n tagú kódok halmaza, valamint az A halmaz részhalmazainak halmaza között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés hoztunk létre, vagyis pontosan annyi n tagú kód van, mint ahány részhalmaza van az A halmaznak. A kódok száma 2 * 2 * ... * 2, ami = 2^n, mivel mindegyik helyre két szimbólum közül választhatunk. Így az n elemű halmaz összes részhalmazainak a száma 2^n. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. Most rátérünk a halmazműveletekre. Azt az alaphalmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai, univerzumnak nevezzük. A halmazműveletek a következők: első unióképzés. Az A és B halmaz uniója azon elemek halmaza, amelyek az A és a B halmaz közül legalább az egyik halmaznak elemei. Metszetképzés: A és B halmaz metszete azon elemek halmaza, amelyek mind az A-nak, mind a B halmaznak elemei. Különbségképzés: A különbözet B, azon elemek halmaza, amelyek az A-nak elemei, de a B-nek nem. Az A halmaz komplemense pedig azon elemek halmaza, amelyek nem elemei az A halmaznak, vagyis az univerzum különbözet A halmaz elemei. Az unió és a metszetképzésnek a következő műveleti tulajdonságai vannak: Mind a kettő kommutatív, asszociatív, és az unióképzés disztributív a metszetképzésre nézve, illetve a metszetképzés disztributív az unióképzésre nézve. Ez a következőt jelenti: A unió B metszet C egyenlő A unió B metszet A unió C. A metszet B unió C az egyenlő A metszet B unió A metszet C. Ezen kívül megemlítenék még néhány tulajdonságot: az A unió üres halmaz egyenlő az A halmazzal, az A metszet üres halmaz egyenlő üres halmazzal. Az A unió A egyenlő az A halmazzal. Az A metszet A is egyenlő az A halmazzal. És most térjünk rá a síkbeli, illetve térbeli ponthalmazokra. A kör azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól adott távolságra vannak. Az adott pont, itt ilyen esetben az O pont, a kör középpontja. Az adott távolság pedig a kör sugara. Ennek térbeli változata, a gömb, azon pontok halmaza, melyek egy adott ponttól adott távolságra vannak. Az adott pont a gömb középpontja, az adott távolság pedig a gömbsugara. További ponthalmazok: szakaszfelező merőleges. Az AB szakasz szakaszfelező merőleges olyan egyenes, amely merőleges a szakaszra, és felezi azt. Ezzel kapcsolatosan megfogalmazható egy tétel. A szakaszfelező merőleges olyan pontok halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól egyenlő távolságra vannak. A szakaszfelező merőleges térbeli megfelelője a szakaszfelező merőleges sík, amely merőleges a szakaszra, és felezi azt. Ezzel kapcsolatosan ugyanúgy megfogalmazható egy tétel. Azon pontok halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától. Következő a szögfelező. A konvex szög szögfelezője olyan félegyenes, amely két egyenlő nagyságú részre osztja a szöget. Ezzel kapcsolatosan ugyanúgy megfogalmazhatunk egy ponthalmazos állítást. A konvex szög szögfelező félegyenese olyan pontok halmaza a szögtartományban, melyek egyenlő távolságra vannak a szög két szárától. A szögfelezőt megfogalmazhatjuk két metsző egyenesre is. Két metsző egyenes által létrehozott szögek szögfelezői azon pontok halmaza a síkon, melyek a két egyenestől egyenlő távolságra vannak. A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy adott egyenestől, a vezéregyenestől, valamint egy rá nem illeszkedő ponttól, a fókuszponttól egyenlő távolságra vannak. Az ellipszis olyan pontok halmaza a síkon, melyekre teljesül, hogy két adott, különböző ponttól mért távolságaik összege állandó. Ez az állandó nagyobb, mint a két pont távolsága. A hiperbola azon pontok halmaza a síkon, melyekre teljesül, hogy két különböző adott ponttól mért távolságaik különbségének az abszolút értéke állandó, és ez az állandó kisebb, mint a két pont távolsága. A parabolát, az ellipszist, a hiperbolát, a kört, valamint az egyenest is nevezhetjük kúpszeletnek. Azért, mert kivághatók egy kúból egy-egy megfelelő síkkal.
[10:12]Még néhány fontos ponthalmaz: három egyenestől egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon. Hogyha a három egyenes párhuzamos, akkor nincs ilyen. Ha két egyenes párhuzamos a harmadik pedig metsző őket, akkor két ilyen pont van. Ez a két pont rajta van a két párhuzamos egyenes középpárhuzamosán. Ez egy olyan egyenes, amely a kettő között halad, mindkettőtől egyenlő távolságra van. És ebből a középpárhuzamosból ezt a két pontot a létrejövő szögtartományok szögfelezői metszik ki. Ha a három egyenes közül semelyik kettő sem párhuzamos, és nem mennek át egy ponton, akkor egy háromszöget hoznak létre, és ebben az esetben négy ilyen pont van. Ezek a pontok a külső, illetve belső szögfelezők metszéspontjai. Az egyik a beírható kör középpontja, három pedig a háromszög hozzáírható köreinek középpontja. Ha a három egyenes metszi egymást, akkor egy ilyen pont van. Következő a három ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon. Ha a három pont egyenesre esik, akkor nincs ilyen pont. Ha a három pont nem esik egy egyenesre, akkor egy ilyen pont van, ami az oldalfelő merőlegesek metszéspontja, és ez egyben a háromszög köré írható körének is a középpontja. Ez a pont a hegyesszögű háromszög esetén a háromszögön belül van. Derékszögű háromszög esetén az átfogó felezőpontja. Tompaszögű háromszög esetén pedig a háromszögön kívül helyezkedik el. Még meg kell említenünk egy fontos tételt, ez pedig a látószögkör tétel. Azon pontok halmaza a síkon, amelyből egy adott szakasz alfa szög alatt látszik, ahol az alfa az nagyobb, mint 0 fok, és kisebb, mint 180 fok. Két szimmetrikus körív, melyek közös húrja az adott szakasz. A szakasz két végpontja nincs benne a ponthalmazban.
[12:16]És most rátérnék az alkalmazásokra. A halmazokat alkalmazzuk például a biológiában a rendszertanban, a kémiában, például a periódusos rendszer, amely az elemek tulajdonságai alapján épül fel. Ezen kívül matematikán belül a függvények értelmezési tartományának, értékkészletének meghatározásánál, egyenletek értelmezési tartományának meghatározásánál. A geometriában a ponthalmazokat használjuk szerkesztési problémáknál, például derékszögű háromszög szerkesztésénél a tételest kört. A parabola, a kör fogalmát koordináta geometriában, amikor a parabola, illetve a kör egyenletét megadjuk. A forgási paraboloidot pedig parabola antennaként. Ezzel a feleletem végére értem.
