[0:00]Hola y bienvenidos a un nuevo video de Mate Fácil. En este video vamos a resolver el siguiente problema. Nos dice, la probabilidad de que un aparato de televisión antes de revisarlo, sea defectuoso, es 0.12. Si se revisan 5 aparatos, calcule lo siguiente: Y nos dan estos incisos: inciso A, la probabilidad de que 2 sean defectuosos; inciso B, la probabilidad de que menos de 3 sean defectuosos; inciso C, la probabilidad de que al menos 3 sean defectuosos. Estos dos enunciados se parecen mucho, pero son distintos. En este nos dice la probabilidad de que menos de 3 sean defectuosos, mientras que el otro nos dice probabilidad de que al menos 3 sean defectuosos. De cualquier manera, cuando resolvamos estos incisos, voy a explicar esa diferencia. Inciso D, probabilidad de que ninguno sea defectuoso. Inciso E, probabilidad de que alguno sea defectuoso, e inciso F, el número de televisores defectuosos que se encontrarán, por término medio. Vamos a ir resolviendo entonces cada uno de estos incisos. Vamos a empezar con el inciso A. Entonces, nos pide calcular la probabilidad de que 2 de los 5 aparatos sean defectuosos. Exactamente 2 de los 5. Lo primero que vamos a hacer es llamarle P a la probabilidad de que sea defectuoso. Y Q va a ser lo contrario, va a ser la probabilidad de que no sea defectuoso. Entonces, de acuerdo al problema, nos dice que la probabilidad de que sea defectuoso es 0.12, por lo que P vale 0.12. Y como Q es lo contrario, Q va a valer lo que falte para llegar a 1, ya que recordemos que la probabilidad total siempre vale 1. Entonces, si tenemos dos eventos que son eh complementarios, que son excluyentes uno del otro,
[2:00]uno, la suma de los dos tiene que darnos el total, la suma de los dos nos tiene que dar 1. Así que Q va a ser lo que falte para llegar a 1. Q lo calculamos entonces como 1 - lo que vale P, que es 0.12. Y entonces Q vale 0.88. Ya tenemos el valor de P y de Q. También vamos a ah a escribir otra letra que va a ser N. N va a ser el total de aparatos que se están revisando, que en este caso son 5 aparatos. Entonces N = 5 es el total de aparatos. Y vamos a llamarle X a la cantidad de aparatos que queremos ver si son defectuosos. O sea, vamos a ver la probabilidad de que 2 sean defectuosos, por lo tanto X va a valer 2. X va a ser el número de aparatos defectuosos. Ya que tenemos el valor de P, Q, N y X, vamos a utilizar la fórmula de la distribución binomial, que es esta de aquí. La probabilidad de X es igual a el binomial N X, P a la X, Q a la N - X. Ahorita voy a explicar esto de aquí qué es exactamente. No es una fracción. Por eso no tiene aquí una línea. Esto no es una fracción. Se calcula de una manera distinta. Ahorita lo voy a explicar paso a paso. Entonces, esta fórmula se utiliza siempre que estemos analizando un experimento en el cual tomamos una cierta cantidad de objetos, que va a ser N, o sea, el número total, lo conocemos. Y de ese total tomamos una cierta cantidad, que en este caso es 2. Y tenemos la probabilidad de que ocurra un evento y la probabilidad de que no ocurra. O sea, consideramos únicamente dos probabilidades, la de que sí ocurra y la de que no es Q. Cuando tengamos esos esos datos, podemos utilizar probabilidad eh distribución de probabilidad binomial. Bueno, entonces, como aquí ya tenemos P, Q, N y X, usamos esta fórmula y simplemente sustituimos. Y nos va a quedar entonces que P en 2, como X vale 2, sustituimos aquí el valor de 2, va a ser igual a N X. N vale 5, X vale 2, así que nos queda 5 en 2. Y luego P, que vale 0.12, a X, que vale 2. Luego Q que vale 0.88 a N - X, que es 5 - 2. Ahora debemos hacer este cálculo de aquí. Así que vamos a hacerlo paso a paso. Tenemos dos opciones para calcular este binomial. La primera opción es utilizar una calculadora. En la calculadora, nosotros tendríamos que meter esto de aquí, en la calculadora aparece una tecla, si es una calculadora científica. Busquen una tecla que dice N C R. Generalmente, así es como dice. Entonces, lo que tienen ustedes que escribir es primero presionar el botón 5, el número 5. Luego la tecla N C R y luego el número 2. Le dan el igual y con eso les va a dar el resultado. Esa es una manera. Les tiene que dar como resultado 10. Ahora, si no encuentran esa tecla o no tienen una calculadora científica o quieren ver cómo hacerlo a mano, la otra manera es aplicar la definición de binomial. O de combinaciones. Esto es lo que quiere decir es que de 5 elementos nosotros tomamos dos sin importar el orden. Así que lo que estamos haciendo es calcular un número de combinaciones. Esto de aquí se define de la siguiente manera: se saca el factorial del número que está en la parte de arriba. El factorial se representa como un signo de admiración, como aquí. Y el factorial lo que significa es que vamos a multiplicar este número por los números previos, los antecesores de este número hasta llegar al 1. O sea, 5 * 4 * 3 * 2 * 1. Luego, en la parte de abajo, ponemos el 2 factorial, que en este caso va a significar 2 * 1. Y luego hay que restar estas dos cantidades, 5 - 2, eso lo ponemos entre paréntesis y también ese vamos a calcular el factorial. Entonces, lo primero que hay que hacer es hacer esta resta: 5 - 2 nos da 3. Y ahora vamos a desarrollar cada factorial. Como les digo, es ir multiplicando por los números anteriores hasta llegar al 1. Entonces, el 5 factorial es 5 * 4 * 3 * 2 * 1, el 2 factorial es 2 * 1 y el 3 factorial es 3 * 2 * 1. Ahora, en una fracción en la que tenemos multiplicaciones tanto arriba como abajo, podemos siempre cancelar los términos que aparecen iguales arriba y abajo. En este caso, el 3 * 2 * 1 aparece arriba y también aparece abajo, por lo que los podemos cancelar. Y nos queda entonces en la parte de arriba 5 * 4 y en la parte de abajo nos queda 2 * 1. Hacemos estas multiplicaciones que son muy sencillas. 5 * 4 nos da 20, 2 * 1 nos da 2, y 20 / 2 es 10. Siempre que calculamos un binomial, al final podemos realizar la división en forma exacta y nos va a quedar como resultado un número entero.
[7:01]Entonces, de esa manera es como obtenemos el 10 haciendo los cálculos a mano, que es el mismo resultado que obtendríamos al hacerlo en la calculadora. Bueno, entonces vamos a sustituir este valor aquí y entonces vamos a apuntar el 10. Ahora vamos a elevar 0.12 al cuadrado. Eso recuerden que es multiplicar 0.12 * 0.12, eso nos da 0.0144. Ahora, aquí hacemos esta resta, que es 5 - 2 nos da 3. Y entonces vamos a elevar 0.88 al exponente 3, y eso nos da como resultado 0.681472. Ahora vamos a hacer esta multiplicación. Y el resultado es 0.098131. Entonces, esta va a ser la probabilidad de que dos aparatos sean defectuosos. La probabilidad la podemos dejar expresada así como número decimal, o bien, podemos expresarla como porcentaje. Expresarla como porcentaje es muy sencillo, simplemente el punto decimal lo recorremos dos posiciones hacia adelante. Entonces el punto quedaría aquí justo después del 9 y nos va a quedar entonces 9.8131%. Estos dos ceros que estaban aquí no hace falta escribirlos aquí ya cuando recorremos el punto decimal. Así que esta va a ser la probabilidad expresada como porcentaje. Ese es el resultado del inciso A. Pasemos ahora al inciso B. El B nos pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 3 sean defectuosos? Bueno, como tenemos exactamente el mismo problema, tenemos ya ciertos valores. Ya sabemos que P es 0.12, que es la probabilidad de que un aparato sea defectuoso. Q es la probabilidad de que no sea defectuoso, que es 0.88, y N es igual a 5, el total de aparatos, que sigue siendo el mismo. Simplemente lo que va a cambiar aquí es el valor de X, que recuerden X es el número de aparatos defectuosos. Pero en este caso nos dice la probabilidad de que menos de 3 sean defectuosos. ¿Qué significa que menos de 3 lo sean? Menos de 3 significa que pueden ser, por ejemplo, 2, que puede ser 1, o que puede ser ninguno, o sea, 0. Entonces, tenemos tres posibilidades: que haya 0 defectuosos, 1 defectuoso, o 2 defectuosos. 3 ya no, porque nos dice menos de 3, y 3 no es menos de 3. Entonces, es importante leer bien el enunciado, porque muchas veces eh los estudiantes se van con con la finca de que bueno, hay que tomar este 3 porque ahí está y toman X = 3 sin haber leído el enunciado antes. Es importante leerlo y entenderlo. Entonces, puede ser 0, 1 o 2. Así que X va a adquirir tres valores, 0, 1 o 2. Entonces, lo que vamos a hacer aquí es ir sustituyendo cada uno de estos valores por separado en la fórmula y sumar los resultados. O sea, vamos a calcular la probabilidad de 0, 1 o 2, sustituyendo el primer valor que es el 0 en la fórmula. Y nos va a quedar lo siguiente. 5 en 0, 0.12 a la 0, 0.88 a la 5 - 0. Simplemente estoy sustituyendo aquí en la fórmula todas las letras. Eso es cuando X vale 0. Ahora vamos a sumarle cuando X vale 1. Entonces, le sumamos el resultado de la fórmula cuando X vale 1. Nóten que ahora en lugar de un 0, estamos poniendo un 1 en todas las partes donde iría X. Y luego vamos a sumarle la misma fórmula, pero cuando X vale 2. Así que sustituimos ahora X = 2 y entonces aquí cambia a 2 en lugar de 1. Y ahora lo que hay que hacer es calcular estas tres expresiones y sumar los resultados. Vamos a ver cómo hacerlo paso a paso. Aquí, en el primer, el primer término, tenemos 5 en 0, el binomial 5 0. Siempre un binomial cuando tenemos un 0 aquí, el resultado de ese binomial va a ser 1 por definición. Así es como se define. Siempre que el número de abajo, o sea, la X, en este caso, valga 0, el resultado del binomial es 1, no hace falta hacer cálculos aquí. Ahora, cuando nosotros elevamos un número al exponente 0, eso también es 1. Eso lo lo aprenden en álgebra. Cualquier número elevado al exponente 0 es 1. Entonces, aquí simplemente lo que hay que hacer es elevar 0.88 al exponente 5 - 0. 5 - 0 es 5, así que simplemente hay que elevar 0.88 a la quinta. Eso nos da como resultado este número de aquí, 0.5277. Esto es del primer término. Pasemos al siguiente. En el siguiente tenemos ahora el binomial 5 1. Este de aquí también es fácil de calcular. Cuando el número de abajo es un 1, el binomial es igual al número de arriba. O sea, en este caso vale 5, este binomial. Eso sí pueden hacerlo también a mano y van a ver que efectivamente les queda un 5 como resultado. Ahora, elevamos 0.12 al exponente 1. Elevar al exponente 1 nos da el mismo resultado, o sea, nos queda 0.12. Ahora, elevamos 0.88 al exponente 5 - 1, que es 4. Entonces, elevamos 0.88 a la cuarta, y eso nos da como resultado este número, 0.5997. Ahora vamos a calcular el siguiente, pero noten que el siguiente es exactamente el que calculamos hace un momento, que es cuando X vale 2. Este es exactamente el que ya hicimos en el inciso anterior, así que simplemente podemos anotar aquí el resultado. Entonces lo anoto con cuatro decimales, 0.0981. Ahora vamos a hacer estas multiplicaciones y al final, al final hacemos todas las sumas. Entonces, 1 * 1 por esto, nos queda como resultado exactamente esto, 0.5277. Cualquier cosa que multiplicamos por 1 nos da lo mismo. Ahora, aquí multiplicamos estas tres cantidades y nos da como resultado 0.3598. Y a eso le vamos a sumar todavía 0.0981. Ahora hacemos estas tres sumas y nos da como resultado 0.9856. Podemos dejar el resultado así o podemos expresarlo como porcentaje, recorriendo el punto decimal dos posiciones. Y nos da 98.56%. Esta va a ser entonces la probabilidad de que 0, 1 o 2 aparatos sean defectuosos, o dicho de otra manera, la probabilidad de que menos de 3 aparatos sean defectuosos. Pasemos al inciso C. El C nos dice, la probabilidad de que al menos 3 sean defectuosos. Nóten la diferencia. En el anterior era menos de 3. Menos de 3 pueden ser 2, 1 o 0. En este caso es al menos 3, o sea, como mínimo 3 sean defectuosos, como mínimo de los 5. Como mínimo de los 5 deben ser 3 defectuosos.
[13:54]Eso qué quiere decir, que pueden ser 3, porque 3 es como mínimo, o pueden ser 4, o pueden ser 5. O sea, que en este caso, bueno, los los datos iniciales P, Q y N son exactamente los mismos, pero X va a adquirir como valores 3, 4 o 5, porque como mínimo deben ser 3. Y como máximo, pues van a ser 5, que son los que estamos tomando.
[14:17]Entonces es 3, o 4, o 5. Así que para resolver este ejercicio, podemos hacerlo como en el inciso B. Simplemente ir sustituyendo cada valor de X en la fórmula y sumar los resultados. Esa es una forma, es la forma más larga de hacerlo, pero es válida. Hay una manera más rápida de hacerlo. Podemos tomar un atajo con otra fórmula que tenemos de probabilidades, que es esta de aquí. Bueno, recordemos la la fórmula que es que la probabilidad del complemento de algún evento es igual a 1 menos la probabilidad del propio evento. En este caso, ¿cuál sería el evento complementario a esto a este evento de aquí?
[15:05]Pues el único la única opción aquí que falta, el único caso que no estamos considerando, es cuando X vale 0. Se me olvidó 0, 1, 2, 3, 4, o 5. Son todas las posibilidades de de que salgan defectuosos. Pueden salir 0 aparatos defectuosos, 1 defectuoso, o así hasta 5 defectuosos. Ese son son todas las posibilidades. Nosotros ya calculamos la probabilidad de que salgan 0, 1 o 2 y queremos saber la probabilidad de que salgan 3, 4 o 5. Así que vemos que esto es el complemento de esto de aquí. O sea, esto es decir que no ocurre esto de aquí. Si van a salir 3, 4 o 5, significa que no van a salir 0, 1 o 2. Por lo que podemos usar esta fórmula. Entonces, la probabilidad de que salgan 3, 4 o 5 aparatos defectuosos va a ser a 1 restarle la probabilidad de que salgan 0, 1 o 2 defectuosos. O sea, que a 1 le restamos 0.9856. Y el resultado es 0.0144. Esa es la forma más rápida de hacerlo. Siempre podemos usar esta fórmula cuando tenemos dos eventos que son eh que uno es el complemento del otro. O sea, que lo que no ocurre aquí ocurre aquí. Cuando los dos son complementarios, siempre podemos usar esta fórmula si ya conocemos una de las probabilidades y de esa manera nos ahorramos muchos cálculos. También, como les decía al principio, pueden hacerlo como en el inciso B, calcular la probabilidad para 3, 4 y 5 y sumarlas y les debe dar este mismo resultado. Eso pueden comprobarlo ustedes. Pasemos entonces ahora al inciso D. La probabilidad de que ninguno sea defectuoso. Bueno, ya tenemos entonces los valores de P, Q y N que son exactamente los mismos. Y lo único que va a cambiar es el valor de X, que es el que nos dice el número de aparatos defectuosos. Como ninguno debe ser defectuoso, significa que X debe valer 0. Debe haber 0 aparatos defectuosos. Así que, simplemente, sustituimos el valor X = 0 aquí en la fórmula, y nos da que la probabilidad de 0 es igual al binomial 5 0 por 0.12 a la 0 por 0.88 elevado a 5 - 0. Aquí, esta ya la habíamos calculado hace un momento. Simplemente, el binomial 5 0, como les decía, se define como 1. 0.12 a la 0 también nos da 1, porque cualquier cosa elevada al exponente 0 es 1. Y aquí 5 - 0 es 5, y 0.88 elevado al exponente 5 nos da 0.5277. Cuando multiplicamos esto por 1 y por 1, nos da exactamente el mismo resultado, o sea, 0.5277. Que expresado como porcentaje es 52.77%. Simplemente recorremos el punto decimal dos posiciones. Entonces, ya tenemos la probabilidad de que ninguno sea defectuoso. Pasemos al inciso E. El inciso E nos pide la probabilidad de que alguno sea defectuoso. Nuevamente, tenemos los mismos datos y el que va a cambiar es X. Como alguno debe ser defectuoso, eso significa que como mínimo 1 va a ser defectuoso. Si hubiera dos defectuosos, pues ya significa que alguno es defectuoso, o sea que también esto incluye la probabilidad de que 2 sean defectuosos, o de que 3, o de que 4, o de que 5 sean defectuosos. O sea, cuando nos pide la probabilidad de que alguno sea defectuoso, es lo mismo que decir que estamos calculando la probabilidad de que como mínimo 1 sea defectuoso. Y como mínimo debe ser 1, significa que X puede adquirir los valores 1, 2, 3, 4 o 5, que es el máximo posible. Entonces, aquí tenemos dos opciones. Una opción es calcular esta probabilidad para cada uno de estos valores de X por separado y sumarlos todos. Claro que en este caso tendríamos que hacer un montón de operaciones, pero llegaríamos al resultado correcto. Otra opción es utilizar de nuevo la fórmula que les mostré hace un momento. Recordemos la la fórmula que es que la probabilidad del complemento de un evento es igual a 1 menos la probabilidad del propio evento. En este caso, ¿cuál sería el evento complementario a esto a este evento de aquí? Pues el único, la única opción aquí que falta, el único caso que no estamos considerando es cuando X vale 0. Así que el complemento de este evento es cuando X vale 0, y ese es el que acabamos de calcular en el inciso D. La probabilidad de obtener 0 aparatos defectuosos es 0.5277. Este es el evento que es complemento de este de aquí. Por lo que podemos calcular la probabilidad de 1, 2, 3, 4, 5 como 1 menos la probabilidad de 0. O sea, 1 menos 0.5277, que es lo que vale la probabilidad de 0. Y esta resta nos da como resultado 0.4723. Podemos expresarlo como porcentaje si recorremos el punto decimal dos posiciones, nos da 47.23%. Pasemos finalmente al inciso F. El inciso F nos pide el número de televisores defectuosos que se encontrarán por término medio. Bueno, con esto se refiere a que para cada cierta cantidad que nosotros tomemos de televisores defectuosos, ¿cuántos esperaríamos encontrar? Eso lo podemos calcular con esta fórmula. La cantidad media de televisores defectuosos que esperaríamos encontrar en una cierta en un cierto conjunto N de televisores, se calcula multiplicando N por P. Por ejemplo, en este caso que tomamos 5 televisores, si multiplicáramos 5 por 0.12, esperaríamos encontrar entre esos 5 televisores 0.6 televisores defectuosos. Claro, que en este caso esta cifra, como es un número decimal, podría no tener mucho sentido. Porque cómo es que encontraríamos 0.6 televisores, si cada televisor es un televisor completo. No podemos decir que 0.6 son defectuosos dentro de esos 5, pero sería válido indicarlo de esta manera entendiéndose que, por ejemplo, si tomáramos 50 televisores, que sería multiplicar aquí por 10, de esos 50, 6 serían defectuosos. Entonces, hasta aquí lo que concluimos es que 0.6 televisores son defectuosos por cada 5. Claro que en este caso podemos elegir otra cantidad de N, en lugar de elegir 5, elegir una cierta cantidad N, tal que al multiplicar por 0.12 nos dé como resultado un número entero y no un número decimal como aquí. Por ejemplo, en este caso, si multiplicáramos por 100, multiplicar por 100 significaría recorrer el punto dos posiciones, y eso nos da como resultado 12.
[22:07]Así que esperaríamos encontrar 12 televisores defectuosos por cada 100.
[22:15]Eso también lo podemos expresar como una fracción. 12 de 100 son defectuosos, y de aquí podemos, por ejemplo, sacar mitad y mitad para simplificar la fracción, y obtenemos que 6 de cada 50 son defectuosos. Que es lo que les mencionaba hace un momento. 6 de cada 50 son defectuosos. Y si volvemos a sacar mitad y mitad, eso nos daría que 3 de cada 25 son defectuosos. Y de aquí ya no podemos simplificar más la fracción, por lo que esta sería la cantidad mínima como número entero. Así que también podemos decir que esperamos que 3 de cada 25 televisores son defectuosos. Y bueno, pues eso sería todo. Si les gustó este video, apóyenme regalándome un like, suscríbanse a mi canal y compartan mis videos. Y recuerden que si tienen cualquier pregunta o sugerencia, pueden dejarla en los comentarios.
